книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 3] |
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ |
161 |
|
из |
Полезно |
заметить, что при р = 0 (dV)n = 0 я |
первое |
условий |
(11) отсутствует; аналогично, при р — я от |
||
сутствует второе условие (11).
, Рассмотрим в заключение пример естественных урав нений другого типа — переопределенную систему.
У т в е р ж д е н и е |
4.Уравнения |
d% = |
f, Ь%= g, %<=Нр, |
при выполнении условий совместности
df = 0, / Х Д р - и 6g = 0, g - LS^ -i ,
всегда разрешимы. Решения определены с точностью до произвольного слагаемого из подпространства З^ПЗ^.
Проверка, использующая ортогональные разложения вида (4), предоставляется читателю, ш
Возможен вариант утверждения „ 4, содержащий те или иные граничные условия для %. Ясно также, что в очерченном круге идей можно рассмотреть уравнения Максвелла, аналоги правильных систем из гл. И, урав нения со временем и другие дискретные модели есте ственных уравнений.
§ 3. Двумерный случай:
граничные задачи и аппроксимация
3.0. Предварительные замечания. Характерной чертой приводимого ниже изучения разностных уравнений яв ляется использование специального формализма, позво ляющего осуществлять подробный анализ возникающих чисто комбинаторных соотношений. Построение форма лизма стимулируется отмечавшейся далеко идущей ана логией с континуальными объектами. Естественно требо вать, чтобы следующим этапом, рассмотрений было выяс нение реальной связи сконструированных комбинаторных объектов с континуальными: выяснение возможностей аппроксимации и предельного перехода.
В данном параграфе (для простейшей двумерной об ласти — прямоугольника) уточняются, с одной стороны, комбинаторные рассмотрения, страдавшие в § 2 некото рой приблизительностью, а с другой — описывается не затрагивавшаяся до юих пор (если не считать гл. 0) методика сопоставления дискретным «формам» и урав нениям функций и дифференциальных соотношений. Методика эта несколько^ отличается от обычной и осно
162 |
МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. IIL |
вана, по существу, на использовании простейших сплай нов, возникающих в результате осреднения ступенчатых функций. Одним из формальных результатов является построение нестандартных аппроксимаций обобщенных решений уравнения Пуассона при минимальных требо ваниях гладкости правой части (/eDH(F)).
3.1. Континуальные объекты. В данном параграфе будет рассмотрена, в частности, аппроксимация решений уравнений
—Dyu + Dxv = |
/, Dui + Dyv = О |
(1) |
в прямоугольнике QczTR2 |
при условиях |
|
и cos пх + v cos пу = 0 на д£1. |
(2) |
|
Функции и, и играют при этом роль компонент 1-формы (о.(я?, у) = и dx + v dy.
Одновременно нам придется иметь дело о функциями
точки ‘<р(ж, у) и 2-формами ц (ж, y)dx dy. |
(1) записы |
С помощью операторов d, б уравнения |
|
ваются в виде |
|
ico = /, —бю — 0. |
(3) |
Вместе с (3) в построениях участвуют родственные уравнения
(&р + 6т1 — g, |
(4) |
- A t^ ( d 6 + 6d)i = fe |
(5) |
и ортогональные разложения гильбертова пространства Ш1 (Q) 1-форм:
№ - ^ © « 6 . ® / » н1 = 3*2 © Яа 0.91д, |
(6) |
являющиеся континуальными вариантами разложения (4), § 2. Для уравнения (5) будет рассмотрена задача Дирихле,
Помимо пространства И1 будут полезны гильбертовы
пространства W ^Q), W l(Q) функций с обобщенными первыми производными и нормой
ц, |
w |
i 2^ ( d i , d i)+ (6 i, |
6 D + ( i , i) |
(ср. п. 5.2, |
гд. |
I). В W 1 элемент |
\ подчинен однород |
ным граничным условиям, и в определении нормы от сутствует обычно слагаемое (§, §).
