книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

левыми элементами, устанавливаем, что последние т - п компо­ нент вектора заведомо равны нулю, а первые п компонент можно определить, решая ’’урезанную” систему уравнений (аЕ +

руется.

9*). Пусть U nF суть метрические пространства,/! —произволь­ ный оператор, действующий из UB F с непустой областью определе­ ния DА =D С U. Положим

д = inf pF( Au, f) 9

и е D

где f GF —некоторый заданный элемент. Величина д характеризу­ ет меру несовместности уравнения Ли =/, и EZ). Будем рассматри­

где о = (5, К) 0 при повышении точности задания входной инфор­ мации, П(м) >0 - оценочный функционал (как обычно).

Положим

P(u) = PF(Au,f), р(и) = pF(Au,f), u&D.

Используя условие аппроксимации (7) и неравенство треугольни­ ка, легко показать, что для любого и ED выполняются соотно­ шения

Определим

р(м) = р(м) + Ш (м) + 6, м е д

Согласно первому из соотношений (8) имеем

*) Изложенный в этом пункте подход в основном следует некоторым недавним работам А.М. Левина.

231

Т е о р е м а 106. Пусть входные данные d = {A, f }таковы, что о-*0. Тогда lim д = д +.

о0

ц<(1< р{ие) < р(и€) + 2(Ш (ме) + 6) + в,

из которых, используя произвольность е, следует справедливость утверждения.

Итак, для построения устойчивых приближений к мере несов­ местности [хдостаточно любым методом вычислить значение нижней грани функционала р(ы) (uGD) [119]. Заметим, что определение элемента, реализующего эту нижнюю грань, не является необхо­

Это обстоятельство имеет место для широкого круга математиче­ ских задач. Вместе с тем, например, при решении переопределенных систем уравнений (алгебраических или операторных), возникаю­ щих при обработке результатов физического эксперимента, мера несовместности, как правило, не равна нулю. Соотношение (9) показывает, что при наличии произвольных погрешностей во вход­ ных данных суждение о мере несовместности задачи Ли =f (и GD)

по значениям д, как правило, будет ошибочным. Тем самым будет ошибочным и суждение об адекватности рассматриваемой матема­ тической модели изучаемому физическому явлению.

Далее считаем, что U = H, FviG суть гильбертовы пространства, А и Ь -линейные операторы, определенные на выпукломмгожестве D и удовлетворяющие основным предположениям об их совокуп­

232

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 .Арсенин В.Я. Об оптимальном суммировании рядов Фурье с приближен­ ными коэффициентами // ДАН СССР. - 1968. - Т. 182, № 2.

2. Арсенин В.Я. О методах решения некорректно поставленных задач. - М.: МИФИ, 1973.

3.Бакушинский А.Б. Избранные вопросы приближенного решения некор­ ректных задач. - М.: МГУ, 1968.

4.Бакушинский А.Б. Некоторые вопросы теории регуляризующих алго­ ритмов II Вычислительные методы и программирование. Вып. 12. - М.: МГУ, 1969.

5.Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения опера­

торов на выпуклых классах функций // ЖВМиМФ. - 1971. - Т. 11, № 4.

в.Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Мат. заметки. - 1970. - Т. 7, № 3.

7.Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Мат. зал. Уральского ун-та. - 1968. - Т. 6.

8.Воеводин В.В. О методе регуляризации // ЖВМиМФ. - 1969. - Т. 9, № 3.

9.Воеводин В.В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры. - М.: МГУ, 1969.

10.Гончарский А.В., Ягола А.Г., Леонов А.Г. Обобщенный принцип невяз­

12.Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интег­ ральных уравнений Фредгольма I рода // Вычислительные методы и

Т. 4, тетр. 4.

15. Домбровская И.Н. Об уравнениях первого рода с замкнутым операто­ ром II Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1967. - № 6.

16.Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравне­ ний в абстрактных пространствах // Сиб. мат. ж. - 1960. - Т. 6, № 3.

17.Жуковский Е.Л., Морозов ВА . О последовательной байесовской регу­ ляризации алгебраических систем уравнений // ЖВМиМФ. - 1972. -

Т. 12, №2.

18.Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к числен­ ному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.

19. Иванов В.В., Кудринский В.Ю. Приближенное решение линейных опера­ торных уравнений в гильбертовом пространстве методом наименьших квадратов // ЖВМиМФ. - 1966. - Т. 6, № 5.

234

20.Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. - 1962. - Т. 145, №2.

21.Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное ре­

шение обратной задачи потенциала//ДАН СССР. - 1962. - Т. 145, №5.

