книги / Многомерный анализ и дискретные модели

Г Л А В А II

АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ

§ 0. Введение

С выбранной нами точки зрения многомерный анализ есть анализ на римановом многообразий, а область евкли­ дова пространства является важнейшим частным случаем последнего. Необходимо при этом оговорить* что название главы является чрезмерно претенциозным, поскольку в дальнейшем рассматриваются лишь простейшие элементы римановой структуры, не связанные* с кривизнбй, кова^ риантным дифференцированием и т. п. Одновременно тер­ мин «анализ» понимается в весьма, широком смысле, так как включает в себя теорию дифференциальных уравне­ ний и граничных задач.

Вводимые элементы /римановой структуры оказывают­ ся, однако; достаточными.для определения классов; урав­ нений в частных производных, изучение Которых^ естест­ венно проводить в интересующем нас контексте. Описы­ ваемая структура и сами уравнения являются объектами, дискретным моделям которых посвящена гл. III. Одно­ временно представляется,~ что приводимые построения и результаты заслуживают внимания и безотносительно к их моделированию.

Особое внимание уделяется связи формализма, вводи­ мого в § 1, с классическим векторный анализом и стан­ дартными уравнениями математической1физики. К послед­ ним, относятс'я уравнения Лапласа и волновое, уравнения Коши — Римана и их многомерные обобщения, уравнения Макёвелла и Навье — Стокса.

§ 1. Риманова структура

1.1.Метрический тензор. -Формальность определений

п.1, опирающихся на1пн. 3.4, 3.5 и § 4, гл. I, должно не­ сколько смягчить рассмотрение элементарных примеров:

полярных и сферических координат, приводимое в

и.2.

Пусть на гладком ориентируемом многоооразии М вме­

сте с касательным расслоением Т(М), со слоем ТХ~ Е , задано расслоение W (М), слоем которого является Е* ®Е* (ср. пп. 3.6, 4.2 гл. I). Пусть, одновременно зада­ но фиксированное сечение W(x) этого расслоения (по крайней мере непрерывное), определяющее симметричное дважды ковариаптноё тензорное поле #**(#). Тензор gik(о:),

всоответствии с конструкциями п. 3.4, гл. I, индуцирует

вкаждом Тх скалярное произведение и метрику. Эта кон­ струкция превращаете М в римановд многообразие с мет-

ричедким тензором gih. Дополнительно, как. правило, пред­

полагается, что упомянутая м етрика- н е в ы р о ж д ен- н а я (в каждой точке), а чаще всегб— что она является строго положительно онредеденной.

ющей существенно расширить класс допускающих инва­ риантное (не зависящее от выбора атласа) определение объектов. Следует отметить, что на каждом многообразии класса С2 такая дополнительная структура, со строго по­ ложительно определенным непрерывным метрическим тензором, может быть задана [48]. Утверждение это не является тривиальным в том смысле,лчто, задание на мно­ гообразии размерности п цепрерывного тензорного поля, имеющего в каждой точке ранг п, но положительный ин­ декс инерции п — 1, возможно уже далеко не всегда. Та­ кая возможность эквивалентна существованию на М непрерывного невырождающегося сечения касательного расслоения. Подобного не существует, например, на дву­ мерной сфере.

В дальнейшем нам -придется иметь дело и с лоренцевой метрикой (соответствующей описанному выше слу­ чаю), но пока, если не оговорено противное/ используемая метрика ..будет предполагаться строго положительно опре­ деленной.

Как отмечено* задание римановой метрики эквивалент­ но введению-в каждом Тх структуры евклидова простран­ ства со всеми вытекающими отсюда следствиями, рассмот­ ренными в пп. 3.4, 3.5, гл. I. В частности, имеется инва­ риантное определение Ггмерного объема (г = 1, ..., п), используемого при построении интеграла. Это приводит к важнейшей для нас возможности определения январи-

антного скалярного произведения r-форм (гг=0, 1, ..., тг), даваемого равенством

где у М — некоторая область. Определение операции sfc было дано в п. 3.5, гл. I. Рассмотрим это определение в рамках рйманова формализма [39].'Через

Н .....п = Vdet | gij\ dx1 Д . . . A dx11

обозначим гс-форму, задающую на М элемент объема, т.е. преобразующуюся при замене атласа по правилу

==....

