книги / Многомерный анализ и дискретные модели

не волнует топологов, поскольку не отражается на инва­ риантности топологических характеристик многообразия:, определяемых с помощью интегралов. Не волнует он и

Входящее в (9) внешнее произведение дифференциалов следует рассматривать как обозначение соответствующе­

щей локальные координаты ж1, .; ,,.хп. Мы также будем пользоваться подобным отождествлением. Употребление в (9 ) дифференциальных символов для обозначения ба­ зисного элемента связано с ролью со в описанном про­ цессе интегрирования.

4.4. Формула Стокса и внешнее дифференцирование. Скрупулезная реализация плана, набросок которого, дан в п. 3 , является, как это показывают рассмотрения книг [50], [53], чрезвычайно трудоемкой. Для наших целей идеальным был бы аккуратный предельный переход к континуальному случаю от достаточно прозрачного дис­ кретного (комбинаторного) аналога соответствующих по­ строений, подробно рассматриваемого в гл._ ИГ для спе­ циального класса, комплексов. Но и такой попытки в данной монографии не предпринимается.

Непосредственным следствием рассмотренной в п. 3 двойственности Чцепь, форма) является одна из важней­ ших формул многомерного анализа, так называемая об­

ной «геометрической» операции д «взятия границы», оп­ ределяемой над «геометрическими образованиями» F, Nj ..., являющимися объемами, поверхностями, подмно­ гообразиями и т. п.

Операция 3, привычная и очевидная, когда мы име­ ем дело, например, с областью, лежащей в Кп и обла­

дающей достаточно регулярной границей, путем соответ­ ствующей формализации (обобщающей построения

п.2 .2 ) распространяется на топологизированное прост­

ранство цепей, порождая отображение

ранства цепей, а во втором — соответствующая операция над геометрическим образованием—«предельным объек­

Одновременно можно быть уверенным, что линейной операции д в пространстве цепей (соответствующей, операции взятия границы над предельными геометриче­ скими объектами) должна соответствовать сопряженная операция:

aV V

где d — некоторое линейное отображение пространства форм — сечений соответствующих расслоений:

d: Ar(x)-»A r+l(x).

Непосредственно из приведенного определения следу­ ет ряд важных свойств операции d. Перечисляя эти

V

dco = 0 , называется замкнутой; форма %, представимая

являющегося следствием основного свойства операции взятия границы (свойства 39 = 0), немедленно следует, что точная форма замкнута. Всегда ли замкнутая фор­ ма является точной? Этот" вопрос оказывается имеющим фундаментальное значение. Ответ гласит, что па глад­ ком многообразии М число линейно независимых замк­ нутых r-форм, не являющихся точными, определяетто-

он, ©г подучены как формальные частные производные

ях в рамках атласов имеет место соответствующая инва­ риантность по отношению к выбору локальных коорди­ нат. Если <р: М М' — гладкое отображение (в частно­ сти — замена координат),,со — форма на М 'у ф*(о — соот­ ветствующая форма на М, то диаграмма

X

коммутативна, т. е, %= 9(ф*а)) = ф* (dw).

Чтобы выяснить вид записи операции d в локаль­ ных координатах, следовало бы, в интересующем нас круге идей, воспользоваться схемой, ^которую мы, не ре­ ализуя в достаточной общности, лишь проиллюстрируем на простейших примерах. Проведение соответствующих рассмотрений в общем ..случае требует использования формализма, который будет развит в гл. III. Пока об­ щее правило (16) (см. ниже) мы приведем без обосно­ вания

отметим связь этого умножения с операцией d:

частных производных и граничных задач, а в гл. Ill — при рассмотрении предельного перехода от дискретной модели к континуальному случаю, мы будем, пользовать­ ся некоторыми результатами теории операторов в гиль­ бертовом пространстве и соответствующими приемами сведения граничных задач- к задачам теории операторов.

Данный параграф содержит краткий обзор необхо­ димых результатов, позволяющий одновременно уточ­ нить используемую терминологию. Более подробное из­ ложение (следующее тому, же плану) и дальнейшие ссылки можно найтй в [13], [14], [19].

5.1. Абстрактное гильбертово пространство. В . § 3 было отмечено, что полное бесконечномерное линейное нормированное пространство называется пространством Банаха. Если же норма порождается при этом скаляр­

жение,

3)(и 4- v, w) = (u, w) + (v, и;),

4)(аи, i;) = а(и, v), где а — число,

то пространство называется гильбертовым. Норму в этом

вытекающего из аксиом скалярного произведения, не­ медленно следует, что введенная указанным способом норма удовлетворяет требованиям п. 3.2.

Если не оговорено противное, рассматриваемые про-* странства всегда будут предполагаться вещественными и обозначаться £.

В то же время, выбор нами различных путей определе­ ния евклидова и гильбертова пространств должен под­ черкнуть ряд принципиальных различий между конеч­ номерным и бесконечномерным случаями.

