книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 4} |
АНАЛОГИ СООТНОШЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ |
181 |
элемент объема Fi,i, будем-иметь
d*U |V i,i = ui.i — Мол + Mu — Mi,о,
(6)
iSttlTij = 1>2,1 — Ml.l — U i,2 + M l,i.
Учитывая теперь, что значение вихря, входящего в урав нения: © = dU, совпадает со 'значением <Ш (но соот носится точке Ж2.2)
©2,2 = М2.1 — Ml.l — Mi,2 /H Ml.l,
пользуясь правилами внешнего умножения ковектора на
Т ft*
скаляр и вводя в рассмотрение давление — скаляр Y> получим
Ml,2®2,2 — If1,1 —Y1,2» |
М2,1©2,2 — p,l ~ Kl.l |
(7) |
|
(записаны значения U Д ю |
и |
на е\у2 и el,i), |
и |
M I,I — Мол + |
м у |
— Mi,o = 0 , |
(8 ) |
т. е. три уравнения для девяти величин — функций _ на элементах соответствующей размерности в нашей моде ли (См. рисунок).
182 |
МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. III |
Система уравнений'(7), (8), будучи «минимальной», очень бедна и не отражает, в частности, некоторых спе цифических свойств разрешимости уравнений (5), ко торые мы обсудим в, следующем пункте, «утроив» шаб лон. Но ряд замечаний удобно сделать сейчас.
Ясно, что простейший класс «течений» всегда можно получить, полагая <о — 0 (потенциальные течения). При этом, приравнивая нулю соотношения (6), будем иметь разностный аналог уравнений Коши—„Римана для «ко- вектор-функций».
Из уравнений (7) немедленно следует равенство ,
(^2,1 —TU)M1.2 +(Т1,2 - 7 и )у2;1 = О,
соответствующее закону Бернулли.
Обсудим, далее, введение скаляра ф —функции тока: U =* с£ф. Для этого потребуется4 включить в число гео метрических элементов шаблона точки #2,з, #з,2. Будем
иметь |
|
|
Иод .аая ф1,2—■ф>1,1, |
и1Лв ^2,2 “ *4)2,1* |
|
Щ,2= фз,2“ ф2£ |
(9) |
|
и соответствующие равенства,- определяющие |
Щ1 , |
|
Можем рассматривать |
теперь уравнения |
(7), (8) |
как уравнения для функции ^ и новой неизвестной функ ций ф. Уравнение (8) будет выполняться при этом тож дественно, а (7) переходят в нелинейные соотношения для <ф, содержащие множитель
— Лф I #2,2 = 4l|)2,2 — "фз,2 фг.З “ ф2Д ” ф1,2 = ©2,2* (Ю)
«Бедность» минимального шаблона сказывается . в воз можности задания (при рассмотрении уравнений для ф) произвольного значения 002,2* В то же время, специфиче ской чертой уравнений Эйлера является наличие для © в равенстве
© = Аф |
(И ) |
дополнительных нелинейных связей (нам удобно, в от личие от и. 6.1, гл. II, изменить в (И), знак i|)). Аналог упомянутых связей будет получен в следующем пункте.
4.2. Утроенный шаблон и разрешимость. «Утроим теперь введенный шаблон, йоспроизводя построения пре дыдущего пункта в случае трех объемных элементов: V\,u Уi.2> У2.1 . Помимо трех уравнений для дивергенций,
§ 4] АНАЛОГИ СООТНОШЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ 183
аналогов (8): |
|
|
|
|
|
|
||
d * U |F u |
= d * n\V h2 = |
d * |
U |7 2,I = 0, |
(12) |
||||
получим цепочку шести уравнений — аналогов пары |
(7): |
|||||||
Щ,2<й2,2 |
Tfl.l — Tl,2> |
^1,3© 2,3 = |
7 * ,2 — |
7 l,3 , |
|
|||
|
|
^2,2©3Л = |
7 2 ,1 ^ |
7 2 ,2, |
|
|
(13) |
|
^2,1©2,2 = |
72,1 “ 7l,b |
v2,2©2,3 = |
72,2 “ |
7l,2, |
||||
|
||||||||
|
|
^3,1©3,2 = |
7s,i |
.72,1* |
|
|
|
|
Но теперь |
эти уравнения |
не являю тся независимыми: |
||||||
исключая |
и з двух |
первых |
71,1, а из четвертого, и пято |
|||||
г о — ^2,2, получим |
основное |
нелинейное соотношение: |
||||||
|
(V2t\,+ щ г2) ©2,2 — *>2,2©2,3 +>2,2©3,2. |
|
(14) |
|||||
После исключения одного из использованных уравнений из цепочки (13) , остающиеся пять определяют (при за данных и, у, <в) значения 7 с точностью до постоянного слагаемого., А уравнение (14), вместе с тремя уравне ниями (12 ), должны быть использованы для опреде ления U.
