книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 4] ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Щ

классов объектов топологической (в нашем случае, как правило, метрической) структуры. Из сказанного не следует делать вывод, что и задачи, формулируемые в терминах топ или иной инфинитезимальной структуры, носят, в основном, локальный характер. Напротив, наи­ более интересные и. сложные проблемы в этой области, как мы в дальнейшем убедимся, оказываются обычно связанными с реконструкцией и свойствами глобального объекта, описываемого совокупностью, локальных харак­ теристик.

Прежде всего мы рассмотрим отображения линей­ ных пространств, уже не являющиеся линейными. По­ строение локальной (в окрестности фиксированной точ­ ки) аппроксимации такого отображения линейным при­ водит к операции дифференцирования.

В п. 2 определяется один из самых важных для дальнейшего объектов: дифференцируемое, (или глад­

точки) устроенное как линейное пространство. Оно снабжено при этом специальной дополнительной струк­ турой, позволяющей рассматривать на нем задачи ана­ лиза. Простейший пример — гладкая замкнутая (без края) поверхность в евклидовом пространстве. (Поверх­ ности с краем соответствует специализация понятия многообразия — многообразие с границей.)

Поскольку гладкое многообразие в каждой своей точ­ ке «подобно» линейному пространству, на нем локально могут быть определены и структуры, рассмотренные в § 3. Соответствующие построения приводят к понятиям векторных и тензорных расслоений и их сечений (век­ торных и тензорных полей). Последние являются обоб­ щениями привычного попятия числовой (скалярпой) функции точки. Оказывается, в частности, что функцио­ налы над лежащими в многообразии геометрическими образованиями («поверхностями» той* или иной размер­ ности) определяются сечениями Лг-расслоений — диффе­ ренциальными формами. Процесс построения функцио­ налов приводит к операции интегрирования. Краткий очерк процесса приведен в п. 3.

В связи с содержанием п. 4 представляется любопыт­ ным следующее замечание. Если в одномерном случае первичным объектом дифференциального исчисления естественно считать производную, имеющую наглядный

удобнее отправляться от понятия дифференциала, к ко­ торому приводит идея линейной аппроксимации отобра­ жения (п. 1). Пункт-4 содержит, по существу, еще один альтернативный подход. Он посвящен оператору d, опре­ деляемому на сечениях — г:формах в качестве сопря­ женного геометрической операции д взятия границы. Координатная реализация d вновь приводит к диффе­ ренцированию.

Интересно, что при этом первичной инфинитезималь­ ной операцией оказывается интегрирование, возникаю­ щее, как отмечалось, в процессе построения функциона­ лов над геометрическими объектами.

ющееся, вообще говоря, линейным. Отображение / диф­

f(z + h ) = f ( x ) + f ( x ) h + г (/г),

причем

при .|Д|-*-0.-

Определение не зависит, очевидно,' от выбора фигу­ рирующих в нем норм (утверждение 1, § 3). Линейное отображение f (х) называется, дифференциалом отобра­ жения. / в точке х.

Если / дифференцируемо в каждой точке x^VL, то определено отображение — функция точки

/': U Hom(i?i, Е2),

так называемая производная отображения /.

У п р а ж н е н и е . Привести сказанное в соответствие

/ принадлежит классу Ck(U), если опо к раз дифферен­ цируемо в каждой точке X ^V L и отображение f h)(x) непрерывно.

сами (ф<Л, (фр) соответственно. Отображение /: М М '

гладкости отображения / связано с выбранными гладки­ ми атласами: (М, фа), (М \ фр)7.

Гладкие атласы (М, фа), (М, фр) эквивалентны, если отображения

1: (М, фа)^ (Ж , фр), 1: (М, фр)^(М,,ф«)

являются гладкими.

Хаусдорфово топологическое пространство с заданной на нем дифференциальной структурой — классом экви­ валентных гладких атласов"— называется дифференци­ руемым' (гладким) многообразием. (размерности п, если

Е—• га-мерно).

За м е ч а н и я . 1. Если М — га-мерное гладкое много­

образие, то существует гладкое вложение М в R2W+1. (Точная формулировка — в\[50], стр. 160.)

2. Один из удивительных результатов дифференцйт альной топологии (изучающей дифференцируемые мно­ гообразия и их гладкие отображения) заключается в ут­ верждении, что^ на 7-мерной сфере в евклидовом прост­ ранстве существует 28 различных дифференциальных структур.

В полученном топологическом пространстве X (с топо­ логией, определяемой топологией М и Е) введем диффе­ ренциальную структуру, сопоставив каждому <ра гомео­ морфизм

dt

Векторным полем г|(ж) па М называется сечение его касательного расслоения, т. е. отображение ц:М -+Т(М ) такое, что рг\ = 1 . Поле г л а д к о е , если гладким явля­ ется сечение.