22. Иванов В.К. Об одн^м типе некорректных линейных уравнений в век­ торных топологических пространствах // Сиб. мат. ж. - 1965. - Т. 6, № 4.

23. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода II ЖВМиМФ. - 1966. - Т. 6, № 6.

24.Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб. - 1963.- Т . 61, №2.

25.Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сиб. мат. ж. - 1966. - Т . 7, № 3.

26.Иванов В.К. Об интегральных уравнениях первого рода // Дифф. ур. -

1967.- Т . 3, № 3.

21. Иванов В.К. Некорректные задачи в топологических пространст­ вах II Сиб. мат. ж. - 1969. - Т. 10, № 5.

28.Иванов В.К. Об оценке погрешностей при решении операторных уравне­ ний первого рода // Вопр. точности и эффективности вычисл. алгор. Груды симпозиума. Т. 2. - Киев: ИК АН УССР, 1969.

29. Иванов В.К. О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1971. -

Т. 112.

30.Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операто­ рами II Сиб. мат. ж. - 1970. - Т. 11, № 5.

31. Иванов В.К. уКоролюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линей­ ных некорректных задач // ЖВМиМФ. - 1969. - Т. 9, № 1.

32.Канторович Л.В. О новых подходах к вычислительным методам и обра­ ботке наблюдений // ЖВМиМФ. - 1962. - № 5.

33.Коркина Л.Ф. О регуляризации операторных уравнений первого ро­

35.Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // ДАН СССР.- 1955. - Т . 102, №2.

36.Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода//ДАН СССР. - 1959. - Т . 127, №1.

37.Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

38.Лаврентьев М.М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973.

39.Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О постановке некоторых некорректных

задач математической физики // Сиб. мат. ж. - 1966. - Т. 7, № 3.

40.Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970.

41.Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравне­ ниями с частными производными. - М.: Мир, 1972.

42.Лебедев В.И. О решении на компактных множествах некоторых задач восстановления // ЖВМиМФ. - 1966. - Т. 6, № 6.

43.Лисковец О.А. Некорректные задачи с замкнутыми необратимыми опе­ раторами II Дифф. ур. - 1967. - Т. 3, № 3.

44.Лисковец ОА . Регуляризация уравнений с замкнутым линейным опера­ тором // Дифф. ур. - 1970. - Т. 1, № 7.

235

70.Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные мето­ ды и программирование. М.: МГУ, 1970, вып. 14.

71.Морозов В.А. О вычислении нижних граней функционалов по прибли­ женной информации. - ЖВМиМФ. - 1973. - Т. 13, № 4.

72.Морозов В.А. О принципе невязки при решении несовместных уравне­

ний* методом регуляризации А.Н.Тихонова // ЖВМиМФ. - 1973. -

Т. 13, №5.

73.Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Математи­ ческий анализ: Итоги науки и техники. Т. 11. - М.: ВИНИТИ, 1973.

74.Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач II Вычислительные методы и программирование. Вып. 12. - М.: МГУ, 1969.

75.Морозов В.А. О некоторых общих условиях регуляризуемости некор­ ректных вариационных задач // Тр. I-й конф. молодых ученых факульте­ та вычислит. матем. и кибернетики МГУ. - М.: МГУ, 1973.

1в. Морозов В.А. Об определении параметров линейной модели по экспери­ ментальным данным II Обратные задачи для дифф. уравнений. - Ново­ сибирск: СО АН СССР, 1972.

11. Морозов В.А. Об устойчивых методах решения систем линейных’алгеб­ раических уравнений // Вычисл. методы линейной алгебры. - Новоси­ бирск: СО АН СССР, 1974.

78.Морозов В.А. Об особенностях численной реализации методов решения неустойчивых задач // Методы решения некорректных задачи их приме­ нение. - М.: МГУ, 1974.

79.Морозов В.А., Гордонова В.И. Численные алгоритмы выбора параметра

вметоде регуляризации // ЖВМиМФ. - 1973. - Т. 13, № 3.

80.Морозов В.А. у Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляриза­ ции//Вычислительные методы и программирование. Вып.13.-М.: МГУ, 1970.

81.Петров А.П. Оценки линейных функционалов для решения некоторых обратных задач // ЖВМиМФ. - 1967. - Т. 7, № 3.

82.Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971.

S3. Романов В.Г. Абстрактная обратная задача и вопросы ее корректно­ сти II Функц. анализ и его приложения. - 1973. - Т. 7, № 3.

84.Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. за­ метки. - 1967. - Т. 1, № 2.

85.Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифф. ур. - 1970. - Т. 6, № 8.

