книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 21

ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

231

В

дальнейшем в (L) будем полагать М = N

и по­

П р и м е р .

Пусть

X — тройка

точек

0,

1, 2,

и. точки

1, 2 образуют Г. Пусть и: X-^-tR1

и

(L)

имеет вид

0-м(0) + тн(0) = 0,

и (1 )+ т а (1 )= 1 ,

U (2) + 0 - TW(2) =

0.

Система разрешима

над Х\У,

над

У,

но

неразрешима

над.Х.

,

Итак заметим, что цри М —N уравнения (L) задают

отображение сечений

L: ТЕ(Х)-*ТЕ(Х).

(1)

Одновременно

вместе

. с

Е(Х)

рассмотрим джет-рас-

слоение. /(X ) = X X [RW(n+1) и отображение

/:

T3(X)- »J(X),

и ~ £ ,

1<р(а0 =

ъщ>(х),

г =

0,

...,

n,

р = 1,

...,

В результате с отображением

(1)

может быть

связа­

на коммутативная диаграмма

Г # ( Х ) ^ Г /( Х )

Ч

i

п

Г Я ( Х ) Л Г # ( Х ) ,

определяющая о т о б р аж е н и е р а с с л о е н и й

J(X)-+E(X),

т. е. г о м о м о р ф и з м

(линейное

отображение)

каждого

из л и н е й н ы х

п р о с т р а н с т в

/(#),

Е(х ),

жб Х,

3 а м е ч а н и е.

Отображение _расслоений

всегда

инду­

цирует некоторое

о т о б р а ж е н и е

--сечений,

но не

232

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ

[ГЛ. V

D: J{x)®P(bx)-+P{x)®Tn,

£-*сс,

(2)

<х8р(х)= Ъвр(х)— 1о^(т8ж).(

Хотя (2) задает D как отображение сечений, в данном

случае

оно определяет

отображение расслоений. Смысл

введения D вскрывает

'

D%= 0

выполняется

У т в е р ж д е н и е

1.

Равенство

тогда и только тогда,

когда t===/u,

где и<=ТЕ(Х).

D\ «?

. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если

£ = /и, то

равенство

= 0 следует из

(2).

Пусть теперь

|^К ег£ > .

Положим

иР(х) = %ор и обозначим ju через ц. Б|удем иметь

r\ip (X)=

XiUp {Х) =

Up(%iX) =

(пх) = l ip(х),

т. е. г] =

■

С л е д с т в и е . Последовательность гомоморфизмов

0 ^ ТЕ (X)

j (X) е

/° (ЪХ) — > /° (X) -® Г*

О

(3)

является точной, г. е.

образ

предыдущего

в

точности

совпадает с ядром следующего. ■ ;

j?,

полагая

:

S : J{X)-* F(X), .§ ~ / ,' и (*) = 4 р(*) lip (®)>

§ 2]

ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

233

fib)®д°(ъх)

2-*»Э°(х)тп— О

Х®1

1

У

J°(X)®Tn

L

X ® О

о— ^ гем

► о

левом

столбце, в ТЕ(Х), и в верхней

строке,

в члене

jo <g>fn

Сопоставим верхней строке комплекс

Q = Q' (X)® Qo(X)

с граничным оператором D. Способ использования диаг­

раммы

(й смысл ее привлечения)

заключается в следую­

щем утверждении [36].

У т в е р ж д е н и е 2. Справедливы равенства

dim Ж х((?) = dim Кег L,

dim 3@°(Q) = dim Coker L. ■

П,рим ep. Проиллюстрируем

приведенную

схему

в

предельно тривиальной

ситуации. Пусть

X сострит

из

единственной точки 1,

тХ — из точки.'2

и

и имеет един­

234

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ

(ГЛ. V

ственную компоненту. Будем иметь

axxu{i) + a°u( l) =4 (l),

(L)

« 4 i(l) + a°lo(.l)=/(l),

( & )

£ >& (l)= li(l) -lo(T -l) = | 1( l ) _ | 0(2) = a,(l).

Переходя к базисам {е}, {h} в

К>, получаем

l| = io (l)e ° (l)+ |1(l)ei ( i ) + | 0(2)eo(2),

а =

осГ(1 )h,

l h ^ h }(l),

Z?l(l) = li(l)i)e1( l ) + | 0(2)Z)e0(2) = (l1( l ) - l 0(2))fe,

откуда

Dex(i ) = &,

Z)e°(2)=—h,

De°( 1) =0 .

