книги / Многомерный анализ и дискретные модели

ных функций — компонент форм, равно числу уравнений.

рых, вообще говоря, небезынтересно [45], из рассмотрения

исключаются.

Один из рецептов получения, правильных систем та­

Тогда: а) система эта является правильной при переходе от п = 1 к произвольному щ Ь) при п > 1 правильными будут и системы

Аналогичную процедуру можно использовать, отправ­ ляясь от определенной при п = 2 системы

Нетрудно привести и другие подобные конструкции* Получающиеся системы обладают рядом специфических свойств, рассматривавшихся, например, в [14], [51]. Оста­ новимся на одном из них, обратившцсь к простейшему примеру.

Если в первом из уравнений ,(8) заменить знак «—» на «+», то характер разрешимости системы окажется за­ висящим уже от м е т р и ч е с к и х характеристик много­ образия -М. Факт этот эквивалентен утверждению о суще­ ствовании при некоторых Л нетривиальных решений урав­ нений

(при условиях, обеспечивавших единственность решения для (8)), т. е. о нелустоте т о ч е ч н о г о с п е к т р а со­ ответствующего оператора.

—Дсо(г) — Я2<о(г) = 0 , г = 0, 1.

Спектр оператора Лапласа на Ж (называемый «спектром Ж») является одним из классических предметов исследо­ вания для анализа на римайовых многообразиях [60], на­ ми не затрагиваемых.

В то же время для приведенных выше правильных си­ стем вида, (8), (9) соответствующие теоремы существова­ ния и единственности обобщенных решений справедливы независимо от; структуры Ж. Справедливы и некоторые теоремы о гладкости решений. Факты эти могут быть установлены приемами, аналогичными использованным в

тересных свойств рассматриваемых инвариантных систем, тесно связанным с их природой, является специфическое расщепление, осуществимое при наличйй разлоЖения рас­

где нижний индекс удазываер номер многообразия, над которым рассматриваются формы. Если dimd/i < к (или dimM2 < к) , то соответствующие члены в (11), как оче­ видно, отсутствуют. Упомянутое разложение для инвари­ антных систем получается при использовании разложения (И ) для форм, формулы

с2(сй®х) = ^®®Х + (—1)г<й ® (r-стейень и)

й соответствующей формулы для оператора 6.

Мы используем приведенное замечание в случае, когда dim М{ = 1 . Обозначив совокупность форм нечетной сте­

над Жг, размерность которого будем считать равной /г.

dimikf2 = 2, {фь(я)}о° — некоторый базис в гильбертовом пространстве ковекторов над Д/2, У(0>= i>(0) (0» то

V(o)<8>wi = 2к (0 Фй (ж)»

т.е. в правой части — пара функций-от трех переменных. Возвращаясь к (12), можем записать

d < » i = dv(0) ® » i + У(0> ® d a x — P(i) ® d B n ,

6fi>i = Р(0) ® бВх + бу(1) ® «и — Р(1) ® 5ии,

и система уравнений (L) , которую мы представим симво­ лически в виде

(d+ б) (Ох = /хцэз / (0) ® £ п + 7 ( 1 > ® gi,

расщепится на две подсистемы

v(0) ®(d + б) »i + бщ,, ® вп = До) ®gn,

(43)

—B(i) ® (d + 6 ) в ц + dv(о, ® Bi = / ( 1) ® g i.

Смысл , расщепления (13) становится более прозрач­ ным при некотором видоизменении обозначений. Первое слагаемое в правой части (12) обозначим через, ф, а итог рое — через ф; будем считать, что М\ параметризовано переменной t, положив на Mi

d ^D t яш—б.

Тогда (13) перепишется в виде

—Dt\1>+ (d + б) „ф—р,

(44)

А ф —(d + 6)„if — q,

где оператор (d + 6)n действует по переменным — коорди­ натам на М2 .

