Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Многомерный анализ и дискретные модели

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

13.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

§ 1] МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 491

Употребляемые в данной главе математические поня тия существенно, отличаются от встречавшихся в гл. II—• III. Родственная теорий гомологий комбинаторика пол ностью отсутствует. На первый план выступает струк тура «однородного пространства»;—множества, в котором действует группа отображений.

В континуальном случае взаимодействие обеих упо мянутых структур значительно обогащает картину. За то разделение их. упрощает ее.

В заключение отметим, что небезинтересно сопоста вить содержание пп. 1.2, 1.3 с наброском квантовой ме ханики, предложенным в [27].

§ 1. Модели в квантовой механике

1.1. Классическая материальная точка. Рассмотрим процесс формализации основных понятий классической механики на примере движения материальной точки массы т по прямой X под действием силы /.(#), х ^ Х . Движение это описывается функцией x(t)\ и определя ется законом Ньютона, выражаемым, при соответству ющем выборе единиц измерения, дифференциальным уравнением

тх = /(£ ).

(1)

Интегрирование уравнения (1) при заданных начальных условиях x(to), x(to) позволяет найти x(t), что, пол ностью решает каждую конкретную зВдайу.

Возможна, однако, даже в отношении простейшего уравнения (1), иная постановка вопроса: каковы общие закономерности, присущие в с я к о м у движению, опре деляемому уравнением (1)? Оказывается, что переход именно к такому аспекту проблемы служит зачастую толчком к введению и анализу понятий, .находящих применение в значительно ;более общих и сложных си туациях. Проследим на нашем примере возникающие при

следовании по этому пути цепочки определений. Введем
потенциал	X

кинетическую энергию	о

m *	я2

т = т т

192	МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ		1гл . iv
и полную энергию
	Е = Т +	U.
	У т в е р ж д е н и е 1. Для	движения (1)	справедлив

закон сохранения:

Для доказательства достаточно заметить, что

dE	ОТ dx	,	dU	dx	dU	— тпх. в
-JT =	-ГГ	+ Т		1 Г и -г- =		— тпх. в
dt	dt		dx	dt	dx
Царяду с E, другой важнейшей характеристикой дви
жения (1) оказывается			функция Лагранока:
	1(х , х) = Т — U,
позволяющая ввести действие — функционал
	S — ]			L (x , x)dt,		(2)
			*0

обладающий тем свойством, что оказывается справед

ливым	Уравнение	(1) является урав
У т в е р ж д е н и е 2.	Уравнение	(1) является урав
нением Эйлера для функционала (2).
Д ля доказательства	достаточно	обратиться к развер
нутой записи равенства

Запись уравнения ’ (1) в, форме (3) оказывается об ладающей* целым рядом преимуществ: возможностью вве дения «обобщенных координат», учитывающих связи;

возможностью	рассмотрения	в рамках той	же схемы
неголономных	систем* содержащих ;явную		зависимость
Ь=*-Ь(х, х , t)	от времени и т. п.
Более того, обращение к функционалу (2) оказыва
ется прототипом «л аф анж ева		формализма»— отправной

точки многочисленных теорий, охватывающих сплошную среду и физические «поля» различной структуры.

Другая ветвь математических, построений, берущих свое начало от уравнения (1), связана с записью полной

§ И	МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ				193
энергии 'Е. в новых переменных:
	2	=		Р = тпх,
	=	=		Р = тпх,
где	Н — так называемая		функция	Гамильтона. Теперь
(1)	запишется в виде системы уравнений
	. dq	dFL	dp __	дН	, /v
	dt	др ’	dt	dq	' '

вместо

ко н ф и г у.р а ц и о н н о г о

пространства

оказывается естественным рассматривать ф а з о в о е

прот

странство

р,

д я

М. С математической

точки, зрения

тем

самым

осуществляется

переход

от

м; н о г о о б р а з и я , X

к к о к а с а т е л ь н о м у

р а с с л о е н и ю

над X. Урав

нения

(4)

задают

при

этом

над

М векторное

поле.

(В

процессе

введения

подобных

определений полезно

нарочито «забыть», что наше X всего-навсего К1.)

