книги / Многомерный анализ и дискретные модели

является оператором умножения элемента базиса на чис­ ло aj и называется оператором числа частиц (в состоя­ нии со значением импульса Лг=А(/)). Поскольку одно­

[Ль А*] — б (г — /).

Операторы

2i ^ Ч :. 2i |* У ) |Л Ч .

называются оператором полного числа. частиц и опера­ тором энергии. Энергия при этом считается обычно «ре­ лятивистской», т. е. вместо |й| стоит множитель (&2 + т 2) 1/2, но мы сможем придать ему смысл лишь

вп. 4.

Врезультате мы имеем примеры семейств операто­ ров, зависящих от параметра — координаты (в данном

случае— импульсной), т. е. в приведенных рассмотре­ ниях нашла свое отражение первая из перечисленных в п. 1 черт КТП (строя пространство Фока, мы начали со второй). Прежде чем переходить к третьей черте, рас­ смотрим простейший динамический пример, связанный с перераспределением числа частиц.

Зависимость от времени в используемой картине вве­ дем просто как зависимость амплитуд — элементов S от дополнительного параметра ,t. Подобный примитивизм используется редко, ввиду нарушения в нем требований лоренц-кбвариантности.

Наряду с (4), одним из простейших самосопряжен­ ных операторов, определяемых через Л* является оператор

С помощью (5) мы и построим модель гамильтониана. Положим

F + -4|)> Н = jt0F + j

где Яо: S -*■ So— оператор проектирования. Введем даль­

а остальные базисные векторы в S оператор Н аннули­ рует. Ортонормированными собственными векторами для Н, принадлежащими собственным значениям О, Т2 и да­ ющими базис S° ® S \ будут

Ао=(0, 2_1/2, —2~1/2), Л1Г- ( - 2“1/2, 1/2, 1/2),

ответствующие состояния стационарны. Если же, напри-

цессов' превращения частиц, по полное отсутствие в пей пространственных представлений делает ее. слишком <\бёдной» и нереалистичной. Более реалистичные поле­ вые операторы мы рассмотрим в п. 4.

2.3. Пространство Минковского и аксиоматика. Труд­ ности, связанные с осуществлением в континуальном случае построений, аналогичных приведенным в п. 2, и рассматриваемым ниже в пп. 4, 5, привели к образовав ншб в КТП направления, .характеризуемого обычно как

аксиоматическое. С точки зрения этого направления, полем Ф(х) (скалярным) называется отображение про­ странства-времени (пространства Минковского) М

Ф:' М —*-$(#), Х1-* Ф(х)

в алгебру эрмитовых операторов St над некоторым комп­ лексным гильбертовым пространством Я, играющим роль пространства амплитуд (роль нашего Пространства S). Природа. Я, однако, не конкретизируется.

Чтобы иметь возможность отразить установки этого направления в наших моделях, необходимо осуществить построение конечного аналога релятивистского простран­ ства-времени (по крайней мере двумерного). Такой ана­ лог М2 должен, быть двумерным векторным пространст­ вом с координатами (£,#) и спариванием (индефинитным скалярным произведением), определяющим лоренцеву метрику. Чтобы М2 оказалось конечным множеством,

ние и умножение mod 7. Ненулевые элементы £Г распа­

которые в ряде случаев будут играть для нас роль поло­

жество из 49 элементов, обладающее структурой двумер­

оставляющими инвариантной форму (7), .назовем груп­ пой Лоренца. Как можно проверить, J27 состоит из эле­ ментов А%, соответствующих преобразованиям, для кото­

В частности, подгруппа, порождаемая элементами Ля, совпадает с так называемой коммутаторной под­ группой в 3 и, по аналогии с континуальным случаем, сможет быть названа собственной ортохронной группой Лоренца 3 '. Присоединение к 3?' элемента я дает ос­ новную для дальнейшего ортохронную группу Лоренца,

щих в основе упомянутого в начале пункта аксиоматиче­ ского направления.

к введенному в А.1 представлению группы П*. В кон­ тинуальном случае унитарные операторы U(l, а)* (даю­ щие, в совокупности, представление подгруппы перено­

P = \pdE{p) .

Заметим теперь, что геометрия Минковского в Л/2<инду­ цирует соответствующую геометрию в Ш2 (см. п. 4), по­ зволяя; в частности, определить «конус» F +. ..