Возникающую ситуацию удобнее * исследовать, при влекая функцию тока ф. После присоединения к элемен
там шаблона точек #2,4, #з,з, |
#4,2, к |
равенствам (9) для |
|
и надо добавить |
|
|
|
Щ,2 = Ф и — Фи, |
u\tz = ф2,4— фг,з, |
|
|
^2,1 = |
фз,2— фз,ь |
п2|2= |
фз,з — фз,2 |
и выписать соответствующие равенства для v. Уравне ния ( 12) для новой неизвестной функции ф будут вы полнены тождественно. Чтобы использовать аналог ра
венства |
( 1 1 ), добавим к |
( 10) |
равенства |
|
|
|
Дф1я2,3 = |
©2,3, |
Дф1#3,2 = ©3,2 |
|
(15) |
и будем |
строить «течение», |
присоединяя к |
{10), |
*(15) |
|
«условия Дирихле» для ф: |
|
|
|
||
Ь л = |
^2,1 = *фз,1 = ф!,2 = ф4,2 = Ф и =* Фз,3 = |
ф2,1 = |
0 . |
||
Теперь U можно определить, задавая в (10), (15) либо значения <в, либо значения трех (оставшихся свободны ми) величин' ф2|2, фз,2, ф2,з. Но при этом должны быть выполнены вытекающие из (14) нелинейные условия
184 |
МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
1ГЛ. III |
|
совместности, которым можно придать вид |
|
||
|
(фз,2 — фг,з) (фз,2 + |
фг.з ~ Ф2,2) = 0. |
(16) |
З а м е ч а н и е . Условия |
(16) получены |
нами непо |
|
средственно |
из (13). Можно |
проверить, что |
к тому же |
результату приводит использование дискретного аналога равенства йф Д с?со = 0.
Равенство (16) может быть записано, очевидно, и в виде условий на о), или условий на соответствующие зна чения и, V. Но структура условий остается при этом не изменной.
Рассмотрим варианты задания «течения» путем вы
бора ф: |
. |
, |
Значение а|)2,2 однозначно |
опре |
|||
а) Зададим г|)з,2, |
фг.з* |
||||||
делится из (16),,если фз.г^фг.з; если фз,2 |
— фгз» |
то |
фг,2 |
||||
остается произвольным |
(решений континуум). |
|
|
||||
1у) Зададим фз.г, |
фг,2 |
-(или |
фг.з, фг,2 j . |
Значение |
фг.з |
||
(или фз,г) можно |
выбрать,.если |
грг,2 ^ 2'ф3?2 |
(фг.г ^ |
2 ^ 2,3 ) |
|||
двумя способами. |
|
|
|
|
|
|
|
Ситуация аналогичного характера возникает,.и -при |
|||||||
непосредственном |
решении уравнений (12), (13) |
(с |
до |
||||
бавлением тех или иных «граничных» условий ,на ком поненты 11). При увеличении числа входящих 'в схему элементов, увеличивается число нелинейных соотноше
ний, возникающих из цепочек вида |
(13), и рассмотрения |
||
усложняются. |
|
|
|
Отметим, что при рассмотрении «длинной» схемы, |
|||
включающей элементы объема FM, |
А = |
1 , . . ., |
Af, s = |
— 1, 2, 3, при граничных, условиях |
vk>\ = |
vkt3 = |
0, на по: |
следовательности элементов Vh ,2 непосредственно прове ряется постоянство значений (о -(«сохранение вихря»). 1 4.3._ Нестационарные уравнения. Теперь мы покажем, что картина, связанная с разрешимостью, качественно меняется при добавлении «времени»; Последнее означает добавление зависимости U и 4 (Соответственно i|)) от не прерывного параметра" t. Включение такой зависимости должно соответствовать рассмотрению нестационарных однородных уравнений Эйлера, получающихся добавле
нием производной Dtu в первое из уравнений |
