книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

имеет по крайней мере один корень ota > 0 (а= (5 ,И)). Здесь по­ стоянная С такова, что UCMc.

Доказательство непосредственно следует из предыдущего. Пусть параметр а а > 0 определен из уравнения (13), т.е. в со­ ответствии с принципом сглаживающего функционала. Обозначим

Ua = £/а<у. Тем самым определен некоторый приближенный метод

R а. Изучим его свойства. Для любого иа Е Ua имеем

^л/ 2 (А С + 5) + 5 + h | иа | .

Сдругой стороны,

2(1гС + 6)2 »Фв о [и0] <Ф а<Д «] <(1гС +5 )2 +<*„4 ,

и поэтому

°‘av) >(hC +б)2.

Так как

\\Lua - g 112с <2( йС + б)2К ,

то очевидно, что

\\Lua - g \ \ c < y f l v i \/и а € Ua.

Таким образом, мы получаем следующие соотношения (слабой

Покажем, что из них следует некоторое аппроксимативное свой­ ство множеств U0 по отношению к множеству

0 ^ = { и е и г : \ \ L u - g lG <y fl V, ).

OL0 определен в соответствии с (13). Тогда справедливо предельное

111

Т е о р е м а 56. Пусть R a - определенный выше детерминиро­ ванный байесовский метод. Тогда имеет место соотношение (15),

АЛ

видно, для всякого «G {/ имеем

Т е о р е м а 57. Пусть R a является произвольным к-регуляр-

ным методом. Тогда имеет место соотношение (15), в котором

А

роль множества U п играет множество

А

Uk = { u e U f : \\ Lu —g \\ G < k v L ).

Доказательство теоремы аналогично доказательству двух преды­ дущих теорем и поэтому не приводится.

ГЛАВА 4

ЗАДАЧА ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ

§ 17. Задача вычисления и проблема идентификации параметров

в то время как || и„ - м || ^ = б может быть как угодно мала. Таким образом, задача вычисления значений оператора в рассматриваемом случае является неустойчивой. Более того, если иметь в виду произ­

вольные 5-приближения к элементу и в U, т.е. элементы и £ U:

II и - и || и < 5, то может оказаться, что значения оператора L даже

не определены на элементах и, т.е. и $ DL .

Задача заключается в эффективном построении элементов и§ (по произвольно заданным 5-приближениям к элементу DL), удовлетворяющих следующим двум соотношениям:

Нетрудно видеть, что сформулированная задача является част­ ным случаем рассматриваемой основной задачи. Далее считается, что U= Н и G - гильбертовы пространства, а оператор L линеен и замкнут, т.е. из одновременного выполнения соотношений

следует, что u 6 Z)/, и Lu = g. Так как в данном случае оператор

114

А = Е на Я и, следовательно, замкнут, то условие замкнутости L является достаточным для выполнения условия совокупной замкнутости. Кроме того, так как

II к II н < \ и \ 1 = ||м II# + ||1 м Нс, u e D L ,

то автоматически выполняется и условие дополнительности. Полагая D = DLy определим на D регуляризирующий функ­

ционал Фа [ы] = Н м - 1>11и + а | | £ и - £ | 1с, м е р ,

где g Е G —некоторый заданный элемент, возможно, приближаю­

«6 D

Следствием общих теорем, доказанных ранее, является существо­ вание единственного элемента иа £ D, удовлетворяющего (1),при

всех а > 0 и любом v Е Н.

Пусть g = 0. Из предыдущего следует, что определен оператор Sa с областью определения Я и областью значений в D: Sav =на . Используя тождество Эйлера, можно легко показать, что оператор Sa линеен. Покажем, что оператор Sa ограничен, более того, \\Sa || < 1. Действительно, запишем тождество Эйлера для элемен­ та иа (при g = 0):

Итак, мы получили, что оператор Sa нерастягивающий. Из об­ щих теорем регуляризации следует, что

lim | U&- v I L = 0 , v E D. a -* 0

Если D =Я , то существует сопряженный к L оператор L*. Пусть g E DL *: тогда из тождества Эйлера легко выводится, что регуля-

ризованное решение есть

Полагая здесь g = О, получаем явное выражение для Sa:

Sa - ( Е + aL*L)~l .

Формула (2) показывает, что на данных d = {v,g, L ) определен алгоритм R а , переводящий их в элемент иа £ D.