Пусть

la11+, |a°| Ф 0. Тогда

Ker & =R}

одномерно и

можно

ввести

базис

Q1= R {.$ J°(bX)

вида

е(1),

е (2);

за базисным

элементом

сохраним

обозначение

h,

ц: е (1) ~ х ^ 1 (1) +

х0е° (1) =

a V (1) -

а'е° (1) es Ker 2%

1: е( 2) ~е° (2)

Z>e(l) = Z> ° хе(1) = aPh, Dz{2)~D ° 1 е ( 2 ) = h.

Таким образом,

е ( 1 ) + ape (2)— базисный цикл

в

( 9 ) — является

единственным отличным от нуля

эле­

§ 2]

ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

235

строен* по

рецепту, отличному от использованного,

при

ределим, комплекс

Q[Z] = Q{X)\Q(7), являющийся зам­

кнутым подкомплексом Q(X) . В результате получим точ­

ную последовательность одномерных комплексов

0 - + Q [ Z ] ± Q ( X ) ^ Q ( Y ) - » 0 ,

(4)

где I

— вложение,

я 7 - проекция. С

(4) стандартным

об­

разом

[2 1 ],

[31]

связана

точная

г о м о л о г и ч е с к а я

п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь

0-+ Ж \ [Z]

Ж \{Т)

Ж \ (Y)

^

[Z]-> Ж% (X)

Ж%(У)

О,

содержащая,

согласно

утверждению

2 , информацию

о

разрешимости (L ) над X

в гтерминах

разрешимости

соответствующих систем над F JH над Z.

В ь е т о р и с а .

[21],

содержащую информацию о разре­

шимости (L)

над

X U Y (Y<£X) в зависимости^ от

1.

А д а м с Дж.

Лекции

по

группам

Ли.— М.: Наука,

1979.

2.

А л е к с а н д р о в

П.

С.

О понятии

пространства

в - тополо­

3.

гии и У М Н .- 1947.- Т. 2, вып. 1.

аналог интеграла типа

Б и ц а д з е А. В.

Пространственный

Коши и некоторые его применения Ц Изв. АН СССР, Сер.

4.

мат.— 1953.— Т. 17, № 6.

Д. В. Введение

в теорию

Б о г о л ю б о в

Н. Н.,

Ш и р к о в

6.

В е й л ь

Г.

Математика: Теоретическая физика: Избр. тр.—

7.

М.: Наука, 1984.

В и л е н к и н

Н. Я. Специальные функции и. теория -представ­

8.

лений групп.— М.: Наука, 1965.

И. С.$ Лыч а -

В и н о г р а д о в

А. М.,

К р а с и л ь щ и к о в

г и н В: В. Введение в геометрию нелинейных дифференциаль­

9.

ных уравнений.— М.: Наука, 1986.

Г о л ь д б е р г ер

М., В а т с о н К. Теория столкновений.— М.:

10.

Мир, 1976.

ЧН.,

Ш в а р ц

Дж. Т. Линейные

операторы Т. I.

Д а н ф о р д

11.

Общая теория.— М.: ИЛ, 1962.

операторы. Т. II.

Д а н ф о р д

Н.,. Ш в а р ц

Дж. Т. Линейные

12.

Спектральная теория.— М.: Мир, 1966.

симметрич­

Д е з и н

А. А. Граничные задачи для некоторых

ных линейных систем первого порядка Ц Мат.

сб,— 1959,—

14.

№ 3.

*-

Д е з и н

А. А. Инвариантные дифференциальные операторы п

. граничные задачи

// Труды МИАН, Т. 68.— М.: Изд-во АН

15.

СССР, 1962.

методе ортогональных разложений Ц Сиб.

Д е з и н

А. А. О

мат. журн.— 1968.— Т. 9, № 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

237

ные свойства гидродинамических уравнений Эйлера Ц .

Zeit-

21.

schrift fiir Analysis und ihre Anwendungen.— 1983.— Bd 2, № 5.

Д о л ь д

А.

Лекции по

алгебраической

топологии.— M.: Мир,

1976.

Р. Общая теория квантованных полей.— М.: Мир, 1967.

22. Й о с т

23. К а т о

Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир,

24.

1972.

'

.

-

.

,

К е л л и

Дж. Л. Общая топология.— М.: Наука, 19(58.

25.

К и р и л л о в А. А. Элементы теории представлений.— М.: На­

26.

ука, 1972.