(1),, § 6 , |
|||||
гл. II и производной Dtv |
во второе. |
соответ |
||||
Для наших целей |
достаточно |
присоединить |
||||
ствующие производные |
к |
тем |
из уравнений (13), кото |
|||
рые участвовали |
в получении |
условий (14). |
Согласно |
|||
нашим правилам |
(мы |
фактически |
применяем |
оператор |
||
§ 5] ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКС 185
к уравнению U Д |
^ |
dy) будем иметь |
|||
|
DtU\t2— ^2,2©2,3 e |
|
Tl,2 “ |
Чъ2» |
|
|
+ |
1^1,2(02,2 == Tu |
Yl,2» |
||
|
DtV2,\ + |
U2,2(03,2 = |
|
72,1 |
72,2, |
откуда |
j5iUi,i —1^2,1(02,2 = |
7U ““ 7 2 ,b |
|||
|
|
|
|
|
|
Z)*i>2,l ” ^ < ^ 1,2 |
"1“ V2,2(02,3 H" ^2,2(03,2 |
— DtU\ti + (U\t2+ V2,l) (02,2. |
|||
|
|
: = |
j |
||
При записи |
аналога |
условия |
'(16) ".удобно ввести обо |
||
значения |
|
|
|
|
|
*ф2,з —'фз.г т= а (£), чрг.з +~*фз/2 = Р (О:
Если теперь считать а, ]} заданными функциями t (если вернуться к га, га, то это, в некотором смысле, «за дание вихря на входе»), то ^2,2 определится из урав нения
4DAl>2# = 5а (0 ф2,2 — а (t) р(0 + D $ (t) , к которому должно быть присоединено условие
% 2 (0) = ^2,2
(полное задание «течения» в начальный момент).
3 а м.е ч а н и е. Условия (16) принципиально меняют свой характер и при включении возмущения типа «вяз кости». Но для" разумного учета влияния вязкости необ ходимо введение . нормировки, выделяющей «старшие» производные.
§ 5. Двойной комплекс
Как уже отмечалось выше, при моделировании Кп можно ввести комбинаторный объект —«двойной комп лексу, в котором операция <¥ определена таким образом, что * == 1 (или ^ = ±1), т. е: .больше «похожа» на свой континуальный аналог. Опишём соответствующие построения.
Вместе с комплексом ©(га) (см. п. 1.2) рассмотрим
его «двойник»— комплекс ©(га), имеющий в точности ту же структуру. Зададим взаимно однозначное отображение
* : © - > © , @ + @ |
(1) |
186 МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
(пишем © вместо ®(га)),,определив соответствующее ото бражение базисных элементов:
|
|
|
%• '^(р) ^ |
S(n—Р)1 5(П“ Р) ^ |
^(р)> |
|
||
где |
элемент |
ГК» |
|
ГЧ« |
|
|
|
|
s(n_p) — элемент |
©, 'трансверсальный (по оп |
|||||||
ределению) |
для js{P) е |
©. Поясним, |
что |
подразумевается. |
||||
|
К ак и |
в |
п. 1.2, предполагается, |
что |
индекс |
(р) несет |
||
всю, информацию об s(p), Т;*е. |
|
|
|
|||||
|
|
|
S(p) = |
|
® 5Хп, |
|
(2) |
|
'где |
(H I, |
... , |
кп) — соответствующая_<<точка» и произве |
|||||
дение (2) содержит в |
точности р одномерных |
элементов |
||||||
|
ц п — р нульмерных Яуц. Тогда |
|
|
|
||||
|
|
|
IV ' |
«V/ |
0 |
rv |
|
|
|
|
■'И®(р) = S(n—р)= s |
f c . . . |
Sxni |
|
|||
п р и ч е м > Ц = 1Ц. ) если |
sx. = |
я ^ .,и * |
sXj = |
е с л и я ^ = ' |
||||
= *»<,•. |
Отображение |
© -*© определяется аналогично, |
||||||
так |
что ^ |
>И = 1 . |
<V) |
< V l |
(V I |
|
|
|
Комплекс коцепей К(п) = К над ©, с заданным в нем оператором d (порождаемым спариванием и операцией д
