книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 5] МНОГООБРАЗИЯ С ГРАНИЦЕЙ 131

Не приводя точных определений, укажем, что в при­ мере 2.с, п. 2.2, гл. Г таким относительным циклом будет элемент #1 Хе\ (и ли ^ Х е ) , порождающий цикл на М (гомеоморфным в этом случае тору), не гомологичный циклу е{X ух + е2X у у.

Для форм со, гармонических на М (удовлетворяющих

существуют четные (нечетные) гармонические формы

где 6f — символ Кронекера. Четная (нечетная) гармо­ ническая форма, все интегралы от которой по циклам

Г(Р) (или У(Р)) равны нулю, есть нуль.

Утверждение вытекает из результатов, приведенных в [61], [65].

Поскольку всякое решение однородной системы (L),

(V) является гармонической формой и, обратно* всякая ненулевая гармоническая форма дает нетривиальное ре­ шение соответствующей однородной системы, из утверж­

необходимым и достаточным условием разрешимости си­ стемы (L) (или (Ьх)) является выполнение условий

(/(р)> Ц(р)) в 0, i — 1» ... »В р

для всех четных (нечетных) значений р. При выполне­

нии дополнительных условий{ы>1Р^ и\Р))=* 0, i = 1, . . . , Bpi где р принимает все нечетные (четные) значения, ре­ шениеединственно.

Из утверждений 1, 2 следует результат теоремы 1, относящийся к четным формам. Сохранение; его при' пе­ реходе к нечетным\ формам следует из теоремы двой­

132 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. II

В о - 1, В ’к-\ = N ,

аостальные числа Бетти равны нулю, т. е.

x( r ) = i + ( - i ) n- w .

Таким' образом, при N = 0, .1, 2, ... получим для четных

извольного числа измерений для любого целого m можно указать область, систему уравнений и класс граничных условий, такие, что индекс соответствующей задачи бу­ дет равен т.

Построения § 4 позволяют немедленно получить анало­ гичный результат для пространства ВНГ(У'), где V' — произвольное гладкое, многообразие с границей (М — = V' UV" по-прежнему предполагается компактным).

Действительно, .достаточно, предположить, что рас­ смотрения проводятся на М в^ подпространствах четных или нечетных форм, т. е. элементы из 3><*, S)e (областей определения соответствующих операторов) подчинены граничным .условиям вида (6), (7), § 4, использовав­

этом конечномерно и размерность его, в зависимости от четности или нечетности рассматриваемых форм, опре­ деляется числами Бетти В'р,Вр.

Отметим еще, что иногда на многообразии с границей (в частности,' в области евклидова пространства) испрльзуется и другой вариант-разложения (3) (упоминав­ шийся в § 2), в котором операторы d, б рассматривают­ ся первоначально на гладких финитных формах, а затем берется их замыкание в ОН. В этом случае (при невы­ рожденной . границе) подпространство ' 91д оказывается

бесконечномерным' подпространством 0НГ (V' ) . 1 Принадле-. жащие ему элементы, свободны теперь от каких бы то ни было граничных' условий и являются гармоническими

вкаждой внутренней точке F'.

5.3.Интеграл Коши. Вернемся к предположению, что.

ниях не участвуют).. Будет теперь удобно объединить системы (L), (Ь1)- рассматривая совокупность уравнений.

формы (теперь неоднородной) , для такого агрегата. Име­

Эта^ формула— основа всех дальнейших рассмотрений. Назовём со голоморфной, если .йГсо — 0. Введем* в рас­

смотрение голоморфную форму е, все компоненты кото­

щий от необходимости дополнительных пояснений. Вве­ дем в рассмотрение двойную форму [39]:

е(х, у) = 2 . 2 - d x 1Д .. / Д d x v Д d y 1Д . . . Д d y p,

считая, что dx*, dy3 коммутируют при внешнем умноже­ нии и операторы d, 6, действующие по *х (по у), коммутируют с dy’ (с dx*). Тогда равенство

X (У) = . f [ш Д * (х , у)—е (х, у) Д * «а»]' = 0, (7)

атт

в котором 'интегрирование ведется по переменным х , означает обращение в нуль всех коэффициентов, формы %(у), что эквивалентно утверждению 5.

Двойная формате (а:, у) удобна также при записи ана­ лога интеграла Коши. Пусть

ка»). я Аналогично может быть вйеден интеграл типа Коши.

