книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 6] НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 141

Перейдем ко второй части: замечаниям, относящимся к изучению .уравнений (1). Одной из главных причин возникающих при этом трудностей является отсутствие достаточно общих теорем существования и единственно­ сти решений- (ср. [49]). Характер вызывающих такое по­ ложение вещей явлений иллюстрирует

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть Гр{х, у)— евклидово рас­

позволяющее утверждать существование функции ^{х,у) такой, что уравнения (7) удовлетворяются, и

С л е д с т в и е . В произвольной ограниченной области V существует континуум различных эйлеровых течений, удовлетворяющих условиям и — v = р = 0 на границе V.

Действительно, для получения соответствующего эйле­ рова течения достаточно взять функцию / из утверждег ния 1 финитной в У.

Наиболее употребительный способ исключения из рассмотрений "течений описанного типа —“ использование требования потенциальности или требования отсутствия особых, точек, поля и (точек, зде u* + v2==0) . Для не-' потенциальных течений однозначно определенное, поле it в V может быть задано путём задания <о и определения •ф из уравнения —Дф = <Ь, к которому присоединяются граничные условия для ф на границе V. Задача отыска­ ния течения становится линейкой, но не при любом вы­ боре о найденное течение оказывается . эйлеровым. В плоском случае эйлеровость обеспечивается наличием одной"из связей

не допускает первой из связей в окрестности прямой х =

=4_1/3 и второй — в окрестности прямой х = 0.

Проверка элементарна. ■ Эквивалентное (13) обращение в нуль соответствую­

щего якобиана позволяет одновременно проверить У т в е р ж д е н и е 3. В области 1 > у > х > 0 не суще­

ствует эйлерова течения с вихрем оэ = ху. в

Аналогичные конструкции осуществимы в осесиммет­ ричном случае. Вопрос о допустимости вихря сущест­ венно усложняется при переходе от локальных рассмот­

Соответствующее решение единственно и дается функ­ цией

Ни примаком значении р ^ О соответствующее поле и =

— ф,„ v — —ф* не будет эйлеровым. В то же время, если освободить решение уравнения (14) от граничных усло­ вий, при любом Р будут существовать функции тока ф,

не намереваемся углубляться в изучение этих уравнений.

§ 6] НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 143

которым посвящена обширная литература. Сделаем лишьч несколько замечаний, устанавливающих связь упрощен­ ных модификаций (линеаризаций) с проводившимися рассмотрениями.

Простейший упрощенный-вариант получается за счет отбрасывания квазилинейных («конвективных») членов, что дает,*в наших обозначениях,

При изучении системы (15) часто полезными оказыва­

вующая задача для (15) сводится к изучению уравнения [—■pAt%6 = 0 для проекции. Граничные условия могут

быть включены как в определение 5)(*d), так и в опреде­ ление S)(б).

Другое упрощение дает замена конвективных членов it Д dk на А Д du и ли п Д сМ, где ковектор А пред­ полагается известным. После такой замены уравнения Навье — Стокса снова становятся, линейными;

Указанная замена производится зачастую и в рассмотрейных нами уравнениях Эйлера. Получающиеся при этом системы первого порядка оказываются симмет­

шемся нами в п. 1 случае имели о = 0. Переход к о = 1 соответствует переходу /к симметричной гиперболической системе, описывающей течение, сжимаемой жидкости.

В трёхмерном нестационарном ' случае, выбирая в группе членов /\ ^dA) в качестве *dA орт (0, 0, 1), получим известную линейную систему* описывающую движение вращающейся жидкости [44].,

При получении теорем существования и единствен­ ности решений граничных: задач для систем первого по­ рядка описанного типа применимы описанные выше ме-

где / задает токи, а р — заряды.

Напомним, что пользуясь приводимым формализмом,

гце операторы d, б, >1? действуют над (), а действие d, б

то ясно, что (19) — стандартная запись уравнений Макс­ велла.

Система (19) является переопределенной и в общем виде мало изучена. Стандартный прием упрощения — дифференцирование первого из уравнёйий (19) по t и исключение D\E с помощью второго уравнения. Считай / = 0, получим

D\H= — * d * d # = — бЛН = — АН

(поскольку йбЯ = 0), т. е. классическое волнбвое урав­ нение.

Если же отбросить в (19) два последних уравнения, то получим симметричную гиперболическую систему, до­ пускающую изучение с помощью соответствующих прие­

на две двумерные области с евклидовой метрикой в пер­ вой и лЬренцевой — во второй. В"втом случае

дг = и(0у® v(2) + Щ1 , ® 1>1 + И(2,--® У(0)1

где нижний индекс — ранг соответствующей формы.

Г Л А В А III

МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 0. Введение

Данная глава является центральной (не только в.си­ лу нумерации). Именно стремление дать связное изло­ жение сбдержащихся в /ней конструкций и результатов послужило основным стимулом для написания данной монографии..

В § 1 строится бесконечный комплекс, специальная структура которого позволяет считать его комбинатор­ ным аналогом евклидова пространства. Подразумевается, что эта структура дает возможность определить аналог метрической операции и проследить далеко идущий параллелизм между дискретными и континуальными конструкциями. Этому параллелизму посвящено содер­ жание § 2, повторяющего, в некотором* смысле, содер­ жание § 1—4, гл. II. Третий параграф посвящен педан­ тичному рассмотрению двумерного случая, включая пре­ дельный переход.