§ 3] |
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ |
163 |
Отметим, что было бы вероятно интересно рассмот реть в контексте данного параграфа конструкции, свя занные с интегралом Коши (п. 5.3, гл. II).
3.2. Комбинаторная структура. Пользуясь в двумер ном случае нашей моделью евклидова пространства — комплексом (п. 1.2, § 1), введем специальные обозначе ния для его элементов. Положим
Xs ==s |
^ |
sss |
f'h,s? |
|
&h & |
= Vktsi |
%h & &&= |
|
|
Соответственно будем {иметь |
|
|
|
|
= О, |
==Xxhts |
|
d&k,s =z •X'k,xs %ktsi |
|
= |
ejits + 6%iit$ |
|
s* |
|
Аналогичные обозначения ~ могут |
быть |
очевидным обра |
||
зом введены и для базисных элементов сопряженного комплекса К (2), но мы не будем ими пользоваться, пе реходя сразу к системам коэффициентов, определяющих формы:
Ф ='%,«>, Ш= ы кв, vhJ , Г] = {т)м>. |
(7) |
формы (7) рассматриваются как |
задающие соответству |
|
ющие функций над 6(2): |
|
|
Ф j %k,s ^ ф h,&i |
&kts ” |
® | &k,s “ |
Приведем запись оператора d, вводя одновременно удоб ные в дальнейшем специальные обозначения для раз ностей:
d(p | |
= |
фтй,в ф&,$— &ktyk»si |
|
|
|
|
|
/ |
As(pk>s, |
|
(8) |
^ФI ^hts = фh,%sТфk,s |
|
||||
dto | Vkts = |
VXkfs— |
+ Ukis — Afetffc.s— As^fe,sr |
|||
Основную |
область — прямоугольник |
V — определим |
как |
||
сумму |
|
|
|
|
|
|
fc,s |
* = |
1........ ЛГ; |
5 - 1 , . . ; , М . |
(9) |
|
|
|
|
|
|
Условимся, что и-в дальнейшем, если пределы суммиг рования не указаны, индексы,&, s всегда пробегают мно жество значений, указанное в (<9).
164 |
МОДЕЛЬ. ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
|
ГГЛ. III |
||||
Определенное в § 1 скалярноепроизведение |
форм |
||||||
одинаковой |
степени |
сводится. теперь к покомпонентным |
|||||
суммам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(<р»Ч’)г = |
2 ? к Ж * > |
|
|
|
|
|
|
|
- |
М |
|
|
|
и аналогично |
для |
(о>, *&)v, (л, %)v. |
Соответствующие |
||||
гильбертовы |
пространства Нр, р = 0, |
1, 2, |
будут |
иметь |
|||
размерности MN или 2MN соответственно. |
Грина (2) |
||||||
Приведем |
развернутую |
запись формулы |
|||||
из п. 2.1 для пары ф 'е Х 1’ |
со ^ К2. |
тождество |
|
||||
У т в е р ж д е н и е |
.1. Справедливо |
|
|||||
(<*ф, ю)у = |
|
х uh,s + |
A*(pft>s X I’M ) = |
|
|
||
k,s |
|
|
|
|
|
|
|
— 2k (фh,tMVk,M— <Pk,lVk,o) + 2s (ф-tJV.sWjV,» |
Фх>4«0,*) + |
||||||
|
|
|
+ 2 |
Фм (— Afeu<JM — A |
(10) |
||
|
|
|
k,8 |
|
|
|
|
Всоответствии с обозначениями (8) Д*Мом= uht6—
—Uak,s и аналогично для A8vkto8. Непосредственная про верка тождества (10) элементарна, хотя и несколько уто
мительна. а Как неоднократно подчеркивалось, в (10) вошли не
только компоненты <рм , ukt$, |
определяющие |
соответ |
||
ствующие элементы |
пространств |
#°(F), |
Hl(V) |
(в этом |
случае индексы к, |
s пробегали |
бы лишь значения из |
||
(9)), но и.компоненты ф ^ / ^ о - и |
т. д. |
запись опера |
||
Тождество (10) дает, как очевидно, |
||||
ций бсо: |
|
|
|
|
8со|#м “ AkUojits |
AsVh,o8» |
|
|
|
Соответственно, последнее слагаемое в (10) может быть
записано |
в виде (<j>, $(p)v- |
|
|
Наряду с (10) удобно иметь явную запись аналогич |
|||
ного соотношения для пары со = К 1, |
т| s К2. |
||
У т в е р ж д е н и е 2. Справедливо |
