книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

заведомо выполняются, если существует функция £(Х) > 0 такая, что gi=g(\i) и

является необходимым и достаточным для выполнения соотно­ шения сод(е, R) -* 0 (е -+0) .

Предположим, что (19) не выполнено. Тогда найдется под­ последовательность натуральных чисел is (5 = 1, 2, . . . ) такая, что

и, следовательно, а?я(е, R) не стремится к нулю при е -*0. Теорема доказана.

6. Изложенный метод вычисления функции сод (е, R ) легко обобщается. Действительно, пусть Ех (X > 0) - спектральное разло­ жение единицы в Н такое, что квадратичные формы!

84

Тогда, следуя изложенному методу вычисления функции получаем

Если функция g(k) непрерывно дифференцируема, то для опре­ деления экстремальных значений X требуется решить скалярное уравнение

d\

Вчастности, для функции $^Х) = X1+2к, к > 0,, пользуясь урав­ нением (22) , нетрудно найти

&B(e,R) = ’0 ({екЛ} 1/(1+2к>)

(ср. с неулучшаемой оценкой (7)).

§ 14. Примеры регулярных методов

1.Пусть элементы f;g и операторы А и L основной задачи

заданы приближенно, т.е. известны f Е Ft g G G и операторы А иЬ такие, что

WAU - A U ll/г < h | n|t II Lu -1LU \\G < 1 1u | \fuGD,

где 5, r, ht t - точностные параметры.

Рассмотрим вопрос о построении ^-регулярных методов при

85

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно,

т.е. построенный метод является регулярным. В силу теоремы 31 он также сходится. Теорема доказана.

Следствием этой теоремы является тот факт, что при отсутствии погрешностей в задании элемента / и оператора А приближенный метод можно строить ’’классическим” образом, следуя формули­ ровке основной задачи.

2. Изучим общий случай, когда h и 5 также отличны от нуля. Предположим также, что приближенно известны некоторые харак­ теристики основной задачи, а именно пара pA,vL. Пусть вместо

р4 задана величина рА > цА, а вместо vL - величина vL > vL,Имеем

Тем самым мы определили некоторый приближенный метод R 0 решения основной задачи: Ua = R a{A, f t L, g, pA,vL, a).

T e о p e м а 40. Построенный метод R aявляется регулярным и, следовательно, сходится. При достаточно малых о

86

Вейлу первого из соотношений ( 1) множество D0 непусто. Поэ­ тому имеет смысл следующая задача: найти элемент иа £ Da, для которого

где е^-0, а-* 0. Тем самым определен приближенный метод R a, который мы называем методом невязки.

Т е о р е м а 41. Метод невязки регулярен и, следовательно, сходится. При достаточно малых о

87

для любого u G U a имеем

\\Au - f\\F < рА + h (| и | + | и |) + 25 + e,

WLugWG < vL + 2 t | и | + 2r.

Рассуждая, как и раньше, при малых ht t получим | и | < С < const равномерно по всем uGUa и а.

Из предыдущих соотношений тогда следует, что для всех и Е Ua

\\Аи - f \\F < цА + el5 WLu - g\\G < vL + е2.

Отсюда следует регулярность метода квазирешений. В силу теоре­ мы 34 справедлива также оценка (7). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Применение метода квазирещений не требует знания величин h и 6, характеризующих точность задания опера­ тора А и элемента / . Однако требуется определенная информа­ циях о величине vL . Таким образом, методы невязки и квазиреше­ ний близки по формулировке, но существенно различаются по априорному заданию необходимых для вычислений величин.

5. Рассмотренные выше методы имеют тот общий недостаток, что они требуют либо нахождения общих точек двух множеств, либо отыскания условного экстремума. Обе эти задачи могут быть решены методами, развиваемыми в общей теории экстремаль­ ных задач. При определенных условиях этого можно избежать. Сейчас мы сформулируем метод, близкий по форме методу регу­ ляризации, но существенно отличающийся от него в том отно­ шении, что его применение не требует выбора параметра регу­ ляризации.

Будем рассматривать совместную задачу, т.е. случай, когда IXА =0. Будем предполагать, что известна сфера Мс = { и Е D: I и | < С}, которая содержит решение й основной задачи.

Определим квадратичный функционал

Воспользовавшись теоремой 2 существования и единственности, можем утверждать, что задача (8) всегда имеет единственное решение, которое мы обозначим через иа (o=(ht tt bt т, f")). Тем самым определен приближенный метод R 0i который назовем

детерминированным байесовским методом:

R a{?,A,~g,L, b , h , T , t , vL )= и0.

89

Т е о р е м а 43. Определенный выше детерминированный байе­ совский метод s fi-регулярен. При достаточно малых о справедлива оценка

чения приближенных решений иа. Однако для его применения тре­

Если D - D A L и , следовательно, линейно, то эффективное решение задачи (8) достигается за счет приближенного решения соответст­ вующего уравнения Эйлера:

и приведем сравнение с изложенным подходом.

Пусть состояние некоторого объекта характеризуется случайным вектором и размерности л, а его проявления - случайным векто-

90