66 ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 1ГЛ. I

Заметим теперь, что для заданного, касательного.рас­ слоения Т(М) в каждой точке х<=М, вместе с каса­ тельным пространством МК^ Е , могут-быть рассмотре­ ны и сопряженное пространство 2?*, и любое из линей­

для Т(М). Отображения (фр^фаУ» (ф ^/ф а) ^соответствую­ щие правилу преобразования координат вектора, долж­ ны быть; заменены отображениями, отвечающими прави­ лам преобразования координат ковектора или тензора

входящее в &~(Е)) векторное пространство, и действуя по тому же плану, что й при определении касательного

специальным соглашением: заданием структурной груп­ пы. В свою очередь, векторное расслоение является частным случаем расслоенного пространства (косого

отображение. Объект этот, хотя и упоминается в гд. IV,' остается за пределами наших рассмотрений: Рекоменду­ ем ,{1 ].

3. Следует отметить, что приведенная (и дополняе­ мая ниже) достаточно длинная цепочка определений не является в дальнейшем систематически используемым

«рабочим-аппаратом», являясь лишь элементом «фунда­ мента». Но воспроизведение ее представляется необходи­ мым, тем более, что не всегда изложения, встречающие­ ся в литературе, вполне, удовлетворительны.

Определение дифференцируемого многообразия, рас­ смотренное в начале данного пункта, допускает модифи­ кацию, приводящую к важному для нас понятию много­ образия с границей. Опишем ее.

нам понятие получим теперь, вводя в рассмотрение, вме­ сте с картами, полукарты -—гомеоморфизмы

фа: Е& ->■ Ма

и распространяя естественным образом на этот случай введШные ранее ^определения и соглашения. При этом образы тойек, принадлежащих гиперплоскости. х\ = 0 , именуются граничными точками многообразия' М, а их

Рассматриваемый атлас N-правилен,. если все его карты являются ^правильными; N — подмногообразие М, если в дифференциальной структуре М существует ^-пра­ вильный атлас. Размерностью N называется, естествен­ но, размерность Ё[.

Наконец, при^локализации тех или иных построений на многообразии часто оказывается полезным использо­ вание' разложения единицы [39]. Для заданного откры­ того покрытия Чй,} на многообразий М (такое покрытие выбирается обычно, отправляясь от атласа) разложение единицы дает система функций {pj класса С\ обладаю­ щая следующими свойствами:

Если М некомпактно и не удается обойтись конеч­ ным покрытием, полезно заметить, что можно добиться выполнения требования: каждая точка fx ^ М обладает

*68 ФОРМАЛЬНЫЕ •, СТРУКТУРЫ [ГЛ. I

окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом носителей функций ц* [39].

4.3. Интегрирование. В этом и следующем пункта мы вынуждены ограничиться существенно более рас­ плывчатым (по сравнению, с пп. 4.1, 4.2) описанием ин­ тересующих нас понятий. Тем не менее для дальнейше­ го удобно иметь такое описание, хотя бы на интуитив­ ном уровне.

Классический процесс интегриррвания (построения «определенного интеграла») ,, можно охарактеризовать как процесс построения функционала, сопоставляющего числовую характеристик^ объекту, принадлежащему ц определенному классу (бпрецёМющегб,* к примеру, пло­ щадь поверхности, массу тела, работу силы', вдоль за­ данной кривой и т. тс.)'. Функционал этбт должен удов: летворять ряду специальных требований, однозначно, в некотором смысле, его определяющих.

Теоретико-множественное изложение теории меры и интегрирования дают,, например, [40], [55]. «Геомцтричет ской» теории интегрирования; на многообразии (набро­ сок, которой дается ниже), использующей для . построе­ ния вещественного функционала над «поверхностями» или «объемами» спаривание вектор-ковектрр, >, посвяще­ ны, книги [50] , [53]. Попытка, в некоторых отношениях удачная, популяризации интересующих насидей пред­ принята в [46].

Итак, пусть сперва S — r-мерная ограниченная по­

верхность, лежащая в евклидовом; пространстве R% от­ несенном к фиксированной системе декартовых коорди­

нат. Одновременно;будем рассматривать 0?^ как гладкое многообразие (определяемое заданием единственной; кар­ ты), над которым определены, в частности, расслоения

далее некоторую последовательность таких разбиений {^vlve2vj и назовем мелкостью разбиения величину

=max 14 1» veiVi ■

на, а угловые скобки обозначают спаривание вектор-ко- вектор/"При соответствующих требованиях регулярно­ сти входящих в рассмотрение объектов существует не зависящий от способа образования сумм (5) предел

ли рассматривать множество т-форм как линейное про­

пи в § 2 ),. принадлежащей пространству цепей, рассмат­ риваемых в геометрической теории* интегрирования. Та­ кие цепи, в свою очередь, являются/элементами линей­ ного прострайства, и аналогия между спариванием^ в

(5) и спариванием в п. 3,, § 2 оказывается полной. Од-^ новременно в линейных пространствах (бесконечномер­

лас над Ж и со (х) — заданное сечение .расслоения ЛГ(Ж). Предположим дополнительно, что га-мерное линейное пространство Е, фигурирующее в определении Ж, наделе­

картовых координат в Еа.

Случай сечения <о(я) с произвольным носителей сво­ дится к рассмотренному за счет использования разложе­

реходе к другой координатной системе неизменность значения (6 ) обеспечивается инвариантностью спарива­

за счет предположения евклидовости и ортонормирован-

менным при переходе к другому атласу за счёт соответ­ ствующих правил преобразования входящих в (7) объ­ ектов. Сделанное замечание распространяется, очевидно, и на общий случай, использующий разложение (8 ).