книги / Многомерный анализ и дискретные модели

Приведенная формулировка содержит туманные тер­ мины: «геометрический объект» и «соотнесение». В пре­ дельно общем -случае под «геометрическим объектом» понимается просто топологическое пространство. Что ка­ сается соотнесения оному комплекса, то здесь существу­ ет ряд конкурирующих процедур,, каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки. Одной из самых простых является разбиение на клетки й использование построения, аналогичного рассмотренному в примерах. Оно вполне корректно, во всяком случае — для разобран­ ных ситуаций.

В интересующих нас в дальнейшем моделях мы бу­ дем иметь дело с комплексами весьма специальной структуры, построенными из «кубиков» различной раз­ мерности (в модели § 1, гл. О, следует считать точку нульмерным кубиком, а интервал — одномерным). Эта специальная структура позволит, в частности, ввести операцию *, которая даст возможность создания комби­ наторной имитации «евклидовости». Геометрическим объектом окажётся подмножество евклидова простран­ ства, образованное упомянутыми кубиками, или тополо­ гическое пространство, гомеоморфное такому образова­ нию. При этом выяснится, что гомологические характе­ ристики геометрических объектов, участвующих в фор­ мулировке интересующих нас задач, в ряде случаев окажутся существенными, и полезно иметь в виду, чтс они могут быть найдены, например*, по приведенной схеме.

§ 3. Линейное пространство и смежные структуры

3.0. Предварительные замечания. Параграф содержи стандартные определения, относящиеся к линейному пространству ц линейным отображениям, сопровождае­ мые рядом нестандартных замечаний, не акцентируе1 мых, как правило, в обычных курсах. Под «смежным® структурами» понимается евклидо^ость и структура пространств, определяемых как внешние или тензорньи произведения. Заключительный пункт содержит не сколько определений й замечаний, относящихся к ли нейным представлениям групп.

Существенным пробелом является отсутствие теория определителей, которая, по необходимости, предполагав ется известной.

умножение на вещественные (комплексные) числа, под­ чиненное приводимым ниже естественным требованиям.

Если а, 6, . .. — числа, и, у, . . . — элементы группы* то

Часто используемый синоним названия «линейное пространство»— термин «векторное пространство», и мы будем иногда называть элементы Е векторами, а числа

а, £?, ... скалярами.

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать Е в е щ е с т в е н н ы м (т. е. числа а,Ь, . . . — вещественные).

Элементы щ, ..., иш из Е линейно независимы, если равенство

а\Щ + . .. + amum = О

влечет а\ = а2 = . .. = аш= 0.

Это определение сразу разбивает совокупность всех линейных пространств на два класса: конечномерных (обладающих лишь конечным числом линейно независи­ мых элементов) 'ж бесконечномерных. В данном парагра­ фе мы будем иметь дело только с к о н е ч н о м е р н ы м и Е. В этом случае максимальное число линейно пезависи-*

примером линейного пространства является совокуп­ ность Кг коцепей с вещественными коэффициентами, введенная в п. 2.3. Линейным пространством оказывает­ ся при этом и Жъ, а его размерность будет совпадать, очевидно, с числом Бетти для

3.2. Норма, метрика, топология. Линейное простран­ ство Е (не обязательно конечномерное) называется нор­ мированным, если для любого u<=Z? определено неотри­ цательное вещественное число Hull — норма и, причем выполнены следующие требования:

1.Hull = 0 влечет и — О,

2.Ilaull — laljlull,

образом порождает соответствующую м е т р и к у :

р(и, у) — Ни — Ы1,

и нормированное пространство автоматически является метрическим и, следовательно, т о п о л о г и ч е с к и м .

Две нормы II...IIг, 11...Н2 эквивалентны, если существует постоянная с такая, что для любого элемента и<=2? справедливы неравенства

пространстве любые две нормы эквивалентны. Утверждение немедленно следует из сравнения норм,

проведенного в произвольном фиксированном базисе. ■

порожденной любой из эквивалентных норм. В бесконеч­

рованное пространство называют пространством Банаха. Термин этот используется, как правило, лишь в беско­ нечномерном случае.

Из утверждения 2 следует, что топология в Е , по­ рождаемая выбором фиксированной нормы (и соответст-

может рассматриваться как е с т е с т в е н н а я .

Отметим некоторые типичные топологические харак­ теристики конечномерного линейного пространства, рас­ сматриваемого в естественной топологии. Само линейное пространство Е не является компактным., Тем не менее, справедливы

У т в е р ж д е н и е 3. Всякое замкнутое ограниченное множество конечномерного линейного. пространства ком­ пактно. в

В конечномерном случае, гарантирующем существова­ ние нормы, разговор о топологических свойствах выгля­ дит несколько надуманным. Его уместность1оправдывается важной ролью в современной математике обширного

иную дополнительную структуру, в первую очередь изу­ чаются отображения, в соответствующем смысле с этой

используется обозначение Hom(2?i, 2?2) .