где / — якобиан преобразования локальных координат. Напомним далее, что тензору ga соответствует контрвари­

антный тензор .такой, что gijg*k =? Sf, и на римановом многообразии , определена операция «поднятия>>-или «опу­ скания» индексов. Например, (oij = gihgi8(OkB (всюдзгисполь­ зуется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам) ^Теперь

где i\ ... ip — набор индексов, дополнительный.к ] \. . . ]п*-Р. Знак во втором равенстве выбран так, что для произволь­ ной формы (О

*(<».А*®)= 2 .

(мы проиллюстрируем записанные формулы в следующем пункте упомянутыми выше примерами).

Определение оператора d было дано в п. 4.4, гл. I и пе нуждается в комментариях, Д определение инвариант­ ного, скалярного произведения (1). немедленно индуциру­ ет оператор б: Аг Лг“1, так называемый метрически со­ пряженный е й, т. е. связанный с ним соотношением

записанным д предположении, что У —'все многообразие (без границы), или в предположении финитностй в V одной из рассматриваемых (гладких) форм. Воспользовав­ шись формулой Стокса и правилом (17), § 4, гл. 1,

н ы е . ч л е н ы, является ф.о р i^y л о й Г р и н а , связы­ вающей операторы d и 6, и также весьма важна для даль­ нейшего.

•С помощью операторов df 8 осуществляется инвариант­ ная запись оператора Лапласа:

-A ^X d ti+ tid ): А '-Ч А '

(мы остановимся на ней подробно в следующем парагра­ фе), запись многомерных аналогов уравнений Коши — Римана наряда важных операторов математической физи­ ки (§ 6), Тесная , связь d, 6 с классическим векторным анализом (§ 2) позволяет вообще считать значительную часть дальнейших рассмотрений «многомерным векторным анализом». N

1.2.Полярные и сферические координаты. Пусть V —

область евклидова пространства Я??, ■ рассматриваемого

как некомпактное риманово многообразие с единственной картой, для которой метрический тензор имеет вид, gn = = g22 = 1, gi2 = 0. Рассмотрим переход к полярным коор­ динатам, полагая 0 ^ F,

г2 = х?Иг у2, х = г cos ф, у = г sin ф

и обозначая через ф полярный угол. Воспользовавшись классическим соотношением между линейными элемента­

Для оператора Лапласа, применяемого к, скаляру и, полу­ чим

—Аи = Ыи = — (^ d ^ )d w = —urr — r^Hr — г_2Нфф.

Аналогичный подсчет;. соответствующий переходу к сферическим координатам для Fc=(R3, будет давать

# = г cos ф, у = r sin <р cos ft, z = г sin ф sin Ф, (da:)2 + (dy)2+ (dz)2 == (dr)2 + r2 (Ap) 2 + r2 sin2 cp (dO*)2.

He производя всех вычислений, приведенных в двумер­ ном случае, заметим лишь, что

е123 = г2 sin ф dr Д dф Д d-ft,

и для оператора Лапласа, примененного-к скаляру и, бу­ дем иметь

du =. urdr + ИфЙф + HodO,

dw= (sin ф р 1^ dr Д dф — sin фиф dr Д "dO +

+ г2 sin фнгdф Д dO*;

Aw = —.bdu = d >{c dw —

= (r2 sift ф)-1|z)r(r2 sin ф ur) + Z?„{sin ф u„) + Z)<>( - ^ )} -

. § 2. Ортогональные разложения пространств IHfe и уравнение Пуассона

2.0. Предварительные замечания. Мы начнем с изуче­ ния операций d,'8 и родственных операций более сложной структуры в случае dim Д/ = 3. Это позволит установить непосредственную связь с векторным анализом и некото­ рыми классическими задачами математической физики.

96 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. II

Мы весьма подробно останавливаемся на указанной свя­ зи, поскольку альтернативная трактовка стандартных объектов, использующая формализм § 1, служит отправ­ ным пунктом перехода к ^-мерному случаю. Подобный переход, представляющий и самостоятельный интерес, по­ зволяет одновременно глубже понять природу классиче­ ских конструкций.