Если

теперь ' F (р,

q) —1 некоторая

характеристика

движения, то

_ dF

__ dH ______

Э Л __ rp Hi

dq ““ ‘l ’

* '

где [F, H} — так называемая

скобка

Пуассона полей,

оп

ределяемых заданием Н и F.

в. множестве полей опера

З а м е ч а н и е .

Введение

ции t[ , ] превращает его в а л г е б р у

Л и.

Функция F называется интегралом движения, опре-

делаемого Н (р,

q),

если

dF = 0 . Таким

образом, раЬен-

ство (5)

дает

Функция

является интегра

У т в е р ж д е н и е

лом движения .тогда и

тол,ъко тогда,

ко.гда [F, Н] =

0. -

Если теперь в новых переменных записать функцио

нал (2), то получим

S =

J“[— H + pq] dt=s=§L(q,p,q)dt,

и снова уравнения (4) оказываются уравнениями Эйле

ра	для 5.	Переход от L к 'Е называется преобразовани
ем Лежандра.
(в	Разнообразные обобщения гамильтонова . формализма
	основе	которых, лежит	задание некоторого г а м и л ь
т о н и а н а		Н) успешно	конкурируют с ,упоминавши-

194	МОДЕЛИ в КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ	[ГЛ. IV
мися выше	теориями, отправляющимися	от задания

л а г р а н ж и а н а .

Из приведенного конспекту мы хотим извлечь сле дующий вывод. Понятия, используемые на различных этапах описания механической системы (даже пррстейшей), могут обладать высокой стёпенью абстрактности. Состояние системы рассматривается при этом как точка некоторого множества — пространства состояний, облада ющего той или иной дополнительной структурой; дви жение системы — траектория в . пространстве состояний; совокупность всех траекторий — однопараметрическая группа преобразований этого пространства й.т. д.

Этот далеко идущий вывод должен, в свою очередь, служить мотивировкой нижеследующих построений, ис пользующих конечное (состоящее из конечного числа точек) конфигурационное пространство. В применений к классической материальной точке схема, которая - будет предложена, не идет дальше записи' «закона Ньютона». Интерес представляет описываемое на следующем шаге «квантование» модели.

1.2. Модель материальной точки. Пусть £2 — конеч ное множество из N элементов, которому приписывается роль физического пространства. В Q будут лежать тра ектории «материальной точки», а в дальнейшем «вол новые функции» будут функциями над £2. Основной объ

ект — блуждающую		“точку	определим		как функцию
q(£) дискретного времени i s Z *
	qi	Z~*"£2,		0»		(6)
где Z — множество		целых	чисел.	Предположим		далее,
что	задана транзитивная группа			G: £ 2	£ 2 автоморфиз
мов	£2. Таким образом, отказываясь от				структуры	диф

ференцируемого многообразия; мы вводим /структуру «од нородного пространства». Будем дополнительно предпо

лагать,	что G п р о с т о т р а н з и т и в н а ,				т. е. для лю
бых	у <= £2	существует		единственный	элемент g ^ G
такой,	что g: х - у		(это	соответствует	рассмотрению
подгруппы переносов в группе 4всех движений В??),.
Тогда нашему объекту (6) будет однозначно соответ
ствовать, при		любом	£eZ>4 элемент p (t\q )^G			такой,
что
		p(t\q): q (t)~ q (t + 1).				(7)
Соотношение		(7) можно; записать символически				в виде


§ II	МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ						195
равенства	ktq(t) = p(t\q),

являющегося	определением		отображения		А*,	сопостав
ляющего траектории		q(t) в Q траекторию			p(t\q)		в G.
Отметим, что если начать аналогичное построение с
задания; некоторой траектории /?(£)				в . бг,	то	это	будет
равносильно	заданию	с е м е й с т в а		траекторий		в ■Q: ин
дивидуальный объект		q(t)	определится лишь			при	зада

нии дополнительно точки q(to)^ Q. На следующем шаге

q(to +~1) = p(to)q (£о) и	т.	д.	(читателю-предоставляется
сравнение отображения	р	с	классическим импульсом).
Определим теперь А*/?, полагая
Aip(t) — p-}(t)p(t + 1)e G .
О с н о в по й п о с т у л а т			(«закон Ньютона»). Тра-