тождество |
||
T i)y S = |
2 ( A hvhtS — AsUh,s) |
= |
|
|
k,S |
|
|
— 2 (ик,Щк,0 — Мк,тМЦк,м) + 2 (v-zN^N'S — *>1,ST]<M) + |
|||
h , |
|
s |
|
|
4 “ 2 (^ft,sAsTlfe,as |
^sA feTla ft.s)* Я ( H ) |
|
§ 3] |
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ |
165 |
|||
Теперь для 6г] будем иметь |
|
|
|||
|
Si] | eltS= Asr]k,osi |
бт] I eh,s = — |
|
|
|
и последнее |
слагаемое в |
(.11) может быть |
записано в |
||
виде .(<о, |
6г])^. |
с арифметической |
точки |
зре |
|
Тождества |
(10), (11) |
||||
ния эквивалентны и могут быть получены одно из дру гого заменой обозначений.
Как отмечалось, формула (2) из § 1 в «явной» за писи дает, в одномерном случае, преобразование Абеля. Таким образом, (10), (11) могут рассматриваться как его двумерные аналоги.
3.3.Уравнения и задачи. Начнем с рассмотрения
дискретной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В этом уравнении, записанном в виде равенства ' (5), форма £ может иметь степени 0, 1 или 2. Остановимся прежде всего подробно на классическом случае
—Аср == 6 dep = |
gr, |
(12) |
|
где ф, g — 0-формы. Записав |
(12) |
«поточечно» |
|
б d(pI Xk,8 S 4фМ ФOk,8 |
фтА,в |
фА.Св 'фй.тв * §k,81 |
(13) |
видим, что имеем дело с обычным разностным анало гом оператора Лапласа, однако без «масштаба» и/нор мировки разностей. В дальнейшем важнейшую роль играет
У т в е р ж д е н и е |
3. Справедливо тождество |
|
||||
(dtp, |
= |
м |
+ А«Фй,»АЖ,«) = |
|
||
= 2 |
|
[фйдм(Фа.тМ— ф&.м) — фь,1 ( Ф м Ф м Н + |
|
|||
+ 2 |
[фтл,8<фтлг,« — Ф^,«) — фМ (Фм — Ф<м)] -+ |
|
||||
|
|
|
|
|
+ (ф, бйф)у. |
(14) |
Тождество получается из (40)’ подстановкой <2ф |
вме |
|||||
сто (Л. ■ |
|
|
Форму. ср |
назовем решением |
||
О п р е д е л е н и е . |
||||||
задачи Дирихле для |
уравнения |
(12), ©ели при всех |
к = |
|||
= 1, |
N, s = 1, |
М |
выполнены равенства |
(43), |
||
в которых положено |
|
|
|
|
||
|
|
Фа,о — Фа,тм= 0, |
фо,.= <PTW,« = 0. |
(15) |
||
166 |
МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. III |
Условия (15) позволяют считать оператор —А (от вечающий задаче Дирихле) определенным на произволь ном элементе <р г Я 0 (условия (15) дают необходимое доопределение <р «за пределами Я 0»). Другими словами, введенное определение задает оператор
|
|
|
|
|
—А: Н°-+Н°. |
|
|
|
(16) |
|||
З а м е ч а н и е . |
|
Добавляемая |
ниже, |
после |
номера |
|||||||
леммы |
или |
теоремы, цифра в скобках отмечает, к како |
||||||||||
му из |
пространств |
Нр, р = |
0, |
1, |
2, |
результат относится. |
||||||
Л е м м а |
1 ( 0 ) . |
Заданный, |
описанным |
выше |
обра |
|||||||
зом оператор (16) является самосопряженным. |
в |
(14) |
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Предположив, |
что |
||||||||||
форма г|) также подчинена условиям вида |
(15), |
получим |
||||||||||
|
d\j))v = |
— |
к |
|
& |
|
+ (Ф> |
|
(17) |
|||
Отсюда слёдуёт, |
что при„ указанных условиях |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(б^ф, чр) 1Г=(кр, б Йф)у. Ш |
|
|
|||||
Т е о р е м а |
1 |
(0). Для |
любого |
g<=H° |
решение за |
|||||||
дачи Дирихле |
для |
уравнения |
(12) |
существует |
и |
един |
||||||
ственно. |
|
|
|
|
В |
силу |
установленной |
само |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||||||