(интегрирование по у) голоморфна в Rn\ d V .* я

В этом случае для % могут быть получены, формулы скачка и рассмотрено представление %(#) ПРИ

(cp.,[3J).

Наиболее нетривиальным из результатов рассмотрен­ ного типа является теорема Морера, установленная впер­ вые при п = 3 в работе ,[66], а в общем случае — в [37] (в [37] содержатся одновременно подробные доказатель­ ства утверждений 5—7).

У т в е р ж д е н и е 8 ( т е о р е м а М о р е р а ) . Пусть

форма со (ж) непрерывна в У czR71, и для нее выполнено равенство (7) при интегрированиии_ по границе (доста­ точно регулярной) любой подобласти U с: V. Тогда для о (я), справедливо представление вида (8), г. е. она го­ ломорфна в У.,.и

§ 6. Некоторые уравнения математической физики

6.0.Предварительные замечания. Риманов форма­ лизм, .называемый также дифференциально-геометриче­ ским подходом, распространенный зачастую на комплекс­ ный случай и значительно более развитый (использую­ щий понятия кривизны, связностей, теоретико-групповые методы и т^ дь), является рабочим аппаратом ряда важ­ ных направлений современной теоретической чфизики (например, [58]). Мы, однако, ограничимся сугубо, клас­ сическими примерами, относящимися к гидро- и электро­ динамике.

В контексте общих установок книги инвариантная трактовка тех 1гли иных задач важна, в частности, по­ стольку, поскольку-она автоматически приводит к неко­ торым дискретным аналогам.

6.1.Уравнения Эйлера. Указанные в заголовке урав­ нения описывают^ движение так называемой идеальной (невязкой 1и несжимаемой) жидкости. Их инвариантная трактовка допускает различные интерцретации. Мы со­ средоточим внимание на предложенной в [20].

Вплоском стационарном случае, при отсутствии внешних сил, классическая форма записи уравнений Эйлера имеет вид

uDxu + vDvu + Пхр —0, uDav+vDyV + Dvp =**О,

(1)

Dxu + Dyv = 0,

где пара функций (и, v) задает поле скоростей, а—р — давление. Последнее уравнение (требование равенства

Остается проинтегрировать это равенство в пределах от

Одо Т.

Сдругой стороны, применяя к (8) оператор <2, а за­

ленности в знаке). Подчеркнем, что введенный форма­ лизм автоматически дает запись аналогов классических уравнений в евклидовом пространстве (или на много­ образии) произвольного числа измерений.

Одновременно укажем; что приведенные рассмотре­ ния отнюдь не " исчерпывают возможностей дифферен­ циально-геометрического подхода к уравнениям (1). Так, уравнения (8) могут быть записаны в виде

T S H *(«■»)•

где о) — эдемент некоторой алгебры Ли а и В: а Х а - > а — некоторая, билинейная операция [59]. Если а — ал­ гебра Ли группы 50(3), то записанное уравнение — классическая система уравнений Эйлера, описывающая

содержащие произведения и, v на производные, могут быть записаны как производная Ли {47] от U по вектору /и, /: Л1 Г1, то уравнения (7) запишутся в виде

(/1J)j dn + dy = О,

где J — операция., так называемого внутреннего умно­ жения вектора на ковектор {47]. Такая форма записи была использована в [16].

лишь при условии ортогональности, со константам:

140 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. II

J^ o )= 0. Соответственно, простейшее эйлерово течение —

течения:

,11 = и (х, r)dx + v ( x ,г) dr + w(x, r)dft.

Под осесимметричным принято понимать плоское осе­ симметричное течение, т. е. полагать Снова сот гласно § 1

му записи в цилиндрических координатах равенства ну-

Последнее равенство интереса не представляет, а из двух первых следует существование так называемой функции Стокса S(x, г) == “фз(х, г) такой, что,

U = у- Srdoc----~ Srdr.

Вводя вихрь согласно (4)', видим, что (4) оказывается эквивалентным скалярному равенству

5— Sxx — Srr “Ь Sr = (0.

Условие (5) примет вид

Sx<*r ——Sг^х j,2S — 0*ч

Вдополнение к приведенным примерам отметим, что

иобычные процедуры отыскания вида —А в сферических координатах суть тоже частные случай приводимых -рас­ смотрений (так называемые «параметры Ламэ>>— йе что

иное как корни квадратные из компонент, gu, S22 , £зз метрического тензора).