ектория введенного объекта должна определяться урав нением

Д(р(*1<7) = Ф [<?(*)],

(8)

г<5е Ф: Q -*■ G есть некоторое заданное отображение. Мы отказываемся тем самым от рассмотрения более

общих отображений			Ф: £	2	x	Z	содержащих явную
зависимость от времени и от случая масс, отличных от
единичной. К ак'щ в			классическом				случае, задачи,		свя
занные с		уравнением	(8),	могут		носить различный			ха
рактер: от «интегрирования», т. е. определения q(t) по
заданным		Ф, д(£о), д(£о1?),			до	установления		тех	или
иных общих фактов, относящихся к определенным клас
сам	движений. Простейший			из таких классов — свобод
ное	движение, соответствующее					выбору Ф: Q		е,	где
е — единица группы			О?. Подобный				пример мы	рассмот
рим в п. 4, в несколько более содержательном контексте.
	1.3.	Модель *квантованного				объекта. При		переходе к
«квантованию» мы по-прежнему						ограничим построения

рамками ^конечного конфигурационного пространства Q, введенного в п. 2. Но теперь определение аналога рас смотренного классического элементарного объекта пре дыдущего пункта требует дополнительных построений, связанных с заданием на Q структуры, аналогичной вве денной в § 2, гл. 0.

Элементарным объектом назовем комплексную функ цию

/: Q->C< x ^ f { x ) (9)

196

МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

1ГЛ. IV

и введем в линейном многообразии объектов скалярное произведение, полагая

(/.g) =	2 /()i()
	xeQ

и превращая его тем самым в ^-мерное гильбертово про-, странство Н. Будем именовать иногда введенный объ ект «частицей»,-подчёркивая его родство с «материаль ной точкой». Обозначим через |/> нормированный на еди ницу элемент Я, соответствующий элементарному объ екту /:

,/>==ТиВЧ'

назвав его состоянием элементарнргр объекта (9). Объ ект как таковой может рассматриваться при этом как семейство {и/}, и е С » элементарных (отображений (9)) или как луч гильбертова пространства Я, определяемый состоянием 1/>.

Ортонормированный базис (е*), введенный в § 2, гл. 0:

переобозначим, полагая

U(j)> « \хУ

и записывая соответствующее разложение в виде

/ ( 4 = 2 / * i*>,		(Ю)
Введем специальное обозначение для скалярного про
изведения состояний \|/>,	Г#>, полагая
< / 1 4 =	I /, н\\1, н \| •
З а м е ч а н и е . Мы пользуемся вариантом		так на

зываемых обозначений Дирака, являющихся во многих случаях весьма выразительными. Следует при. этом иметь в виду, что в физических трактатах, использующих по добные обозначения, в скалярном ^произведении чёрта (знак комплексного сопряжения) ставится над п е р в ы м сомножителем.

Из приведенной цепочки определений немедленно следует

§ 1]	МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ м е х а н и к е		197
У т в е р ж д е н и е 4. Нормированная		на	единицу
	П
сумма	набора состояний \|/i>, .,	\|/п>	с комп-
	1

лексными коэффициентами ah снова определяет со стояние.

Это утверждение • выражает так называемый4 «прин цип суперпозиции»— один; из п о с т у л а т о в квантовой механики.

Пока нами не рассматривается динамика, введенное понятие состояния следует относить к некоторому фик сированному моменту времени £о. С этой точки зрения

объект (6) можно считать частным' случаем					нового объ
екта, соответствующим состоянию			\|/>^= \|#>,		x = x{to).
Переход	от объектов	(6) к более	общим	объектам		(9)
назовем квантованием.		состояния	I/> значение \ f j 2 в
Для	произвольного
представлении
	I /> = ]k£ /* к >
может трактоваться как в е р о я т н о с т ь				обнаружения
частицы в точке х <= Q		(в. данный момент to) г
С формальной точки зрения ничем не хуже предпо
ложение	о переходеот грассмотрения материальной					тЪч-

ки к рассмотрению «размазанного» объекта, те или иные доли которого попадают в разные места.. Но более при нята вероятностная трактовка, которой мы и будем при держиваться.