сопряженности оператора, отвечающего задаче, достаточ
но установить единственность |
решения. |
Полагая |
g ==■0 |
|
и используя (14), (17) |
в предположении ф.= ф, получим |
|||
2 [(Д^фи,$)2*4- (Д«Фм)2] + |
2 фйд + 2 Фм ** |
|
||
ft,в |
|
ft |
8 |
|
откуда следует ф = 0. ■ |
|
|
|
|
-Переходя к уравнениям |
|
|
|
|
-А Л — « Л - / ; |
Л, / - Я 2, |
|
(18) |
|
—Дсо = (Йб + бd) CD— Г, |
(О, Г s |
Я 1, |
(19) |
|
заметим, что рассмотрение (18) не отличается от про ведённого для 0-форм ф. Аналог равенства (14) полу чается из (11) подстановкой со = 6%, что дает представ ление скалярного произведения (6%, 8r\)v. Свойства его полностью аналогичны свойствам (<2ф, йф)у.
=Сложнее обстоит дело .с равенством (19), соответст вующим паре «скалярных» уравнений Пуассона. Теперь изучения требует сумма (did, <20)у+(бо), 60) у. Мы рас смотрим ее ниже, в случае О = со, в связи с основным
§ 3] |
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ |
|
167 |
|||||
интересующим |
нас |
объектом: |
уравнениями |
(1) |
(или |
|||
(3)). Пока что ограничимся в отношении (18), |
(19) |
сде |
||||||
ланными |
замечаниями и формулировкой результата. |
|||||||
О п р е д е л е н и е. Элемент т] е Я 2 |
(ю. = Н1) назовем |
|||||||
-решением |
задачи Дирихле для |
(18) |
(для (19)), |
если |
||||
для компонент ц*, |
(компонент |
uhjS, vks) |
выполнены ра |
|||||
венства вида |
(13) |
с соответствующими |
правыми частя |
|||||
ми, причем учтены дополнительно однородные условия
/15) (для |
указанных |
в (15) номеров-компонент). |
Л е м м а |
1 (2, ' 1). |
Заданные описанным выше об |
разом операторы |
|
|
|
Д: Н* |
Я*, р = 1, 2, |
являются самосопряэ1сенными. ■ Т е о р е м а 1 (2, 1). При любых правых частях ив
Нр, р = 1, 2, решения задачи Дирихле для уравнений {18), (19) существуют и единственны, и
Перейдем к уравнениям вида (3)
|
d© = |
/, |
б© = £ , |
|
(20) |
|
не ' предполагая пока однако |
g = 0.. Нам потребуется |
|||||
упомянутый выше аналог утверждения 3. |
условий |
|
||||
У т в е р ж д е н и е |
4. |
При |
выполнении |
|
||
Щ,8 “ UkfXM= |
0, |
Uft-Q— VxM}s “ |
0, |
|
||
* - 1 , |
|
N, |
5 = 1, ..., |
М, |
(21) |
|
справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
d®, dto)y + (бсо, 6(o)y = |
|
|
|
|
|
|
= 2 [(Aft»M)2 + |
(А^й.а,)2 + |
(AhUoh,sf + (A5U,m)2]. |
(22) |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
При |
непосредственном подсче |
||||
те в .правой части, помимо записанных членов, должна содержаться сумма удвоенных произведений вида
22[(Afe^afc,s)(^Л.ав)—(&hvk,s) (А$Щ,з)] •
k,s
После сокращений и соответствующей группировки чле нов сумма эта сводится к «сумме по границе»:
2 2 [(Ай«ok,jM) VkiM—{&kuok,s) + h
+ 2 21(As^o,s) vlts—г (AS^N.S) V%N,S]> (23)
1 68 |
МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. III |
после чего справедливость -утверждения очевидна, (чле ны с множителем Щт'м, не охватываемые условиями
(21), сокращаются). ■
Оп р е д е л е н и е ! Решением уравнений (20) при ус
ловиях (21) назовем форму с о ^ Я 1, |
удовлетворяющую |
|
системе равенств |
|
|
(&bVh,a — A*Uk,e) Wh,8 6=2/м, |
А = 1, |
. . N, |
(-А ftttcM “ A8Vbtos) \xkfs «= gk,s, |
|
(24) |
5 = 1 , . . ., М, |
||
вкоторых учтены условия (21).