Если {еи}х — базис в Еи а {е,}™ — базис в i?2, то L однозначно определяется заданием образов базисных элементов:

При использовании базисов для задания и изучения линейных отображений весьма удобна так называемая

т е н з о р н а я символика, в которой знак суммы опуска­ ется, но суммирование подразумевается всякий раз, ког­ да какой-либо . из индексов встречается дважды. Сумми­ рование ведется в этом случае по всему множеству зна­ чений соответствующего индекса. В этой символике коордипатное представление (1) и равенство (3) будут иметь вид

линейными отображениями (опять-таки предполагаю­ щий наличие выбранных фиксированных базисов), дает

но вводится правило умножения матрицы iia. вектор (соответствующее выполнению . линейного преобразова­

Векторы щ v представляются координатными столбца­

столбца v получается умножением элементов /-й строки матрицы на элементы координатного столбца вектора и (с последующим суммированием).

Приведенное рассмотрение есть специальный случав упомянутого общего правила перемножения матриц. Ес

46 ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ [ГЛ. I

ли помимо отображения (4) задано отображение

Т: Е2->Е3, V ~>W,

причем в Ег также выбран фиксированный базис, в ко­ тором Т задается равенствами

конец, и такой подход, в котором не используется пред­ ставление L в каком-либо базисе, • а используется лишь свойство (2) и те или иные дополнительные характери­ стики отображения. В этом случае говорят обычно о

линейном, операторе L: Е\ -*■ Е*. Наиболее распростра­ ненной является эта токка зрения в теории бесконечно­

Е Е, т. е. действующие в фиксированном пространст­ ве Е. Такие отображения естественным образом опреде­

ждественным отображением.

Отображение А обратимо (или невырожденно), если существует отображение А~1 такое, что АА~1=* А~1А = 1.

Отображение А : Е Е мощно, очевидно, рассматри­ вать и как отображение Е в пространство Е' той же раз­ мерности, но отличное от Е. Если при этом А невы­ рожденное, то оно устанавливает взаимно однозначное соответствие между Е и Е' и называется изоморфизмом, а соответствующие пространства — изоморфными.

Отсюда немедленно следует, что совокупность всех ли­ нейных функционалов над Е образует, в свою очередь, тг-мерное векторное пространство, так называемое со­ п р я ж е н н о е с Е и обозначаемое Е*. Это один из важ­ нейших объектов в теории линейных пространств.. Для его определения можно было, очевидно, воспользоваться записью Е? = Hom(2?,[R).

Естественный базис в Е* образуют функционалы ек

дексов в представлении элементов £, Е* весьма сущест­ венно.) Будем иметь

I {и) = lku?ek (е5) = 1киэЬ3 = lkuk.

При рассмотрении I как элемента Е* этот результат записывается обычно в виде

<м, Z> = иНк

и говорят о спаривании элементов Е, 2?*. При одновре­

пространства Е* называют повекторами.

Поставленные нами индексы указывают, что слева име­ ется в виду спаривание между Е2,Е 2, а справа— меж­

ду 2?1, 2?1. Обычно цодобное указание опускается. Во-вторых, воспользовавшись каким-либо фиксиро^

ванным отображением М: Е -> 2?*, можно каждому эле­ менту v ^ E сопоставить элемент Mv е 2?*, определив

определяющее над Е билинейный вещественный функ­ ционал, сопоставляющий вещественное число каждой упорядочепной паре элементов щ и.

Оказывается, что эта идея заслуживает; самого тща­ тельного изучения. Фиксировав в Е базис {ek} и взяв в сопряженный базис (см. (9)), можем определить М

равенствами

Mek= g^e*.

Тогда

Mv = vhMek = ghivhe?

и (10) запишется (после соответствующей группировки сомножителей) в виде

Уи, и< = ghje*esvPu8= g^vhu\

которое мы (в подобной ситуации) всегда будем предпо­ лагать выполненным.

Само определение пространства Е* подсказывает выбор в качестве привилегированного отображения М: Е-+Е* естественный изоморфизм: невырожденпое ото­ бражение, для которого

Подобный выбор {ghs} действительно имеет фунда-. ментальное значение, причем одновременно особую роль играют отображения, которые «похожи» на (12) в том смысле, что они могут быть приведены к виду (12) пу­ тем соответствующего выбора базиса (см. (8) и после­ дующие рассуждения). Если фиксировано отображение описанного тица, та соответствующее спаривание (10) называют скалярным произведением (невырожденным, положительно определенным), а систему чисел {#**), его определяющую,— метрическим тензором.