Рассмотрим некоторые примеры. При .в — 1. система (14) сводится к неоднородным уравнениям Коши — Ри­ мана:

—А ф + А ф = р, А ф + А ф = q.

При п —2, воспользовавшись обозначениями Ф ='(фЬ ф2) , 1ф = ф(0„ ф(2),

(в соответствии с нумерацией компонент Bi, Вц в (iz)). полечим, считая метрику на М2 евклидовой, для левш

Чтобы вернуться от (15) к покомпонентной записи си­ стемы

=/(0), <£<D(f) + 8(0(3) — /(2)

(которую мы подвергли расщеплению), при выбранном способе упорядочения компонент форм удобно считать t

при доказательстве, индукцией по размерности, различных свойств форм или инвариантных систем [14]. Мы исполь­ зуем расщепление для рассмотрения перехода к лоренце-

рическому тензору, который в каждой точке может быть приведен к виду

g ll = “ gnn ” 1 » gn+\,n+l = = “ 1

(остальные4компоненты — нули).

Чтобы записать в этом случае систему, (14), доста-, точно изменить на М\ знак перед оператором б, поскольку определение d от метрики не зависит, а при определении 8 надо изменить знак в скалярном произведении. Это оз­ начает, что В" (14) член —Dtty заменится на Соответ­ ствующее изменение надо произвести и при другой форме записи уравнений.

При п — 1 после такой замены уравнения Коши — Ри­ мана перейдут в простейшую гиперболическую систему, рассмотренную нами в п. 5.3, гл. I. При га = 2 получим

,§ 4] ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ Ц 5

вых операторов, примененных к каждой^ компоненте мы. Характеристический определитель ^систем (L), примет вид

(Й + • • • +Zn — Cn+i)2

Аналогичные построения осуществимы и в случае мет­ рических тензоров произвольной сигнатуры, но мы на этом не останавливаемся.

§ 4. Граничные задачи для инвариантных систем

4.0. Предварительные замечания. Как уже неоднократ­ но подчеркивалось, одним из важнейших для нас приме­ ров -фиманова многообразия, атлас для которого состоит из единственной карты, а метрический тензор имеет вид, даваемый формулой (12), § 3, гл. I, является область V

евклидова пространства 0?п. Замыкание F такой-области дает пример многообразия с границей. Именно с такого рода многообразиями мы и будем иметь дело в данном параграфе.

Сформулированный взгляд на область V Rn обязы­ вает и в евклидовом пространстве оперировать лишь с объектами, имеющими инвариантный смысл, и пользо­ ваться приемами, допускающими перенесение на произ­ вольное риманово многообразие. Соответственно мы сно­

ля»), превращающий многообразие с границей (достаточ­ но регулярной) в многообразие без границы. Этот прием рассмотрен в п. 1. Переход к многообразию без границы позволяет преодолеть трудности, связандые с вопросом об эквивалентности слабых и сильных определений операто­ ров d, б, L, V и т. п. Одновременно указанный переход приводит к формулировке специальных классов гранича ных условий для рассматриваемых!форм (возникающих как условия «продолжимости на. дубль» с сохранением гладкости), включаемых теперь в описание области опре­ деления дифференциальных операций. Теоремы существо^ вания и единственности решений уравнений, рассмотрен­ ных в § 2, 3, дают соответствующие результаты для ре-, шений граничных задач.

дает гладкое отображение с положительным якобианом полущара

{& |( 1 * ) 2< 1 , ? < о }

координатного пространства (|) на V G{\V . При этом хх; ..., хп рассматриваются как локальные координаты в

Vaf) V' (определяемые координатной системой (х) в V') и предполагается, что уравнение участка границы 5, ле­ жащего в Vа, имеет вид

6 ^ 0 .. (2)

Гладкость функций фа, задающих фа, ограничивается, оче­ видно, лишь гладкостью границы S.