Те о р е м а 21 Определенное вышеуказанным образом решенце задачи (20)—-(21) существует и~ единственно
при любых правых частях /*=Я 2, |
g е Я 0. |
|
||
Единственность решения немедленно следует из ут |
||||
верждения |
4. |
(Полагая / = g = |
0, получим из |
(21), |
(22) и = |
i; = |
0.) Существование |
решения для |
любых |
правых частей явилось бы следствием единственности решения соответствующим образом определённой сопря женной задачи. Можно проверить, что такая единствен ность действительно имеет место. ■
Отсутствие полного доказательства не является ос новным недостатком приведенной теоремы. Хуже то," что использование условия (21) не соответствуют гранич ным условиям (2)j наиболее употребительным в кон тинуальном случае (задание нормальной составляющей ковектора со). В (24) компонента и задана на левой и
верхней |
сторонах F, a |
v — на правой и нижней. Усло |
|||
виям (2) соответствовали бы условия |
|
||||
|
5=2 utN,s “ |
0, |
Vhto= |
VktxM— 0, |
(25) |
но они |
не обеспечивают |
обращения |
в нуль суммы |
(23) |
|
и не дают необходимого доопределения компонент со* входящих в (24) .
У т в е р ж д е н и е 5. |
Сумма (23) обращается в нуль |
||
при-условиях |
|
|
|
uots = UNts “ |
0, |
Vk,o “ v&tM= 0. ■ - |
(26) |
Условия (26) «похожи» на (25), но и они не обес печивают нужного доопределения о и не укладываются
врамки используемой схемы. Ниже мы сумеем перейти
кусловиям (26) в специальном случае £ == 0 за счет
Привлечения ортогональных разложений пространства Я 1 (ср. п. 2.2) .
§ 3] |
|
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ |
169' |
||||||||
Переход к условиям |
(26) |
в общем |
случае |
возможен,, |
|||||||
по-видимому, за счет использования дискретного анало |
|||||||||||
га „построений п. 4.1, гл. II: подклейки |
дубля и четных- |
||||||||||
нечётнкх продолжений форм. |
|
|
|
Воспользуемся те |
|||||||
3.4. |
Ортогональные |
разложения. |
|||||||||
перь одним из, вариантов рассмотрений п. 2.2. Обозна |
|||||||||||
чим |
через |
(через Щ ) |
линейдое |
пространство |
|||||||
0-форм (или 2-форм), удовлетворяющих |
условиям (15) |
||||||||||
(соответственно — с заменой <р на |
т|) |
и через |
$2 (через* |
||||||||
$а) |
подпространства |
в |
Я 1, |
состоящие |
из элементов, |
||||||
представимых^ виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
© = йф, |
ф е |
|
|
о = |
6'irj, |
г)е® б‘ |
|
||
Можем тогда записать для Я 1 разложения |
|
|
|||||||||
|
|
Я 1 - |
X°d,© 91а, |
Я А- |
RS Ф Я* |
(27> |
|||||
где через 9Ь, 91<* обозначены ортогональные дополнения
ксоответствующим подпространствам.