.Вещественный функционал, заданный на множестве состояний, будем называть характеристикой объекта. Ха ким образом, характеристикой является рассмотренный функционал

Sx\f> ~H x\f> \2^*\fJ*.

Для дальнейших построений нужно ввести в £2 ка

кие-либо числовые координаты. Можно,	например, как
и в §-2, гл. О, занумеровать точки х, у,	...	числами О,
±1, ..., =fcZ, 'N = 21+1. Это позволяет	ввести, важную
характеристику частицы — среднее ^значение		координаты
в состоянии \|/>:
х \ п = Щ х \и \\		(И)

Теперь полезно заметить, что этот функционал при7 надлежит к одному из важнейших стандартных классов

198

МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

[ГЛ. IV

вещественных функционалов над гильбертовым про странством: к классу функционалов, порождаемых не которым эрмитовым операторЬм А: Я - > Я , согласно фор муле

Я|/> = < /и |/> = (/, At).

. (12)-

Использованный в среднем члене стандартный гспособ за писи йодчеркиваёт самосопряженность (эрмитовость), оператора А, а круглые скобки в последнем члене гово рят о том, что ’элемент A f не обязан быть нормирован ным на единицу. Сам оператор А. в таком.контексте на зывают наблюдаемой.

Для (11) роль А играет оператор X «умножения на координату», задаваемый формулой

			* i/> = 2 * /* i* > .					аз-)
				X
Соответственно			формула	(12)	дает	среднее	значение
произвольной наблюдаемой А.					базис	ИхУ) является		ба-
Из	(13)	следует, что		наш	базис	ИхУ) является		ба-
з и с о м - с о б с т в е н н ы х в е к т о р о в						оператора	X и	за
пись	(10)	есть	запись	разложения		состояния	1/>	по

этим собственным'векторам. Аналогичную роль при вы числении средних значений (12) или, в большей общ ности, при вычислении вероятности обнаружения в со стоянии |/> значений наблюдаемой, попадающих в за данный интервал, играет разложение 1/> по собствен ным, векторам А.

Прежде чем остановиться на этом факте подробнее, сделаем следующее важное замечание. Как и в § 2, гл'. 0, наличие у оператора X базиса собственных век торов есть специфическое «удобство» конечной модели:

при переходе	к континуальному			случаю элемент	\х>
становится обобщенной		функцией,		н е п р и н а д л е ж а -
щ е й пространству Я.				{\икУ} — полная	орто-
Итак, пусть	А — наблюдаемая,
нормированная	система	собственных векторов операто
ра А, I/> — некоторое состояние и
A \uk} = %h\uk},			=

Тогда вероятность обнаружения в этом состоянии значе ний наблюдаемой А, лежащих в интервале а ^ [а, Ь], дается формулой

Р<Х = 2	f e w ( a ) i если Xfe<= a.	(14)
fte©(a) .

§ 1]

МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ"МЕХАНИКЕ

199

Понимая интеграл как соответствующую сумму, можно придать (14) вид классической формулы

P« = ( f \ I f d E i i A ) ^ .

^Леа ^

Возвращаясь к средним значениям, определим важ

ную	характеристику *пары			«наблюдаемая-состояние»,
так	называемую	дисперсию: среднеквадратичное откло
нение значений наблюдаемой А в данном состоянии						I />
от среднего А\|/>.		Вводя	обозначение		Аа = А — 1А,	где
/ — единичный оператор,			и	замечая,	что оператор	Аа
снова самосопряженный, можем записать

62(Л, /) = </ \А%|/> = 1Л6/,Я |2.

