книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

вание на множестве1UR . Так как множество URi очевидно, выпук­ ло, то (см. [53]) оператор проецирования на него является опера­ тором сжатия. Поэтому || и - иь ||я < || и - и \\н , что и требовалось.

полной априорной информации. Именно, определим элементы u6 GD в соответствии с универсальным методом так, что

то оценка погрешности вычисления значений оператора i? на основе алгоритма Виь = BS\ и имеет вид

II Вйь - B u \ \ v <2a:B (S,R).

Таким образом, алгоритм £5 = BSl также квазиоптимален. Итак, справедлива

Т е о р е м а 66. Операторы сглаживания S 5, S[ (/ = 1,2, 3) оп­ ределяют квазиоптимальные алгоритмы вычисления значений опе­ ратора В. При этом для реализации алгоритма сглаживания S\ тре­ буется полная априорная информация, а для реализации алгорит­ мов сглаживания S8, Si и - лишь частичная априорная инфор­ мация, указанная ранее.

За м е ч а н и е 1. Если задача решения операторного уравнения допускает формулировку в виде задачи вычисления значений не­ ограниченного оператора, то, очевидно, изложенные факты имеют место и для этой задачи. Мы не будем останавливаться на формули­ ровке этих результатов.

За м е ч а н и е 2. В §13 приведены различные случаи вычис­ ления оценочной функции оэв (е, R ) . Эти результаты можно ис­

Утверждение теоремы 66 имеет место также для алгоритма сглаживания, построенного на базе детерминированного байесовс-

131

кого метода путем минимизации непараметрического функционала

52

II м - и\\гн + — \\L u fG, u&D, R

или решения эквивалентного этой задаче уравнения Эйлера

52

—— L*Lu + и = и.

R2

§20. Задача дифференцирования

иалгоритмы приближения экспериментальной информации

1. Постановка задачи. Пусть L — некоторый замкнутый линей­ ный дифференциальный оператор, определенный на множестве функций D, заданных на конечном или бесконечном промежут­

ке [д, Ъ]. Предполагается, что D =L2 [д, 5], где черта означает опе­ рацию замыкания.

Обозначим через Р множество функций из Z), для которых

/ (Lu)2 dx< -

а

а через Q —множество функций, для которых

ъ

/ р (х )и 2 (x)dx<<*>9

а

где р - р(х) > 0 —некоторая заданная непрерывная на [д, Ъ] весо­ вая функция.

Пусть D = Р П Q. Норму в D определим следующим образом:

ll« lll= llp 1/2M |li1 +\\Lu\\lt .

Назовем функцию / (х) 5 -приближением некоторой функции м(х) Е £>,еели IIР^2 (J - й ) И^ 2 < 6.

Основная задача состоит в построении по заданным 5-прибли­ жениям таких функций и(х) Е D, чтобы выполнялось соотношение

В частности, когда Lu = d nu\dxn, приходим к задаче устойчивого дифференцирования экспериментальной информации.

Метод построения приближений, удовлетворяющих условию ( 1), основан на решении параметрической вариационной задачи

min Фа [н] =Фа [иа ] ,

где а > 0 —некоторый параметр, иа Е D.

132

Вопросы существования решения задачи (2) и сходимости полученных решений в смысле ( 1) к функции и(х) уже рассматри­ вались в общем виде. Здесь основное внимание* уделяется эффек­ тивным способам построения приближенных решений задачи (2) и вычислению основных числовых характеристик регуляризован-

Мы рассматриваем следующие основные числовые характе­

пользуется при выборе параметра регуляризации по невязке из условия р(а) = 5 );

- числовая характеристика, используемая при выборе параметра из условия 7 (a) =R, если известно, что II L HII^

- числовая характеристика, используемая при выборе значений параметра по значениям сглаживающего функционала на регуляризованных решениях из условия <р(а) = 52;

Так как решение задачи (2) проводится, как правило, много­

как от эффективности решения самой задачи, так и от количества операций, затрачиваемых на вычисление основных характеристик р, 7, и 9. Рассматриваемые ниже алгоритмы являются, на наш взгляд, эффективными в том и другом смысле и удобными для их численной реализации. Они обобщаются и на более широкий круг задач.

Заметим, что для вычисления 0(a) требуется знание решения на предыдущем шаге, т.е. необходимо дополнительное место в памяти ЭВМ. Численное решение уравнений (3 )—(5) расматривается в § 26.