в ©)., имеет точно ту же структуру, что и К (п ), причем одновременно операция ( 1 ) индуцирует соответствующее отображение
|
|
*: К-+ К, |
К ^ К |
|
по правилу |
|
|
|
|
<а, |
^ ф> = |
4% а, <р>, |
<а, |
а, *ф>, |
где |
«V |
|
|
|
г|) <= |
|
|
|
|
В качестве основной области возьмем, снова |
||||
|
|
^ = S F K C ©(«), |
||
|
|
к |
|
|
где ...Ун'— га-мерные |
базисные элементы. Но при опреде |
|||
лении скалярного |
произведения |
роль ^-ум нож ения бу |
||
дет играть |
теперь |
^-умнож ение |
(тензорное). Положим |
|
v p = ± 2 « (р ) ®
где сумма берется по всем s(P), Принадлежащим p-мер ному остову V. Знак (зависящий от п п р) должен быть выбран так, чтобы, ориентация элементов Vp совпадала с естественной ориентацией элементов V (что при на
§ 6] ПРОБЛЕМАТИКА 187
шем выборе определения |
= 1 не всегда выполняется |
автоматически). Длй щ v е |
Кр(и )п олож и м |
(u,v)v = <Ур, и <Э *У> = 2 <S(P). «> <*S(p)-*y>-
(V )
Скалярное произведение позволяет определить опера тор б (сопряженный с d) и записать аналог формулы Грина:
(йи, i;)r — <3F, ® у> + ( и, 6i;)r*
Осуществление в двойном комплексе построений, при веденных в § 2, не требует, по существу, каких-либо модификаций [15]. С конструкциями § 3 дело обстоит сложнее. Здесь вся комбинаторика должна быть пере считана заново. В частности, при дублировании п. 3.5 придется иметь дело с «двойной сеткой» прямых: кроме указанных в (31), потребуются прямые, задаваемые ра венствами
я = а 1 + ( р + 4 ) й> y = b i+ '(g + 4*)A»
p,q = 0, ± 1 , . . .
Соответственно осложнится и предельный переход. При
способленная |
к |
такой |
ситуации |
«топологическая» кон |
|
струкция, типа |
рассмотренной в |
п. 1.3, |
была предложе |
||
на в [15]; . |
|
|
|
|
|
Неясной |
остается |
и возможность |
осуществления в |
||
двойном комплексе построений § 4, весьма существенно использующих аналог внешнего умножения.
Достоинством двойного комплекса является, нагляд ность, которую приобретает в нем операция Т акая наглядность иногда, оказывается полезной при разработ ке численных процедур (ср. [41]).
§ 6. Проблематика
Перечислим ряд вопросов, связанных с содержанием данной главы и оставшихся невыясненными. Некоторые из них выше уж е упоминались.
Все приведенные построения общего характера ($ 2) относились, по существу, к области F, являющ ейся ком бинаторным аналогом в ®(га) области (связного откры того множества) F c l R n. Вопрос о том, как перенести,
188 МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
к примеру, наши рассмотрения на случай двумерного комплекса — границы 3-мерной области, остается откры тым. В этом случае нетрудно определить «формальные» скалярные произведения, но при попытке определения операции ^ возникает ряд проблем. Возможно, здесь была бы удобнее конструкция, опирающаяся на использование двойного комплекса. Изучение задач указанного типа интересно, поскольку, скажем, вопрос о разностных. ап проксимациях «на всей поверхности земного шара» изу чен недостаточно.
