книги / Многомерный анализ и дискретные модели

1- форм. В терминал теории гомологий это так называе­ мое умножение Уитни [30]. Его достоинство—«согласо­ ванность» с операцией d (ем. ниже формулу (9)). На следующем шаге мы им воспользуемся для определения

форм. Используемые конструкции могут показаться чрез­ мерно усложненными и неестественными, но именно они позволяют проследить весьма далеко аналогию с конти­ нуальными объектами. Это станет ясно в гл. III.

полагая произведение равным нулю во всех остальных случаях. На произвольные формы умножение распростра­ няется по линейности.

З а м е ч а н и е . Правило (8) выглядит естественнее, если записать интервал ек в виде пары его конечных то­

Фw йф = 2 Фй (%й—Фй) е*,

откуда и следует(9). ■

га-мерном случае. Только перед вторым слагаемым пра­

На произвольные формы операция распространяется по

одно из основных отличий вводимого формализма от континуального случая, где операция * — либо инволю­ ция, либо антиинволюция: .(*'■)2:= ±1. Возможность «инволютивнрго» определения * обсуждается в § 5, гл. III.

ного» (правильно имитирующего континуальный слу­ чай) определения скалярного произведения над «об­

а скалярное произведение (для форм одинаковой степе­

Иногда удобно, считать скалярное произведение опреде­ лённым и для форм различной степени, полагая его в атом случае:равным: нулю.

Задание области V вида (13) и скалярного произве­

Н°, Я 1 с базисами {xk} i , {ek}i • Эти пространства будут играть. важнейшую рольх в дальнейших рассмотрениях.

1.3.Уравнения и задачи. Теперь мы можем перейти

кмоделям простейших дифференциальных уравнений и граничных задач для них. При этом наши модели авто­ матически оказываются разностными аналогами упомя­ нутых объектов.-Введение масштаба (нормировки) и пре­ дельный переход обсуждаются в следующем пункте.

Фиксировав область F, задаваемую равенством (13), и воспользовавшись определением скалярного произведе­ ния, введем оператор б, сопряженный с d, оказывающий­ ся важнейшим элементом приводимых ниже построений.

Последний член цепочки представим в виде/ (а, бф)у, вводя оператор б: К1-+■ К0 равенством

бф = — *_1cZ* ф.

- Если предположить дополнительно, что 4 «граничные члены» o t'- '^ ld F обращаются в нуль, то (16) даст обычное соотношение

(da, ф)г = (а , бф)у,

связывающее сопряженные операторы d, б. «Поточечное» : определение б дается, очевидно, равенством

бф|Яь=*:фаА—фь. *

Щйведем «явную» запись тождества, даваемого форму­ лой (16):

Как нетрудно заметить, (17) есть обычное преобразова­ ние Абеля — дискретный^ аналог интегрирования по ча­ стям. И' если равенство (5) было аналогом формулы Стокса, то(16)— аналог формулы Грина/для формально сопряженных дифференциальных операторов d, 6 (§ 1, гл* II). Замечательным, свойством формулы (16) являет­ ся то, что она сохраняет свШ:Вид % в многомерном, слуг

§ 1) МОДЕЛИ НА ПРЯМОЙ 15

чае (§ 2, 3, гл. III). При этом равенства типа (17) дают различные обобщения классического преобразования Абе­ ля (ср. п. 3.2, гл. III).

; При работе с формулами (16), (17) и одновременном использовании пространств^flr0(F), Я 1(F), введенных в

конце предыдущего пункта, необходимо все время иметь в виду следующее обстоятельство: хотя скалярные произ­

Будем считать Я вещественным. Подчеркнем два обстоя­ тельства;

1.Каждому из уравнений (19) соответствуют у нас два аналога.

2.Для записи этих аналогов в нашем формализме, помимо простейшего «дифференцирования» .d, необходи­ мы операции * и б.

Таким образом, если pe/Z°(F), все члены в (20) будут определены лишь при дополнительном задании значений Ро, РтN* Аналогичные- «недостающие» элементы присут­ ствуют и в остальных уравнениях (18).

