книги / Многомерный анализ и дискретные модели

на из комбинаций операторов поля Ф_(х*), Ф+(х,). Со­

что приведенное построение корректно для стационарной картины с не зависящим от' времени «свободным гамиль­ тонианом»— оператором энергии и применяется обычно для гамильтонианов,,получающихся из свободного добав­ лением «взаимодействия» (или «самодействия»). В кон­ тинуальном случае (даже в простейших моделях) не из­ вестно нетривиальных примеров, в которых ряд (21) сходился бы. По-видимому, таких примеров и не суще­ ствует. Тем не менее основным приемом построения кон­ кретных (пригодных для вычислений) матричных эле­ ментов для* формул типа (18) является использование членов ряда (21).

Рассмотрим на простейшей модели (фиктивной, т. е; бессодержательной в (- континуальном случае) используе­ мую при этом формальную процедуру. Пусть

н = 2 !Ф(х).

X

Тогда матричный элемент Sttb «во втором порядке теории возмущений» будет ийеть вид

Подставляя в *(22) выражения Ф = Ф - + Ф+, видим, что получаются суммы слагаемых четырех типов:

Ф -(х)Ф -(х'), Ф -(х)Ф +(х'), Ф+(х)Ф -(х'), Ф+(х)Ф+(х').

Каждому типу можно сопоставить «диаграмму ^Фейнма­ на» по следующему, правилу: нанесем пару точек, кото­ рые обозначим х, х'; сопоставим множителю Ф - стрел-

ку, входящую в соответствующуюточку («уничтоже­ ние»), а множителю Ф+ — стрелку, выходящую из соот­ ветствующей точки («рождение»). Получим диаграммы

Обратно, при наличии соответствующих правил, каждой из диаграмм может быть сопоставлен соответствующий оператор в 5, задаваемый, в континуальном случае, «интегралом Фейнмана». При сложных гамильтонианах подобное соответствие, позволяющее развить специфиче­ скую технику и интуицию, оказывается неоценимым. Дополнительные правила (например, законы сохранения, соображения симметрии) позволяют, сразу исключить из рассмотрения ряд диаграмм. Бичом метода является рас­ ходимость записываемых на основе формальных правил интегралов.

Возвращаясь к (22), заметим, что подставляя в ска­ лярное . произведение различные одночастичные ампли­ туды, к - примеру /а(к), Д(к'), получим комплексную функцию пары F (к, к'). В континуальном случае так и

.появляются числовые й функциональные характеристи­ ки, связанные с экспериментами по рассеянию.

приводящей к ряду (21), породила многочисленные по­ пытки построения теории рассеяния, в которой постули­ руются непосредственно те или иные свойства S-матрицы.

свойств^ локальности операторов поля и требований уни­ тарности и ковариантности S-матрицы позволяет дока­ зать аналитичность функций типа 3*(р, р') = <(/р | S | /р'>- Соотношение между вещественной, и мнимой Частями

к рассеянию.

Другим вариантом «S-матричной теории» является непосредственное изучение матричных элементов — ана­ литических функций, получаемых по рецептам соответ­ ствия: диаграмма — интеграл Фейнмана (например,

[56]).

Ь. -Все наши модели относились к случаю простейше­ го скалярного поля. Реальная проблематика КТП связа­ на с необходимостью рассмотрения взаимодействия по­ лей различной структуры: скалярного, векторного, спи­ норного, электромагнитного и т. п., т. е. с рассмотрением функций над М, М , имеющих несколько компонент и преобразующихся по соответствующим представлениям группы П1. Принцип построения гамильтонианов, описы­ вающих взаимодействие полей различной природы, Мо­ жет быть пояснен примерами из векторного анализа: если нужно определить билинейный функционал от за­ данного скалярного поля / и векторного и, то естествен­ но рассмотреть выражения вида

J* grad / -и dV («векторная связь»)

изложениях КТП свойства решений: подобных уравнений широко используются при введении (и изучении) поле­ вых операторов. Признаётся, однако, что это использо­ вание, возможно, лишь вспомогательный прием, удобный для получения функций, обладающих специальными трансформационными свойствами. Именно такая точка зрения удобна нам.

Г Л А В А V

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 0. Введение

Два коротких параграфа заключительной главы со­ держат скорее постановку задач, нежели изложение ре­ зультатов. Первый касается возмущений простейших «модельных» систем уравнений, а второй— построению дискретного аналога джет-расслоений *), используемых в общей теории разрешимости уравнений с частными производными. Соответствующие рассмотрения, в не­ сколько отличной форме, были первоначально опублико­ ваны в [17], [18].