2. Разложение решения по собственным функциям оператора L. 2. 1. А н а л и т и ч е с к а я о с н о в а м е т о д а . Пусть щ = U((x)

(i = 0, 1, : .. ) - полная ортонормированная в Q система функций,

133

удовлетворяющая условиям L щ = \ у / р и ( (/ = 0, 1, .. . ), где Л,- - некоторые постоянные. Тогда система {м,(х)} полная и ортого­ нальна в D. Решение задачи (2) будем искать в виде разложения

торое^ натуральное число. В связи с этим вычисление коэффициен­ тов / / следует проводить, пользуясь какой-либо квадратурной формулой (как правило, невысокого порядка точности). При численной реализации необходимо заменить в формулах (7), ( 10) бесконечные суммы конечными. Число слагаемых в суммах зада­ ется либо заранее, либо устанавливается в процессе счета коэф­ фициентов f i , например из критерия

/ р (* )1 /(* )- 2 fjU i( x )\ 2 d x = f p ( x ) P ( x ) d x - X f j < S2.

вычислениях уходит на счет коэффициентов // по формулам (8). Счет по формулам (10) элементарен и не зависит от выбора сис-

134

темы м,(х). В связи с этим вычисление коэффициентов (9) и по формулам (10) может быть совмещено по месту в памяти ЭВМ или разделено во времени.

ddu

2.4.П р и м е р 1. Пусть Lu = — (1 - х2) — , р(х) = 1, а = -1,

dx dx

b = 1. В качестве системы м,(х) берется система полиномов Ле­ жандра. Сходимость в смысле ( 1) означает, что

Сходимость в смысле (I) применительно к рассматриваемому случаю означает, что

/ d 2(U - u)

dx + / (й - и)2 dx -►0, 5 -> 0.

\d ?

Всилу теорем вложения отсюда следует равномерная сходимость функций и их производных на отрезке [—я, я ] .

Отметим, что изложенный метод можно также рассматривать

как метод построения регулярных аналитических приближений

кфункциям, заданным экспериментально.

3.Метод конечноразностной аппроксимации.

135

нейных алгебраических уравнений, соответствующей уравнению Эйлера для функционала (12) (заметим, что матрица этой системы имеет ленточную структуру), либо прямой минимизацией формы (12), например методом покоординатного спуска. В последнем случае в качестве начального приближения к решению задачи при рассматриваемом значении параметра естественно взять ре­ шение, соответствующее его предыдущему значению (так как решение задачи (13), очевидно, непрерьюно зависит от парамет­ ра а). При этом, если рассматриваемое значение параметра не

Приближенные значения числовых характеристик (3 ) -(6 ) вычисляются по формулам

к-I

3.3.О с о б е н н о с т и м е т о д а . Рассмотренный метод весьма универсален и прост в реализации. Его очевидный недостаток - необходимость многократного решения системы линейных алгеб­ раических уравнений (хотя и специальной структуры, но большого порядка). Кроме того, вычисление характеристик (14) сопряжено,

136

вообще говоря, с большей затратой машинного времени, чем вычисление аналогичных характеристик в предыдущем методе. Необходимо отметить также, что в рассматриваемом случае мы получаем лишь дискретное решение.

Аналогичными свойствами обладает метод, связанный с конеч­ норазностной аппроксимацией дифференциального уравнения Эйле­ ра для функционала (2).

4.Применение дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

2irim(k — I)

N I )-*■

так как

(17)

(18)

если Fm - ДПФ вектора ( / 0, / 1, • • • ,/л г -i ) Т■

137

Поскольку

d

— (exp{/cow *}) = /cow exp{/cow x}, dx

L exp {iсоw x } = r (/ com) exp {/сош x } ,

то, очевидно,

1 TV—1

I M(X)LV= ,V = - 2 Ww r(/com)exp{/cow x*} ,

*N m = 0

и, следовательно, Wmr(/cow) является ДПФ для £и(х) = Используя основное свойство (18) и полученный результат,

можно написать

138

дается формулами

JV m =0

Приближенные значения Основных числовых характеристик вычисляются по формулам

Nт= О

'П С К к о т ) |2,

т- О

значительно облегчается задача поиска ’’подходящих” значений параметра регуляризации. Восстановление исходного решения задачи по формулам (22) необходимо производить лишь для уже выбранных значений параметра. Это существенно повышает быстродействие метода и делает его весьма перспективным для использования. Для получения ДПФ и ОДПФ можно использовать алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье — БПФ [99], позволяющие выполнять эти преобразования за опти­ мальное число операций. Недостатком метода является необхо­ димость задания исходных данных на равномерной сетке.

139

5. Приближение экспериментальной информации кусочно куби­ ческими функциями.

5.1. И н т е р п о л я ц и я . Пусть в узлах сетки а = х0 < х, < . . .

. .. < хм+г = Ъзаданы значения ик. Определим функцию

имеет размерность N X (N + 2). Полагаем, что s0 =■Sff+1 = 0.

Легко видеть, что заданием сетки {хк} и значений ык функция

140