Стоит отдельно отметить проведенный подробный^анализ разностного аналога метода ортогональных разложе­ ний (набросок которого дан в § 2), поскольку известно, что осуществление проецирования ^в подпространство векторов U, удовлетворяющих дополнительному условию divU —0, вызывает в вычислительной практике много затруднений.

Четвертый параграф содержит дискретизацию урав­ нений и некоторых, вытекающих из них соотношений, приведенных в гидродинамической части § 6, гл. II. Па­ раграф чпятый посвящен краткому описанию альтерна­ тивного подхода к комбинаторному моделированию евклидовости, подхода,. имеющего как свои достоинства, так и недостатки.

Ввиду наличия большого числа неисследованных во­ просов, связанных с построенными моделями, в заклю­ чительном параграфе, озаглавленном «Проблематика», собрано краткоеих перечисление.

Напомним* наконец, что, как отмечалось в предисло­ вии, использование родственных материалу данной главы идей находит свое отражение в вычислительной практи­ ке цоследнего времени (например, [41]).

§ 1. Комбинаторная модель евклидова пространства

1.0. Предварительные замечания. Данный параграф посвящен формальным конструкциям, на которые опи­ рается содержание § 2—4. Основным является п. 2, где изучается тензорное произведение «комбинаторных пря­ мых», дающее модель^ евклидова пространства. Содержа­ ние п.' 3 стоит особняком нив ' дальнейшем не использу­ ется. Он посвящен «топологическому» предельному пе­ реходу, соответствующему размельчению комбинаторной структуры, не опирающемуся на метрические характе­ ристики.

1.1. Модель вещественной прямой. „В Зтом пункте мы

рассматривать как образующие свободных абелевых групп 0-мерных и 1-мерных цепей одномерного комплек­ са S ^ ® 0®®1 с граничным гомоморфизмом д»

нимается прямая сумма бесконечных циклических групп,

векторные пространства). Комплекс;© назовем моделью вещественной прямой.

Как мы видели в гл. 0, изучение и использование этой модели тесно связано с. рассмотрением ^двойственно­

логии п. 2.3, гл. I, одномерным комплексом коцепей с вещественными коэффициентами. Для гомоморфизмов

<жь .а*> = (ей екУ= 8*

мы сохраним название операции спаривания. Коцепи

P = 2Pfceft

будем по-прежнему именовать формами' Введем погра­ ничный оператор d соотношением

<9Ь, <х> — <Ь, da>,

полагая d: К 1 0. Как и в гл. 0, введем в К умножение (умножение Уитни [30])ч, полагая

хк ^ хк— хч, я* ^ ek = екw #Tft — е*

считая произведение равным нулю во всех остальных случаях и распространяя его по линейности на произ­ вольные коцепи.

мом, удобным для моделирования задач анализа. Умно­

(формула (16), § 1; гл. ОУ определяет оператор б: К1-*•

мы смоделировали ряд важных соотношений, присущих римановой структуре.

1.2. Модель /г-мерного евклидова пространства. Такой

- ' ' п

моделью мы будем считать тензорную степень © (га) =* 0 ©

- 1

одномерного комплекса — описанной выше модели веще­ ственной прямой. Определение тензорного произведения, комплексов было рассмотрено в п. 2.4, гл. I. Одновремен­ но было отмечено, что сопряженный с ©(га) комплекс

ствления соответствующих построений мы воспользуем­ ся индукцией по размерности га' и приведенными в п. 1 результатами, относящимися к одномерному случаю.

З а м е ч а н и е . Следует подчеркнуть, что если , ин-. деке х, в записи хV ех, просто целое число, то структура4

три двумерных (в которых сомножитель ек* присутству­

вся соответствующая информация (координата «точки»,

где знаковая функция <?(и, q) равна —1, если размер­ ность обоих элементов sx, s{q) нечетна, и +1 в противном случае. Поскольку при п = 1 умножение определено, формула (1) распространяет определение на случай про­ извольного п. На произвольные формы умножение рас­

где Q(s).= (—il)dim e.

Для доказательства воспользуемся индукцией по ц. При п == 1 равенство (2) совпадает с утверждением 1 (отсутствие в . последнем знаковой функции — следствие тривиальности ситуации). Считая (2) справедливым для К(п), установим его для К(пЛ-А). Достаточно произве­ сти проверку для базисных элементов. Положим

s = s(p*® s4, i **= s(r) s*.

Чтобр упростить применение правила знаков при ис­ пользовании (1) и (12), | 2, гл. I (определение d sв тензорном произведении), удобно рассмотреть отдельно два случая: s*= и s*= е*>: Остановимся подробно на втором" случае, поскольку первый несколько проще.

Сравним две цепочки равенств. С одной стороны,

d [(s(p) ® eKjv-/(s(r) ® $**)]== @ 00^[(s(p) ^ s(r),) ® (е* w s*4) ] =

—Q(г) d (s( p ) s(r)) ® (e* w s»)+ 0 — .

=[Q(rjds(p) KJ-SM + Q(r)Q(p) s(p) w dsir)]® (e* w s1*). (3)

Здесь мы дважды ^воспользовались одномерностью е*: заменив Q(г, и) на <?(г), и заметив, что d(e*^s*) всегда обращается в нуль.

> .0 (p j (*(р) ® ex)^ (d s (r).® s ^ - ^ ( r ) ^ r) ^ds»). (4)