А. И. Введение в

алгебру.— М.: Наука,

1977.

К о с т р и к и н

27.

К о с т р и к и н

А.

М а н и н

10. И.

Линейная алгебра и

28.

геометрия.— М.: Наука,

1986.

Р о з е

Н. В.

Теоретическая

К о ч и н

Н. Е.,

К и б е л ь И. А.,

29.

гидромеханика.— М.: Физматгиз, 1963.

Л е н г

С. Алгебра.— М.: Мир, 1968.

ИЛ, 1949.

30.

Л е в ш е ц

С. Алгебраическая топология.—М

33.

ды.— М.: Изд-во МГУ, 1965.

М и л н о р

Дж,, С т а ш е ф

Дж. Характеристические классы.—

34.

М.: Мир, 1979.

Теоретическая гидромеханика.— М.:

М и л н - Т о м с о н Л. М.

Мир, 1963.

>

У в а р о в В. Б. Клао-

35. Н и к и ф о р о в

А. Ф., С у с л о в С. К.,

сические ортогональные полиномы дискретной переменной.—

36.

М.: Наука,

1985.

П а л а м о д о в

В. П. Линейные дифференциальные операторы

с постоянными коэффициентами.— М.:. Наука, 1967.

37. П а л ь ц е в

Б.

В. Многомерный аналог теоремы Морера /

38.

Сиб. мат. журн.-т-1963.— Т. 4, № 6.

»

П о с т н и к о в

М. М. Теория гомологий гладких многообразий

41. С а м а р с к и й А. А., Т и ш к и н В. Ф., . Ф а в о р с к и й

А. П.,

Ш а ш ц о в М. Ю. Операторные разностные схемы /

Диффе­

рент уравнения.—1981.— Т. 17, № 7.

Мир, 1968.

*

'

.

-

47.

С т е р н б е р г

С. Лекции

по дифференциальной геометрии.—

48.

М.: Мир, 1970.

'

косых

<

С т и н р о д Н. Топология

произведений.— М.: ИЛ, 1953.

238

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

52.

уравнения.— 1970.— Т. 6, № 5.

Ф а д д е е в

Д. К. Лекции по алгебре.— М.: Наука, 1984;

53. Ф е д е р е р

F. Геометрическая теория меры.— М.: Наука, 1987.

54.

Ф е д о р о в с к и й В. Г. Оценки решений инвариантных, гипер­

болических систем первого порядка Ц Сиб. мат. журн.— 1971.—

56.

Х у а

Р.,

Т е п л и ц

В. Гомология и..фейнмановские

интегра-

57.

ды.— М.:-Мир, 1969.

релятивистскую

квантовую

теорию

Ш в е б е р

С.

Введение в

4 поля.— М.: ИЛ, 1963.

методы математической физики.—

58.

Ш у т m Б. Геометрические

59.

М.: Мир, 1984.

geometrie differentielle de^groupes de

Lie

A r n o l d

V. Sur la

de dimension

infinie

et ses

applications a U’hydrodynamique

de

60.

fluides

parfaits Ц Ann. Inst. Fourier.—_1966.— T. 10.— P. I.

В er g er

M.,

G au d u c h o n

P.,

M az et

E. Le

spectre d’une

variete

rimannieiine — Berlin:

Springer — Verlag,

1971;— (Lect.

61.

Notes Math; T. 194.)

D. Harmonic tensors on Biemannian

ma­

D u f f

G.,

S p e n c e r

62.

nifolds

with boundary

Ц Ann. of

Math.-r-1952.— T: 56, № 1.

F r i e d r i c h s

K. Symmetric hyperbolic linear differential equa­

63.

tions /

Commun. Pure Appl. Math.— 1954.— TV 7, № 2.

F r i e d r i c h s

K. Differential formsюп Biemannian manifolds /

64.

Commun. Pure Appl. Math.— 1955.— T. 8, № 3.

F r i e d r i c j i s

K. Symmetric

positive systems Ц Commun. Pu­

65.

re Appl. Math — 1958.— T. 11, № 2.

H o d g e

W. The theory and applications of harmonic integrals.—

66.

Cambrige: Cambr. Univ. press, 1952.

Fonctions

holomorphes

dans

M o i s i l

G., Th e o d o r e s c u N.

67.

Tespace

Ц Mathematica.^- 1931.— T. 5.

field theories

Ц 7.

Lo o s H. Group-theoretical models

in local

Math.' Phys — 1964.— T. 5, № 2. .