Взяв, в частности, в качестве А рассмотренный вы ше «оператор координаты» X, естественно считать ве

личину	62(Х,^/)	«мерой неклассичностй»					объекта. Как
нетрудно подсчитать,			62(Х,	/)	достигает		минимума		на
«классических состояниях»				\| /> — 1#>		(62(Х, х) = Р)			и
максимума — на		состояниях,		не содержащих				информа
ции о положении частицы:-1/> = N~m						при любом x ^ Q .
Дисперсия входит также в математическую формули
ровку	« п р и н ц и п а		н е о п р е д е л е н н о с т и »					Гейзен
берга.		/	5. Для	любой пары			самосопряжен
У т в е р ж д е н и е
ных операторов		А, В У Н -^Н			й произвольного состоя
ния I/>
	б(Л, /) 8 (Я, f ) > т			К/1 И. В] I /> I,				(15)

где [А, 5] — коммутатор операторов А, В (являющийся самосопряженной оператором) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметив, что для любых посто янных а; р [А — а, В — р] = [А, В], можем записать


К / I [А, ЯН />Г= К / I [Аа, Д ] I /> ! -
~ I <BJ I Аа/> -		<А415б/> I -		2111ш<Аа/1 В ф \ <
	<2\|<Аа/15а/>\|<21Аа/? Н\ \|5 б/, Я \|. ■
ыеравенстви (15)		связывают		обычно	с замечанием,
что для	неклассического		объекта	невозможна одновре
менная	минимизация" б (А,		/), 6(5, /) при		некрммутиру-

ющих А, В (отсюда—«принцип неопределенности»).

200	МОДЕЛИ' В КВАЙТОВОЙ ФИЗИКЕ		(ГЛ. IV
Отметим	еще, что величина	1</\|£>1 часто	рассмат
ривается как	м е р а б л и з о с т и	состояний \|/>,	I'g’), свя

занная с вероятностью перехода из одного состояния в

другое.		обратимся - к	д и н а м и к е , т. .е.
На следующем шаге
к описанию	изменения	состояния </1	во .времени. Будем
по-прежнему	предполагать e t o . дискретным. Аналогом

(6)должно быть, теперь отображение

F:Z->H ,

множества целых чисел в единичную сферу пространст ва Н. Вместо (7) должны иметь

	Щ1/): \| /(» — \| /(* + 4».	(16)
где	U: Н Н — некоторый унитарный	оператор и
& tW )= \J(i\f). Тогда ,
	1 ) е в ,
где	© — группа унитарных преобразований	Н и естест

венным аналогом динамического постулата (8) должен был бы быть закон вида

	- дд1(*\|/)=Ф(\|/(0>),
где	Ф: Нг+ ® — некоторое заданное	отображение. Одна
ко	в действительности в качестве	основйого динамиче

ского постулата квантовой' механики выбирается соотно шение иного характера. Построим его аналог.

Поскольку Н является комплексным линейным про

странством, определена разность
д,\’/()> = ! / ( + 1)> ~ !/(*)>	I /(*)>.	(17)

не имевшая смысла в классическом варианте нашей

модели.
	Если заметить теперь, что для любого унитарного
оператора U			имеет	место представление U =т		где
Н — эрмитов			(знак перед Ш выбран в		соответствии о
традицией) и сделать дополнительно предположения:
на	1) в (17) можно заменить разность				U —7 = e“fH —/
	главный		член —- Ш (предположение		«малости»	ша
гов	по	£),		зависит явно от	времени ш	эле
	2)	оператор Н не
мента		1/>,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202331.73 Mб0Многоканальная электросвязь и РРЛ..pdf
#
12.11.20237.15 Mб0Многоканальные системы передачи оптического диапазона..pdf
#
12.11.20234.27 Mб5Многоковшовые экскаваторы..pdf
#
12.11.202313.14 Mб3Многокомпонентные наноструктурированные покрытия на основе нитридов металлов III и IV групп периодической системы для упрочнения резьбовых соединений разработка, получение, исслед..pdf
#
12.11.2023942.73 Кб0Многоликий мир. Миграции и их роль в современном мире.pdf
#
12.11.202313.35 Mб0Многомерный анализ и дискретные модели..pdf
#
13.11.202323.74 Mб7Многоуровневые функциональные схемы кристаллических лазеров..pdf
#
12.11.202317.52 Mб4Многофазный поток в скважинах..pdf
#
13.11.202322.76 Mб6Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения..pdf
#
12.11.20233.96 Mб0Многочастотные системы передачи дискретных сигналов..pdf
#
12.11.20236.03 Mб1Многочастотные устройства передачи дискретной информации..pdf