Ут в е р ж д е н и е 6. Имеют место включения
П а Э la, 3?2c:9ld.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проверим первое из включе ний. Условие со е означает, что компоненты и, и представимы в виде
им = Д*фм , vkf8= ДвФм,
где ф е |
£>2- |
Следовательно, если |
элемент со е Я 1 орто |
||||||
гонален |
912, |
то для |
любого |
ф е |
выполняется |
равен |
|||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
[ “ k.* ( A ft<pft><) |
+ |
Vhj, (Д ,Ф й ,з )] = 0 . |
|
|||
|
k,s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это равенство приводится к виду |
|
|
|||||||
—[фм (Uk;s +^ft,?)] |fc=lvN— |
|
|
|
||||||
М -1 |
|
|S=I;M |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— 2 |
[ ф м |
|
(Д в ^ а в |
+ |
wl,e) |
"1“ Ф^,в (As^IV^aa + ^i\T,e)] |
— |
||
5=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. iV—1 |
|
|
|
|
Vktl) + фй,м(А^ал,М.+ ^,м )] — |
||||
— 2 |
[9ft,l(Afewaft,i + |
||||||||
h—2 |
|
|
N~1 M - l |
|
|
|
|
||
|
|
|
Фь,в(Akuok*s ”h Ae^fe,as) = 0, (28) |
||||||
|
|
|
— 2 |
|
2 |
||||
fe=2 5=2
170 МОДЕЛЬ-ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
где теперь каждый из множителей <рм встречается *толь ко один раз и принимает произвольные значения. Сле
довательно, о) s |
91б |
тогда |
и |
тоДько тогда, |
когда |
каждая |
|
из круглых скобок, входящих в |
(28), обращается в нуль. |
||||||
Проверка того, что |
для |
со е |
|
это условие выполняет |
|||
ся, не представляет труда. |
|
|
|
|
|||
Второе включение проверяется аналогично, ш |
|
||||||
Из разложений |
(21) |
и |
утверждения |
6 следует |
|||
Т е о р е м а |
3. |
Пространство |
Н 1 представимо |
в виде |
|||
ортогональной суммы |
|
|
|
|
|
||
#1 = д { 2 е ^ 0 3 1 д, |
|
п эг6. |
|
(29) |
|||
Как и следовало ожидать, из наших рассмотрений следует, что, для 1-форм ф е 91д на элементах #м , FM,' лежащих «внутри» F, выполняются равенства
бФ \xhtS = |
0^ |
dft I FM = 0, |
|
|
|||
т. e. Ф «гармонична внутри F». |
|
(S), |
напомнив |
их |
|||
Обратимся теперь к |
уравнениям |
||||||
.запись: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dco = |
/, |
бсо = 0. |
|
|
(3) |
|
О п р е д е л е н и е . |
Решением |
уравнений (3) яри |
ус |
||||
ловиях (25) назовем 1-форму |
coe^S* |
определяемую |
|||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
со = |
бц, |
йбт] = /, |
ц е |
2)2» |
|
(30) |
|
задающими .rj как решение задачи Дирихле в F. При вычислении 6ц снова учитываются условия (15).
Последняя оговорка может показаться излишней, но, строго говоря, решение задачи Дирихке определяет эле
мент Я 2, а требование |
т|е® б содержит условия на ком |
|||
поненты г\ |
в «окрестности» F. -Аналогичная |
ситуация |
||
возникает-в |
связи |
с |
выполнением условий (25). Опре |
|
деление задает со ^ |
Я 1. Но первое из уравнений |
(30) да |
||
ет возможность проверить, в сделанных предположени ях, выполнение равенств (25).
Из введенного |
определения и предшествовавших рас |
|||
смотрений следует |
вышеуказанным обра |
|||
Т е о р е м а |
4. |
Определенное |
||
зом |
решение |
задачи {3), (25) |
существует при. любой |
|
/ ^ |
Я2 и является единственным« |
|
||