В п. 3 мы останавливаемся на связи аналитических характеристик некоторых из введенных объектов с топо­ логической структурой М, что дает один из наиболее про­ стых и ярких примеров взаимопроникновения топологии, алгебры и анализа.

2.1. Риманов формализм и векторный анализ. Рассмот­ рение векторного анализа мы начнем с замечаний, возвра­ щающих нас, по существу, к замечаниям в начале п. 4.3,

гл. I. В целом ряде задач математической физики, исполь­ зующих понятие вектора, рассматриваются объекты, яв­ ляющиеся, в действительности, формами и определяющие функционалы над образованиями геометрической природы.

К примеру, одно из классических «векторных» усло­ вий

div v = О

получается как следствие интегрального соотношения, в котором v играет роль 1-формы: оно возникает из чтрет

Уместно при этом подчеркнуть, что терминология гл. I, использовавшаяся при описании основных структур и ис­ пользуемая: ниже, является в настоящее время обще­

границей, рассматриваемая как риманово многообразие с краем и атласом, состоящим из единственной карты.

соответствующей степени, полученные пополнением ли­ нейных многообразий гладких форм в метрике, порождае­ мой скалярным .произведением (1 ), § 1 :

(и, x)v = f ЮД * X

V

(ср. п. 5.2, гл. I). Одновременно считаем, что на гладких формах определены дифференциальные операции

d:б: ’Л*-* Н е ­

удобно полагать &= 0, 1, 2, 3; 1Н“ 1 = !Н4 = 0# Следует теперь отметить, что выяснение соответствия

операций и соотношений векторного анализа риманову формализму осложняется весьма существенно использо­ ванием в первом случае специфики размерности п = 3. Это выражается^в том, что, благодаря отмечавшемуся изо­

морфизму Лг ~ Лп“г, порождающему изоморфизм Лг ~ ~ Лп~г, в векторном_анализе удается обойтись лишь па­ рой пространств^ ОН, Л <<скаляров» и «векторов»:

[Н= 1Н0 (~ Л 3),

и тройкой операторов

grad: Л Л , rot: Л^>Л, div: Л^->Л.

Как уже отмечалось,

g ra d e d : Л°-^Лг, rot = >(cd: Л1 -^ Л 1.'

с оператором дивергенции, поскольку в векторном анали­ зе не различаются два определения:

div = 6 : Л1 -^Л°, div = d * : Л ^ Л 3.

В первом случае дивергенция определена как оператор, сопряженный градиенту, и дает скаляр —7)icoi —D ^ ^ — —/?з(Оз, а во втором —как оператор, входящий в форму­ лу Гаусса — Остроградского (которая дает «поток векто­

В последнем случае, согласно нашим правилам,

5fc©= ю3 dx Д dy — © 2 dx Д dz + © 3 dy Д dz

(xl = x, з? = у, хл = г). В стандартных руководствах знак «—» устраняется изменением ориентации соответствую­ щей площадки:

— © 2 dx Д dz = © 2 dz Д da:..

Классические соотношения

rot grad = 0, div rot = О

являются записью равенства dd = 0. Во втором случае — в двух вариантах:

быть записано в виде —А = <26 +Ш (в этом случае d6 = 0 ),

Из (2 ), в свою очередь, немедленно следует, что для форм любой степени

каждой из переменных и от каждой из компонент со.

ного умножения в виде <оХ%, где со, %—ковекторы, есть не что иное как ^(со Д %)•

2.2. Ортогональные разложения и уравнение Цуассо на. Установив соответствие между введенным в § 1 фор-

<у = 66 = 0,

справедливых для гладких форм, немедленно следуют включения

Обозначение 91д для % П% подразумевает, что это под­ пространство — ядро оператора Лапласа. Справедливость для гладкой формы ш ей д равенства

При этом элементы ©(d), ©(8.) подчиняются однородным граничным условиям (см. ниже п. 2, § 5), а равенство (8 ) формулируется словами: «вектор-элемент простран­ ства ОН1 представим в виде суммы потенциального, соле­ ноидального и гармонического».

Обращаясь к рассмотрению равенства (9), видоизме­ ним план, использованный в п. 5.3, гл. I (относившийся к скалярному уравнению Пуассона), с учетом того, что действие происходит не в области V, евклидова простран­