книги / Многомерный анализ и дискретные модели

ляется непрерывной функции» можно продать точный смысл, считая его означающим1, тто класс, содержащий и, содержит, непрерывную. функцию и\х\ (однозначно оп­ ределенную), с которой во всех рассмотрениях можно

TF1 является лррстранство TF1, содержащее элементы, под­ чиненные дополнительно однородному .граничному усло­

вию. Пусть С1(F) — линейное многообразие непрерывно дифференцируемых в F функций, подчиненных условию

и1я = 0, vis VO, ... Определим на С1(F) скалярное про­ изведение, полагая (удобно ограничиться сперва случаем тг = 2)

Пополняя Cl(V) по норме, порождаемой этим скалярным

произведением, получим гильбертово пространство W 1,

определен интеграл J и2 dy по любой достаточно регуляр- v

ность в IH множеств, ограниченных в W 1.

При отказе от однородных граничных условий про-

странство W 1 («без точки») строится путем замены Cl(V) на С1(V) и добавления в определение (3) скалярного произведения слагаемого (щ v) . Компактность вложения, интегрируемость вдоль кривых элементов W 1 сохраняют­ ся; равенство (5), разумеется, нет. Неравенство (4) ста­

Соответствующие аналоги утверждения 1- имеются и при переходе к пространствам Wm, определяемым по тому же плану, с привлечением скалярных произведений типа (3), содержащих производные порядка т > 1 . Интегри­ руемость по (п —1 )-мерным поверхностям заменяется ин­ тегрируемостью rio поверхностям, размерность которых^зависит и от лг, и от п. В частности, справедливо

У т в е р ж д е н и е 2. При 2т > п элементы простран­ ства-Wm суть непрерывные функции, ш

В этом случай значение элемента Wm определено в каждой точке (на «нульмерной поверхности»). Таким образом, при п = 1 непрерывными будут элементы W \ что нетрудно проверить и непосредственно.

Изучению функциональных пространств «типа W» по­ священа обширная литература. Укажем лишь £10], [43].

5.3, Дифференциальные операторы. Методы исполь­ зования теории операторов при изучении граничных за­

§51 IIPОСТРАЙОТВА и операторы 83

дач мы проиллюстрируем да двух типичных примерах [12], [13].

У р а в н е н и е П у а с с о н а . В области V a IRn, удов­ летворяющей условиям, обеспечивающим' справедливость утверждения 1, рассмотрим задачу Дирихле для уравне­

ния Пуассона:

(6)'

Обобщенным решением задачи (6 ) назовем элемент и <= е W 1 такой, что при любой v е w l выполняется равенство

Очевидно, что всякое классическое решение (обладающее вторыми производными внутри V и первыми, непрерыв­ ными вплоть до границы) являйся одновременно обоб­ щенным. Обратно, всякое достаточно гладкое обобщенное

сить все дифференцирования с у на н и воспользоваться произвольностью у). Трудным является вопрос о доста­ точных условиях на / и F, обеспечивающих гладкость («классичность») обобщенного решения; Мы этот вопрос

лучаем \щ W l\2= 0 , откуда и следует единственность ре­ шения.

Для доказательства существования заметим, что^ ска^- лярное произведение в правой части (7) определяет, при

быть реализован в виде скалярного произведения {и, v} при некотором и <= W l^4no и дает (7),- .■

Сделаем несколько дополнительных замечаний. Зада­ ча Дирихле с неоднородным граничным условием и!я = Ф, при достаточной гладкости S и ф , сводится к однородной обычным образом*.

Цри выбранном подходе значительно сложнее задачи Дирихле оказывается задача Неймана, соответствующая присоединению к уравнению Пуассона граничного усло-

вия .-|~ |з = 0. Ее рассмотрение требует введения про­

странства Why получаемого путем выделения в С1 (У) под­

многообразия CN функций, ортогональных константам, й пополнения его по И^-норме. Обобщенное решение оп­

ределяется для и, равенством (7), и теорема су­ ществования и единственности доказывается при условии / е !HN (пополнению CN по 1Н-норме). Дополнительные /трудности возникают при доказательстве теоремы вло­ жения.

Отметим в заключение, что в основе приведенной схе­ мы лежит, по существу, использование самосопряженно­ сти и положительности (определяемого введением обоб­ щенного решения) оператора — A: IH—>• IH. Схема допу­ скает обобщение на широкий класс эллиптических (и «квазйэллиптических») операторов, быть может, возму­ щенных несимметричной младшей частью, и тесно связа­ на с вариационными, методами.

У р а в н е н и я а к у с т и к и. Так часто называют про­ стейшую гиперболическую систему уравнений

Мы рассмотрим ее в прямоугольнике V = [0 ^ t < b\] X X[0 < a ;^ 62] при граничных условиях

(8 ) в виде равенства

Lu== /.

Запись и е И , С1, ... и т. п. означает, что соответствую­ щему пространству принадлежит каждая компонента и. Скалярное произведение и норма для н, v e H ’ опреде­ ляются обычным образом:

щенным решением (сильным) задачи (8 ), (9), если су­ ществует последовательность {щ}, элементов, принадлежа-

его, в рамках теории операторов, неизбежно оказывается

(Ьщ и) =={щ Lxv),

дающее обычную связь данного и транспонированного опе^ раторов.