В частности, в бесконечномерном случае способ вве­ дения нормы-метрики, отправляющийся от задания мет­ рического тензора, во многих отношениях неприемлем. Хотя наличие скалярного произведения позволяет гово­ рить об ортонормированных - системах элементов, абст­ рактно заданное гильбертово пространство не обязано, вообще говоря, быть сепарабельным, т.^е. обладать б а- зихом, допускающим перенумерование числами нату­ рального ряда. (Правда, все конкретные функциональ­ ные гильбертовы пространства, которые встретятся нам, сепарабельны.)

Перейдем к дальнейшим определениям. Подмножест­ во гильбертова пространства £, являющееся* в свою очередь, линейным пространством, будем называть ли­ нейным многообразием, а если оно п о л н о (в норме, индуцируемой ф), то подпространством. Различие возни­ кает, естественно, лишь при -наличии в бесконечного числа линейно независимых элементов. Простейший спо­ соб образования ^линейных многообразий — рассмотрение линейной оболочки .Ж некоторого -фиксированного под­ множества; элементов, т.%е. всех их* конечных линейных комбинаций. Если в «^включаются одновременно пре-, делы бесконечных сходящихся последовательностей, то соответствующая замкнутая линейная оболочка автома.тически оказывается подпространством. Подмножество эле­ ментов ф полно, если его линейная оболочка Ж плотна, т. е. замыкание ее совпадает со всем пространством; Весьма полезна

Л е м м а (о.б о р т о г о н а л ь н о м р а з л о ж е н и и ) .

Представление (2) называют ортогональным * разло­ жением элемента х\ знан ® имеет соответствующий смысл й исцользуется также в записи ф "= Ж $ JF.

Отображения

Т: х*->Тх

(обязательное требование — однозначная определенность элемента Тх) принято называть операторами. Роль ли­ нейных отображений ш 3.3 играют при этой линейные операторы: Т(ах + $у) —,аТх + §Ту. В дальнейшем,, ес­ ли не оговорено противное, все рассматриваемые опера­ торы предполагаются линейными. .В. отличие от п. 3.3, оператор Т может оказатьсязаданным лишь на некото-^ ром линейном многообразии Я)(?)<=.$ (области опреде­ ления), не совпадающим со всем пространством, и нор­ ма его

не обязательно конечна. Линейный оператор Т непреры­

некотором смысле, патологией: определение оператора «не согласовано» с основной структурой. Тем не менее оказывается, что изучение в рамках наиболее «удобных» функциональных пространств важнейшего" класса опе­

ния классических определений на более широкий класс объектов. Абстрактный эквивалент подобной процедуры дает

О п р е д е л е н и е . Оператор Т называется расшире­ нием оператора Т(Т<=Т), если 5 )(Г )с:ЩТ) и на ©(Г) оба оператора совпадают.

Простейший пример — расширение по непрерывности ограниченного оператора, заданного на линейном много­ образии, на соответствующее *подпространство. Другой важнейший способ расширения оператора дает оцерация замыкания.

Дифференциальные операции Г(£), заданные перво­ начально на лежащих в соответствующих гильбертовых

зволяют преодолевать затруднения, связанные с неогра­ ниченностью.

Заметим прпутно, что необходимым и достаточным

.условием существования для Т обратного Т~х служит, как и в конечномерном случае, равенство 81 (Г) = 0 ,' где 31 (Г) 5—ядро Г.

Опять-таки, как и в конечномерном; случае* важней­ шим связанным с Т объектом является сопряженный

ный как сопряженный, автоматически является замкну­ тым. Это немедленно следует из непрерывности скаляр­ ного произведения, вытекающего, в свою очередь, из (1 ).

которые всегда можно рассматривать как гильбертовы. Совокупность всех ограниченных функционалов над заданным банаховым пространством 3$ образует так на­ зываемое сопряжённое пространство играющее важ­ ную роль во многих построениях. Особое положение гильбертова пространства (среди банаховых) в значи­ тельной мере определяется тем, что ф* всегда допускает

лючениями, два конкретных, функциональных гильберто­ ва пространства, которые мы теперь кратко, охарактери­ зуем.

Пусть V — ограниченная область пространства 0<п с границей dV = S, удовлетворяющей некоторым минималь­ ным требованиям регулярности. Пусть С(F) — линейное многообразие непрерывных в замкнутой области F. ве­ щественных функций с обычными линейными операциями сложения (поточечного) й умножения на число. Опреде­ лим на C(V) скалярное произведение, полагая

Пополняя (7(F) но норме, порождаемой этим скалярным произведением, т. е. присоединяя к C(F) пределы "всех сходящихся. йоследовательностей, полудим гильбертово пространство ЩУ).

Изучение природы присоединяемых-к C(V) в резуль­ тате указанной абстрактной процедуры пополнения «иде­ альных элементов» является предметом теории функций.

ций, интегрируемых по Лебегу и совпадающих почти всю­

пространство- («пространство функций с интегрируемым по У квадратом»), в котором липейпое многообразие (7(F) по определению плотно. .При этом часто говорят.о вложе­