О п р е д е л е н и е . Элементы а ^ Я0, ф ^ Н1 назовем решениями задачи Коши в F для первой пары уравне­ ний (18), если они удовлетворяют соответствующим це­ почкам равенств, в которых дополнительно положено

16 ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ, О

При выяснении свойств «задачи Дирихле» и операторов (24) удобно воспользоваться тождеством

Одновременно при d, отличном от р, но также учиты­ вая (23),

Соответствующие рассмотрения для второго уравнения второй стрбки .(18) полностью аналогичны. В результате имеем

ция. Перейдем к описанию схемы установления связи чисто комбинаторных рассмотрений пн. 1 — 3 с контину­

Определенные таким образом ступенчатые-^функции бу­

где 1 ,1 — нормы в соответствующих гильбертовых про­ странствах. Определим над введенными функциями раз­ ностные операторы, полагая

Ahah(x) = h~l [ал(ж + h)—ал(я)].,

й аналогично для <р\ Операторы эти определены, разу­ меется, лишь в о т к р ы т ы х интервалах eh. В даль­ нейшем это всегда подразумевается, хотя явно и не ого­

то для определенныхt выше ступенчатых функций *пото­ чечно выполнены \равенства

ah= бV ,

Справедливость утверждения очевидна. ■ Введем теперь обратный процесс: сопоставление кон­

тинуальному объекту дискретного. Пусть интегри­ руемаяфункция х, заданная над некоторой совокупно­ стью интервалов eh. Сопоставим / ступенчатую функцию Д полагая

случае эти пространства по традиции не различаются), то можем сопоставить ей соответствующий объект в Я0,

Коши»).

Отметим одновременно, что часто, вместе с нормой IH, полезно использовать аналог И^-нормы [19], [43], определяемой равенством

ь

la*, ИЧ2 = j (AV 1)2^ .

a

У т в е р ж д е н и е 5Г Пусть ступенчатая функция f —; дискретизация произвольного элемента / е Я*;_ тогда за­ дача Коши для уравнения

на (a, b) однозначно разрешима и; для решения выпол­ нено неравенство

(а. Ь) понимается соответствующая задача в F = S eh,

Построим теперь, отправляясь от ступенчатых, «глад­ кие» (класса Сх) функции, воспользовавшись поостейшим оператором осреднения [19]. Положим

J V (;г) = 4- j Vh(l)dt,

X

Построение аппроксимаций решения уравнения йа = / с~ помощью решения уравнения (28) облегчается в одно­ мерном случае^ тем, что

dJhah(x)^d*ah(x) = f .

У т в е р ж д е н и е 6. При К -^ 0 семейство функций {Jhah} сходится в Н° к элементу а, имеющему обобщен­ ную производную и удовлетворяющему уравнению da = /

иусловию а ( Ь ) = 0 . ■

Врассматриваемом примере, поскольку решение урав­ нения (28) без труда явно выписывается, -проверка утверждения 6 затруднений не _вызывает. В менее три­ виальных случаях доказательство соответствующего

утверждения оказывается весьма трудоемким (ср. п. 3.6, гл. III). Отметим одновременно, что элементарные осред­ нения ступенчатых функций дают простейшие с п л а й н ы .

§ 2. Модели на окружности

В качестве предварительного замечания стоит упо­ мянуть, "что если построения § 1 были связаны, в своей основе, с элементами теории гомолбгий, то фундаментом § к2 является, по существу, теория липейпых представ­ лений конечных абелевых групп [42], в ее простейшей (хотя, как и в § 1, несколько необычной) форме.

чие от рассмотрений § 1, теперь удобно с самого начала иметь в виду некоторый «масштаб». Будем считать N нечетным и, полагая N — 21+1, занумеруем точки (вы­ брав некоторую «начальную») в порядке их следования цедыми числами —Z, —Z+1, ..., Z—1, Z, называя эти числа координатами указанных точек, в множестве £2, подразумевая под Q совокупность всех точек, занумеро­ ванных указанным образом. Пусть / — комплексная функ­ ция над Q:

/: x*-+f(x), (1)

где я —5точка Q, отождествляемая со своей координатой. Совокупность так определенных функций обладает есте­ ственной структурой комплексного линейного простран­ ства:

(а/ + Nr) (х )= а /(* )+ $g(x),

и мы превратим его в гильбертово, пространство Н (ко­ нечномерное), определив скалярное произведение - равен­ ством

«•-С? SI: (В)

будет ортонормированным базисом Я, и произвольный элемент / е Я можно записать в виде

/ (*^) ^ S fx^xi*

m

/* = (/, ех) = N - 12 / (у) е* (у) = ЛГ1/2/ (х).

У

Нормирующий множитель Я-1, введенный нами в определение (2) скалярного произведения,' «портит» в дальнейшем многие формулы, заставляя, в частности, различать значение /(#) отображения / в точке а: и коэф­ фициент fx разложения этого отображения-функций по естественному базису (3). Тем не менее нормировка эта нужна для интересующего нас сопоставления (хотя бы на интуитивном уровне) дискретных объектов с конти­