Пусть F a — множество точек, соответствующих точ­ кам У а. Совокупность лежащих в М областей

F a = . ( F ; n F ' ) u ( K n F )

будет давать гладкое обратимое отображение с положи­ тельным якобианом

ф®: U'„-+V’a,

отображающее полушар

{|: | ( Г ) 2< 1 / 1 1> о } на V'f ]V \

Рассматривая теперь сужение отображения Ф а : ( ^ и ' ^ ) - > ( К К К )

(совпадающего с Фд» фа на соответствующих областях) на

ро, и положйтельность якобианов обеспечиваются автома­ тически. Ребро будет при этом подмногообразием М в смысле определения п. 4,2, гл. I.

Обратимся теперь к следующему важному обстоятель­ ству. На построенном многообразии М, как и на всяком гладком многообразии, может быть введена риманова мет­ рика, также являющаяся гладкой. От такой гладкости приходится, однако, отказаться, если потребовать, чтобы

требование, удобное для наших целей, мы примем и рас­ смотрим его следствия.

Итак, мы хотим превратить М в риманово многообра­ зие, считая, что метрика в F', F " (в .координатах (х) , (у)) евклидова. Докажем, что это предположение инду­ цирует метрику на М, т. е.-однозначно определяет на М метрический тензор, оказывающийся лишпиц-нелрерыв- ным па ребре. Рассмотрению подлежит опять-таки лишь окрестность ребра.

Поскольку граница F ' предполагалась гладкой, а по­ крытие ёё можно взять сколь угодно мелким, можем счи­ тать, что координата I 1, фигурирующая в (2), есть рас­ стояние по нормали до гиперплоскости (2). Тогда в ко­ ординатах (£) (указание на номер окрестности опускаем) компоненть! метрического тензора удовлетворяют соотно­ шению

gi'3* = 0; / = = 2 , . . д;

Остальные компоненты, в соответствии с тензорным зако­ ном преобразования, определяются из равенств

gvy = D l'tfD ytfgil

(суммирование по повторяющимся индексам). Из формул (1), (3) следует, что компоненты gi'yX%) будут при этом четными относительно гиперплоскости (2) функциями и, следовательно, лишпиц-непрерывиыми в окрестности рёб­ ра. Первые производные метрического тензора претерпе­ вают на ребре, вообще говоря, скачок.

замечание. Рассматривай на М формы и опер>аторы d, б, мы должны считаться с тем, что определение б зависит рт метрического тензора. Выражение бсо” в локальных ко­ ординатах в окрестности ребра будет содержать^производ­ ные по этим координатам от произведений компонент метрического тензора на ту или иную компоненту формы со. Таким образом, коэффициенты при производных от компонент со будут липшиц-непрерывны, а коэффициенты в младших членах могут иметь разрывы типа скачка (на ребре).

4.2. Инвариантные системы в ограниченной области. При рассмотрении в конечной области одного из основ­ ных инвариантных объектов предыдущих параграфов — оператора Лапласа, необходимости прибегать к ^онструкг

функции — компоненты форм подчинены условиям Дирихг ле или Неймана, может быть проведено стандартными ме­ тодами (ср. п. 5.3, гл. I), и специфичность точки зрения, сформулированной в § 0, никак не проявляется.

Иначе обстоит дело для инвариантных систем первого порядка. Здесь граничные задачи хорошо изучены лищь при-?г<2 и для получения общих результатов (относя­ щихся как к граничным задачам, так и к ортогональным

поставляется некоторая система на АГ, решение которой ©i заведомо существует и единственно. Сужение coi на V' должно давать единственное решение исходной задачи. Простейший напрашивающийся вариант реализации та­

кого плана — введение формы ©i = ©i Jу* такой, что ©I = ©I в соответствующих точках. Однако оказывается,

что столь прямолинейный подход нуждается в модифика­ ции: иначе компоненты ©i будут претерпевать разрыв на ребре.

Нужная модификация, как и можно было ожидать, приводит к специальному классу однородных граничных

условий для©I (или ©и), обеспечивающих существование