86.Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно корректных задач // ДАН СССР. - 1972. - Т. 207, № 5.

87.Танана В.П. Некорректно поставленные задачи и геометрия банаховых пространств II ДАН СССР. - 1970. - Т. 193, № 1.

88.Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в мате­ матической физике. - Л.: ЛГУ, 1950.

89.Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. - 1943. - Т. 39,№5.

90.Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе ре­ гуляризации II ДАН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3.

92.Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР. - 1965. - Т . 161, №5.

93.Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163, № 3.

237

94.Тихонов AM . О некорректно поставленных задачах // Вычислительные методы и программирование. Вып. 8. - М.: МГУ, 1968.

95.Тихонов AM, у Гласно В,Б. Применение метода регуляризации в нели­ нейных задачах // ЖВМиМФ. - 1965. - Т. 5, № 3.

96.Тихонов AM, Методы решения некорректно поставленных задач // Ме­ тоды решения некорректных задач и их применение. - М.: МГУ, 1974. •

97.Фаддеева ВМ, Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрица­ ми И ЖВМиМФ. - 1965. - Т. 5, № 5.

101 .Atteia M. Fonction-spline generalisee 11 C.r. Acad. Sci., Paris. - 1965. -

V. 261,№7.

102.Bramble J.H,, Nitsche J.A, A generalized Ritz-Least-Squares method for Dirichlet problems*// SIAM J. Num. Anal. - 1973. - V. 10,№ 1.

103.Cooley J.W.y Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of com­

plex Fourier series 11 Math, of Comput. - 1965. - V. 19.

104.Douglas J. Mathematical programming and integral equations 11 Sympos. Numerical Treatm. Ord. Diff. Equat., Integral and Integro-Differ. Equat. -

111.Phillips D. Z. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. Assoc. Comput. Mach. - 1962. - V. 9,№ 1.

112 .Reinsch CM. Smoothing by spline functions 11 Num. Math. - 1967. - V. 10.

Дополнительный список литературы

ИЗ. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных ап­ паратов. - М.: Машиностроение, 1979.

114.А хиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильберто­ вом пространстве. - М.: Наука, 1966.

115. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Ученые Зап. МГУ, Матем. - 1949. - Т. 2, вып. 135.

116.Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.

117.Вайникко Г. Методы решения линейных некорректно поставленных за­ дач в гильбертовых пространствах. - Тарту: Тартуский ун-т, 1982.

238

118.Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. - Но­ восибирск: Наука, 1983.

119.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

120.Воеводин В.В. Численные методы линейной алгебры. - М.: Наука, 1966.

121.Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. -- М.: Наука, 1977.

122. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функ­ ций. - М.: Наука, 1980.

123. Гончарский А.В., Черепащук А.М.,Ягола А.Г. Численные методы реше­ ния обратных задач астрофизики. - М.: Наука, 1978.

124.Гребенников AM. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. - М.: МГУ, 1983.

125.Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных за­ дач и ее приложения. - М.: Наука, 1978.

126.Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1980.

127.Корнейчук Н.П. Сплайны в теории принижений. - М.: Наука, 1984.

128.Лаврентьев ММ., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М. : Наука, 1980.

129.Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. -

Минск: Наука и Техника, 1981.

130. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. - М.: Мир, 1975.

131.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965.

132.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980.

133.Марчук ГМ .у Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. - Новосибирск: Наука, 1972.

134. Марчук ГМ.у Лебедев ВМ. Численные методы переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, 1981.

135. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: МГУ, 1974. [ Англ, пер.: MorozovV.A. Methods for solving incorrectly posed problems. - N.Y.: Springer-Verlag, 1984.]

136. Недялков И.П. О некоторых некорректных задачах теории потенциала

и их приложении в разведочной геофизике. - София: Болг. АН, 1978.

137.Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979.

138.Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. - Новосибирск: Наука, 1982.

139.Старостенко ВМ. Устойчивые численные методы в задачах гравимет­ рии. - Киев: Наукова думка, 1978.

140.Стечкин С.Б.УСубботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.

141.Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. - М.: Наука, 1981.

142.Тихомиров В.М. Некоторые вопросы приближений. - М.: МГУ, 1976.

143.Тихонов А.Н.у Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979.

144. Тихонов А.Н.. Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. - М.: Наука, 1985.

145.Трауб Дж.у Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгорит­ мов. - М.: Мир, 1983.

146.Федотов AM. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. - Новосибирск: Наука, 1982.

141.Форсайт Дж.у Молер К. Численное решение систем линейных алгеб­ раических уравнений. - М.: Мир, 1969.

239