Пусть v равен элементу и £ D, на котором вычисляется значение

А Л Л Л

оператора L. Положим иа = R^d, где d = {и, g,L) —точные дан­

ные задачи. Пусть элемент и задан приближенно. Именно, счи­

Далее полагаем g = 0. Тогда, очевидно, цА = 0, vL = ||Z,M||G .

метра регуляризации достаточно, чтобы выполнялось неравенство

всегда, если 6 достаточно мало. Действительно, в этом случае заве­

и, следовательно,

\vA - vA I < 6.

116

Пусть H=G = L2 [a, b]f L =dn/dxn - оператор п-кратного обобщен­ ного дифференцирования по Соболеву и известно, что и(х) £ D и

заданы 5-приближения к м(х) в 12[я, Ь]\

ь

II w( x) - м ( х ) ||12 = / | и ( х ) - и ( х ) \2dx < 62.

Уравнение Эйлера для определения регуляризованных решений име­

Заметим, что если априорно известны значения функции и(х) или ее производных порядка не выше 2л, их можно включить в гранич­ ные условия.

117

можно получить, взяв йб(х) = иж(х), т.е. приближая функцию и(х) полиномами степени не выше л - 1 в среднеквадратическом смысле. Это следует из (4), (5) при vA = 0.

2. Построенное в предыдущем пункте семейство операторов Sa (а > 0) обладает следующими свойствами:

1)область определения Sa совпадает с Я ;

2)Sa: Н D, т.е. образом любого элемента из Я является эле­ мент из области определения оператора L ;

1) - 3), будем называть L -сглаживающим.

Нетрудно видеть, что понятие сглаживающего семейства операто­ ров легко обобщается на более общий случай, когда пространства U и G могут быть метрическими, а оператор L нелинейным. В этом

Li (/ = 1,..., л) с областями определения Я/ CU и действующие также в G.

Будем говорить, что оператор L подчиняет операторы L /, если

п0

следует, что

lim m axpG(I/M;j, L/й) = 0.

и00 /

Докажем

П р е д л о ж е н и е . Пусть для оператора L существует хотя бы одно сглаживающее семейство Sa (а > 0). Если оператор L подчи­

118

няет операторы L / (/ = 1,..., п), то

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как семейство Sa является L -сгла­

живающим, то существует такая зависимость a ( б), что для элемен-

А

тов ws = *>a(5)w имеет место предельное соотношение

lim {ра(иь, u) + pG(Lu6, L U)} = 0.

оператору L , из полученного соотношения выводим требуемое. Предложение доказано.

Полученное утверждение позволяет решать в широком ряде слу­ чаев задачу устойчивого вычисления значений нелинейных операто­ ров, а также ’’сложно” задаваемых линейных операторов, выбирая для этого наиболее ’’простой” оператор L , для которого известно, как можно построить сглаживающее семейство операторов.

известных теорем вложения любой оператор L = d njdxn ( п > т) подчиняет операторы L t (/ = 1, ..., т ) . Нетрудно видеть, что опе­ ратор L подчиняет также и оператор L 0.

3.В приложениях довольно часто встречаются задачи, связанные

сопределением (идентификацией) параметров, входящих в диффе­ ренциальное уравнение, по экспериментальной информации о реше­ нии последнего. Такие задачи часто называют также коэффициент­ ными обратными задачами.

Пр и м е р . Пусть задано уравнение

где а > 0 - искомый параметр. Для определения параметра а производятся измерения решения и(х) этого уравнения на отрез­

119

параметра я , наиболее хорошо согласующееся с экспериментальны­

ми данными, т.е. функцией и О ) .

Изложим общую постановку таких коэффициентных задач и рас­ смотрим принципы их решения.

Пусть А = {я £ Е„: а = (я ь я 2,..., ап) т} - некоторое непустое множество векторов, U и G —метрические пространства, L [и; я] —

оператор, зависящий от я £ А как от параметра и действующий из U в G. Считаем, что область определения операторов L [ • ; я]

не зависит от я £ А и совпадает с некоторым непустым множест­ вом DC U.

Трудность решения поставленной задачи заключается, в частно­ сти, в том, что модель (8) может неоднозначно определять искомые

может быть не определено, поэтому вычисление параметра я непо­

средственно из уравнения L [ и\ а ] = 'g в этом случае невозможно. Требуется разработка специальной методики.

Далее модель (8) считаем линейной по параметру я, т.е.

п

120