Л е м м а 1 . ' Для обобщенных решений задачи (8 ), (9) справедливо неравенство

вить (Ф) для и<=С\ удовлетворяющей условиям (9). Вос­ пользуемся (1 2 ), полагая v = u и проводя интегрирование

. Теперь из следствия 1 леммы 1, леммы 2 и части 3~ последней леммы немедленно следует

Т е о р е м а 2. При любой / е Н . обобщенное реше­ ние задами (8 ), (9) существует и единственно.

Аналогичная теорема 2* справедлива, очевидно, и для задачи (1 0 ), (1 1 ).

Приведенная схема рассуждений, существенно исполь­ зовавшая равенство L4 = —L, допускает распространение и на значительно более общий случай так называемых симметричных положительных, систем первого порядка [12] , [64], для которых Lx= —L + А и оператор А подчи­ нен соответствующей (согласованной с L) системе требо­ ваний.

Основной трудностью при реализации приведенного плана явлйется обычно доказательство леммы 3, 3* (име­ ется целый ряд задач, в которых эта трудность остается непреодоленной). Стандартным приемом является провер­ ка того, что слабое решение является одновременно силь­ ным. Поскольку обратное утверждение очевидно, провер­ ка эквивалентна >доказательству совпадения слабого и

соб доказательства лемм, 3, 3* будет проиллюстрирован на модельном примере.

_5.4. Операторы осреднения. Осреднения позволяют со­ поставить элементу того или иного функционального про­ странства элемент того же пространства, обладающий большей гладкостью (регулярностью) и одновременно близкий к нейу в соответствующей норме. В нашем изло­ жении мы ограничимся, в основном, одномерным случаем.

Пусть | ё R1 и са (!)е С00— четная неотрицательная функция, (о (1) == 0 при 111^ 1, J ю (Б) <%>= 1 (подразуме­ вается интегрирование но всей прямой). Введём обозна­ чения

будем называть стандартным оператором осреднения. ,Пе­ речислим его свойства.

J-1. Для любого элемента w e H элемент причем

D xJги = j \&х<йг(#» х')\ U(af)rdx'.

1\а7гй —/ 8 (аи) II 0 при е -*0.

Важную роль в приложениях играет наличие для осредпеппых элементов формулы, являющейся^ аналогом «интегрирования по частям».

порядка интегрирования. Знак «минус»-— следствие нечет­ ности продифференцированного ядра <в£ (#, х ') .

Часто оказывается удобпым воспользоваться специаль­ ными операторами осреднения, обладающими теми или иными нужными дополнительными свойствами. Так, по­

будем иметь

/-7. Для любого элемента welH(F)

J t u |я—Ь = 0» - J г И-|зс=о ^ О,

При этом свойства /-1, 2, 3, 4 ддя специальных осред­ нений сохранятся, а вместо /-5 будем иметь равенство

(JeU, V) — (U, Jev).

Аналогичным образом видоизменяется /-6, Нетрудно построить и оператор Л , обладающий тем

свойством, что при любой welH J ш |х==0 = J ги |х=ь = 0. Для этого достаточно взять в со£ аргумент вида

е -1[ х - (1 -4 Ь -'е )х '-2 е ] .

Проиллюстрируем использование операторов J f , при­ менив план, изложенный в п. Зг к элементарной задаче Коши:

Lu = Dtu + a(t)u=* /, t ^ [0, Ь], и |<=0 = 0 (14)

(поскольку речь идет о задаче Конги, естественно перей­ ти к переменной t). Как отмечалось, одновременно нужно^ рассматривать задачу

Не: повторяя • определений и этапов рассуждения, приве-

§51 ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 89

денных в п. 3, воспроизведение которых очевидно, оста­ новимся на эквивалентности слабого и сильного определе­

Поправка к\г1 Иг)е11“^0 при 8->0, возникает в результате

использования /-4 при замене в (16) /Г (яи) наа/Ги-Взяв последовательность eft = 2~\ к = 1, 2, .. ./получим, соглас­ но (17), соответствующую последовательность ик == / eku,

входящую в определение сильного решения. ■

Если бы в (14) мы имели a(t)Dtu (в предположении, что уравнение на <x(t) разделить нельзя), то для получе­ ния., (16) нам потребовалось бы одно из наиболее тонких

a s C 1, но сохраняет силу и в сделанных предположениях. В отличие от тривиального /-5, теперь надо поменять ме­ стами операции осреднения и умножения на функцию под знаком производной.

/Свойство /-8 сохраняет силу и для специальных опе­ раторов осреднения/

Остается заметить, что при переходе к многомерному случаю берется ядро-произведение

G)e (®i, Яг) ... Юе (%п, #п).

При этом свойства стандартных операторов осреднения и

их доказательства не претерпевают, по существу, замет­ ных изменений.

Что касается специальных осреднений, дело обстоит сложнее. Использование специализаций весьма разнооб­ разно и зависит от характера требуемкх граничных усло­ вий, которым должен удовлетворять осредненный элемент. К примеру, если

причем область V расположена в полупространстве х\ > О, имея участок границы So, лежащий па гиперплоскости

Х\ = 6 (или близкий к ней), то J7u |s 0 = ,0.

А для получения гладкой функций, удовлетворяющей условиям. (9), следует воспользоваться комбинацией ос­

реднений /Г по t и J e по х и т. При этом, естественно, техника доказательства утверждений типа леммы 3,3* су­ щественно усложняется.