А.2. Спектр Р (точки, где dE(p)¥=0) лежит в F f; точка р = 0 принадлежит спектру, соответствующее собт

но с т ь в а к у у м а ) .

За м е ч а н и е . Мы воспроизвели, по существу, конти­ нуальную формулировку постулата. Более краткий, чиг сто алгебраический [67], вариант-имеет вид

А.2'. Характеры одпомёрных представлений подгруп­

пы переносов Т <= П1, параметризованные парами (ро, р\) еЁ М 2, принадлежат F +.

Отдельно надо добавить А.2". Существует единственное одномерное подпрост­

ранство (вакуум), инвариантное относительно/всех опе­ раторов U (А, а).

Наконец, последний постулат:

А.З. Коммутатор [Ф(х), Ф(х')] — 0, если (х, х ') е ^ ^ ( л о к а л ь н о с т ь и л и п р и ч и н н о с т ь ) .

Уравнение (11) ^-инвариантно,, но последнее требова­ ние в нашей модели не инвариантно, вообще говоря, да­ же относительно «271. Единственным подходящим значе­ нием т 2, при котором решения (И), удовлетворяющие " дополнительному условию (12), образуют орбиту

тем; чтокаждому допустимому значению к однозначно

ставление в Sn при произвольном п. Если записать эле­

наш базис является базисом собственных векторов опе­ ратора сдвига. В 5° полагается U(A, а )= 1. Из (14) могут быть получены трансформационные , свойства опе­

раторов А*, Aj (см. п. 2). Воспользовавшись взаимцо однозначным соответствием между ицдексами / и векто­ рами к„ будем писать Ajj-’s. Будем иметь :

Для At в (15) меняется знак показателя экспоненты. Отправляясь от Ак определим операторы поля. По­

ложим

Ф_(£, 2с)= ехр(—vx *ki)Ai + ехр(—vx ’к2)А2 +

+ ехр(—vx *к3)Аз,

218 МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. IV

где экспоненты — числовые множители. Аналогично

з

Ф+ (£, х) = 21 exP(vx*^iMi*

Вычислим коммутатор построенных операторов, соответ­

Коммутатор этот, в силу свойств операторов А,, является числовой функцией (обозначаемой гА+) разности х — х', умноженной на единичный оператор. Вводя обозначения

[Ф._(х), Ф+(х')] = г Д + ( х - х ' ) ,

[Ф+(х), Ф ^( х' ) ]= гД_(х — х'),

непосредственно из. определений будем иметь

йуса, т. е. построенный оператор поля Ф(£, х) удовлет­ воряет требованию локальности.

Введенные операторы Ф(£, х), вместе с другим се­ мейством операторов W (£, х) («Сопряженным импуль­ сом»), порождаемым второй простейшей комбинацией из. Ф+Ф-, дающей самосопряженный оператор

ЧЧ*,*)-*(Ф_ •-<!>+),

являются основным материалом для динамических кон­

Вероятность обнаружения в момент £" фиксированного состояния./о задается, согласно правилам квантово-меха­ нического описания, числом:

где скалярное произведение берется в S.

В континуальном слудае пачальный и конечный мо­

приводит предположение о том; что U определяется эр­ митовым оператором Н — гамильтонианом:

U (*)■== ехр(—Щ(£))у

который, в свою очередь, строится из операторов поля:

где F — некоторая функция простой структуры, выбира­ емая из тех или иных дополнительных соображений. Важнейшим образцом (при подборе F) служит гамиль­ тониан «par exellence»— оператор энергии, получаемый пересчетом соответствующего -оператора из п. 2. Выбор представления для Н в форме (19), даже если отвлечь­ ся от магического «принципа соответствия» (в классиче­ ской теории поля гамильтониан именно подобным обра­ зом выражается через амплитуду поля *с заменой, разу­ меется, суммы на интеграл), может быть оправдан удоб­ ством учёта, при таком задании, требований локальности и ковариантности (ср. [4], §18) . Например, если

НЛ<) = Е г (х )Г { Ф (х ),В Д }

X-

ли g и / пространственно разделены), то операторы Н$, Н, должны коммутировать.

Дальнейшее использование гамильтониана (19) вы­ глядит Для нашей модели следующим образом. Пусть

[*', t " ] = [То, Tl] + [Tl, Т?] +',. . . + [Т п-1, т „ ],