По поводу § 4 можно заметить, что теория возмуще­ ний для операторов с частными производными, несмотря на всю важность и широту ее приложений, находится, если не говорить о специальных разделах [23] , в мало удовлетворительном состоянии. Не исключено, что пред­ лагаемый структурный анализ простейших моделей, от­ носящихся к влиянию возмущений области на спектр за­ данного в ней оператора, может оказаться полезным.

Второй параграф возник из поисков ответа на вопрос:" «В какой мере можно на дискретном объекте смоделиро­ вать'некоторые понятия, используемые в общей теорий разрешимости уравнений в частных производных?» (на­ пример, [8], [36], [45]). К упомянутым понятиям отно­ сятся джет-расслоения; и элементы теории гомологий ^(связанные с «диаграммной техникой»). -Полезность предлагаемых конструкций в конкретных задачах дис­ кретного характера достаточно проблематична.

*) Английский термин «дзкет» в данном контексте вызывает ассоциацию с каскадами брызг, соответствующих «каскадам» част­ ных производных различных порядков функции /. Ввиду этого используемый в ряде случаев русский эквивалент «струя» вряд ли удачен.

§1. Возмущение модельных уравнений

1.0.Предварительные замечания. Параграф примыка­ ет непосредственно 'к '§ 2, гл. 0. Модельными. названы простейшие уравнения на дискретной окружности Й, со­

ний (и спектр соответствующий операторов) немедленно вычисляются либо непосредственно, либо за счет исполь­ зования «преобразования Фурье». Возмущение исходной структуры заключается в присоединении к Й (к Qi Х й 2) дополнительной точки таким образом, что группа порож­ даемых сдвигами отображений ^ этих множеств на себя перестает быть абелевой.

Соответствующее возмущение вводится в модельное уравнение и рассматривается его влияние на спектр по­ лученного «возмущенного» оператора. Используемые конструкции допускают много вариантов и, возможно, приводимый ниже не является наиболее удачным.

Пусть Я —Я-мерное гильбертово пространство комплекс­

поставлений с континуальным случаем не делается. Сдвиг т порождает, как неоднократно отмечалось, уни­ тарный оператор .

Спектр оператора т дается набором

Кv == 2niN -\ ; * = 1, . . Я,

корней из единицы, а соответствующие собственные функции, образующие ортогональный базис Я, име­ ют вид

я = 1 , ..., к.

Образуем множество Я', добавив к Я точку, отмечен­ ную числом N + 1 , и продолжим автоморфизм т на Я', полагая т (Af +' 1) = iV + 1. Введем одновременно допол­ нительный автоморфизм

Построенное но аналогии с Н гильбертово пространство комплексных функций над Я' обозначим Н' и опреде­ лим, пользуясь правилом (2 ), унитарные операторы

т / jf: J5T'

Заметим, что автоморфизм т[5 дает сдвиг в Я', аналогич­ ный сдвигу т в Я. В то же. время т. е. теперь группа всех, порождаемых парой т, р, автоморфизмов Я'

уже не коммутативна. Спектр операторов т, тр ^ тр оха­ рактеризуем, заметив, что он определяется соответствен­ но корнями уравнений

(К* — 1) {X - 1) - О, Г +1 = О,

левые части которых можно рассматривать как характе­ ристические полиномы, отвечающие обычной матричной записи уравнений

ти — Хи = 0, т$и — Хи = 0.

Уже оговаривалось, что имеется много способов вве­ дения возмущений в эти простейшие уравнения. Рас­ смотрим, к примеру, семейство операторов

А — ( 1 — е)т + етр.

Собственными значениями А будут корни характеристи­ ческого полинома

функций выписать теперь не удастся. Можно, тем не ме­ нее, сделать некоторые заключения качественного харак­ тера. При этом полезна

Л е м м а /Отображение комплексной плоскости

тогональна в нуле образу вещественной оси и, следова­ тельно, согласно .сделанному замечанию, самой вещест­

ются по единичной окружности против часовой стрелки

ся доказанной леммой. ■ Укайкем еще специальный базис в Н', удобный при

изучении некоторых характеристик оператора Ьг [18]. Определим вектора flk(tf), й==1, ..., N, совпадающие с

Построенный базис позволяет, к частности, получить другую форму Записи полинома- (3). Мы воспроизведем

рую обозначим о), продолжим на Q автоморфизмы т, считая, что добавленную точку они оставляют на ,месте; и определим автоморфизм р, полагая

«возмущения» оператора (6 ) за счет использования р, нарушившего коммутативность исходной структуры/ Ос­ тановимся на варианте, наиболее близком к рассмотрен­