Еще более специальный выбор области V использо вался в § 3. Распространение результатов на «непра вильные» области требует дополнительных усилий (в ча стности, небезынтересны различные варианты обобщен ного преобразования Абеля). В «криволинейных» обла стях и при неправильных сетках встает допрос о разум
ном |
включении в |
рассмотрения метрического тензора |
(его |
аналога). Это |
связано одновременно и с переходом |
к уравнениям (системам) с переменными коэффици ентами.
В последнем случае возникает проблематика, отно сящаяся к возможности моделирования вырождения (в том числе — вырождения участков границы) и, изме нения типа.
В § 2 упоминался.изоморфизм d и б когомологий в «хороших» областях. Таковыми являются, например, «комбинаторные Многообразия» [30]. Условия, при ко
торых изоморфизм будет нарушен, не описывались. |
при |
|||
В связи |
с возникшими |
в !§ 3 затруднениями |
||
переходе к |
«правильным» |
граничным |
условиям |
для |
«d +, б»-системы, было бы |
интересно подробно изучить |
|||
возможности, |
даваемые привлечением |
комбинаторного |
||
аналога дубля.
Наши «сетки», перенесённые на поверхность куба или тора, будут обладать специальными симметриями (допу скать «группы движений»). Такие симметрии могут ис пользоваться при анализе задач определенного типа (ср. [35]; § 16 в [25]; § 1, гл, V ).
Многочисленные вопросы связаны с гидродинамиче скими аналогиями § 4. Вопросы эти распадаются на две группы. Первая' относится к изучению свойств предло женных уравнений в «больших» областях различной структуры; вторая^-—к возможности использования под меченных закономерностей для получения утверждений,
§ 6L |
ПРОБЛЕМАТИКА |
189 |
касающихся уже континуальных объектов (те или иные формы предельного перехода) *
Интересно было бы выяснить, нельзя ли нашу «ком бинаторную модель» привлечь для получения, содержа тельных результатов, относящихся к аналогам (аппрок симациям) интеграла Коши, типа Коши, или, в боль шей общности, к анализу тех^ или иных классов интег ральных уравнений.
Как нетрудно заметить, значительная часть описан ной проблематики может быть сппоепипована на конти нуальные объекты гл. II.'
Г Л А В А IV
МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
§ 0. Введение
Характер рассматриваемых в . данной главе моделей отличается от изучавшихся в гл-. III не только с фор мальной стороны, но и по своей принципиальной направ ленности. Моделируется не столько аналитический, аппа рат, сколько методологическая проблематика. На основе упрощенной схемы обсуждается представление о мате матическом формализме физической теории.
Представление это,, в общих чертах, может быть ре зюмировано следующим образом. Физической теории со
поставляется |
некоторая |
математическая |
с т р у к т у р а , |
|||||||
позволяющая |
определить |
о б ъ е к т ы — предмет |
изуче |
|||||||
ния, |
и |
их некоторые |
х а р а к т е р и с т и к и . |
Нахожде |
||||||
ние |
характеристик |
объекта |
по тем или |
иным и с х о д |
||||||
н ы м |
|
д а н н ы м , |
невно |
их |
определяющим, |
на |
основе |
|||
правил, |
вытекающих |
из |
природы основной |
структуры, |
||||||
является предметом з'а д а .ч |
теории. К числу |
задач при |
||||||||
надлежат, разумеется, й само нахождение упомянутых правил, диктуемых структурой, выяснение общих свойств объектов, выяснение взаимосвязей характеристик и т: н.
Конечность используемых в дальнейшем для иллю страции приведенной схемы моделей обуславливается за меной пространственного или-пространствепно-временного континуума «реальной» физики конечным множеством.
Центральной темой § 1 является сопоставление, в рамках используемых понятий, классического и кван тового описания ^ простейшего объекта: «материальной точки» или «частицы». Удается показать, что разрыв между указанными способами тем меньше, чем абстракт нее и «непривычнее» формулируются исходные «привыч ные» понятия. В § 2 моделируется вторичное -квантова ние: переход от «частицы» к «полю».
Можно отметить, что физической литературе встре чается использование близких конечных конструкций, применительно к анализу4более специальных ситуаций (например, [5], [67})\