книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 3J ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО И СМЕЖНЫЕ СТРУКТУРЫ

51

Линейное пространство, в

котором

определено

ска­

лярное произведение, заданное' в некотором ~б;азисе

ра­

венством X12), называют евклидовым. Соответствующий

базис обладает тем свойством,

что для

него (е<, е^)=6^

и называется ортонормированным.

Предполагая, что задание

скалярного произведения

т у р у

(превращает его в евклидово), считают, естест­

венно,

что значение произведения

для

фиксированной

пары

векторов не зависит от выбора

базиса (координат­

ного представления). Это обеспечивается

соответствую­

щими

правилами преобразования систем чисел iuh}, {i;*},

ние является индефинитным

(и,

быть

может,

вырож­

денным). Все возможные ситуации описывают

следую­

щие утверждения.

7. Всякое

линейное отображение

У т в е р ж д е н и е

М: Е -> Е* (удовлетворяющее

условию

(11)) путем со­

ответствующей замены базиса приводится к виду

8hs

_/0»

le=h s’

,,оч

l<r(s),

=

52

ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

[ГЛ. I

У т в е р ж д е н и е 8.

Числа 2 1а (5) I (Pawg) и

2

a (s)

(положительный

индекс

s

s:a(s)—i

спо­

инерции) не

зависят,

от

соба приведения преобразования М к виду (13).

■

Под «способом приведения» подразумевается, естест­

венно, замена

базиса,

определяемая

,невырожденным

преобразованием.

вались

с поименованным

.объектом.

Подпространством

(собственным,

т. е. не

совпадающим

со всем Е)

являет­

ся, например,

образ LZ?i <= 1?2 пространства

Е\

при

ли­

нейном

отображении

L: i

?

i

если dim Е\ < dim Е2 .

Другой

стандартный

способ

образования

подпрост­

ранств — образование

линейной

оболочки заданной

сово­

купности {и0} элементов Е, т^е.

присоединение

к

этой

ва будет, очевидно, равна числу

линейно, независимых

векторов, входящих в {иа}.

синоним, обозначаю­

Стандартный теометрический

щий подпространство,— термин

гиперплоскость (содер­

ном

пространстве — прямая

или плоскость,

проходящие

через начало координат.

отметить, что к

числу важ­

З а м е ч а н и е . Уместно

ных

«специальных Подмножеств»,- выделение которых

жат

не только ‘

подпространства-гиперплоскости,

но н

(при заданном базисе) совокупности векторов

(«точек»),

координаты которых (щ, ...,

ип)

подчинены

с в я з я м ,

т. е. каким-то соотношениям вида

fp(uh

^п)= 0,

р = 1, . .. , _т.

В этом случае говорят обычно о поверхности

в

линей­

ном

пространстве.

Однако,

как

правило, систематиче­

сматриваются при

этом точки w-мерпого

а ф ф и п п о г о

п р о с т р а н с т в а

(являющиеся,

грубо

говоря, просто

упорядоченными совокупностями

п элементов некоторо­

§ 3]

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО И СМЕШНЫЕ СТРУКТУРЫ

53

го

выбранного поля

У [29]). Но

и термин: «поверх­

ность в евклидовом

пространстве»

является достаточно

чайно

полезной

оказывается

специальная

алгебраиче­

ская

операция:

в н е ш н е е

у м н о ж е н и е

- векторов.

этом Ai совпадает, естественно, с И,

а О?

принято отож­

дествлять

с одномерным

пространством

Ао,

имеющим

'

элементом число

1.

Тогда

.

п

является

базисным

А~=

(J Лг

примером

так называемой

о

алгебры»

«градуированной

над К,- имеющей размерность 2п.

54

ФОРМАЛЬНЫЕ

СТРУКТУРЫ

[ГЛ. I

Связь

введенной

операции

с линейной

зависимостью

в Е дает

9. Необходимым и

достаточным

У т в е р ж д е н и е

А Щ А . . . А ит = 0. ■

При рассмотрении

подпространств полезно

понятие

разложимого r-вектора, представимого в

виде

внешнего

произведения векторов Е (элементов Ai);

произвольный

r-вектор является л и н е й н о й

к о м б и н а ц и е й

разло­

жимых.

10. Каждому r-мерному

подпрост­

У т в е р ж д е н и е

ранству Е ' с; Е

соответствует

однозначно

определенный

(с точностью до

скалярного множителя)

r-вектор

юФ 0

- У т в е р ж д е н и е

11. Пусть Е \ Е" — подпростран­

ства Е, определяемые

(в смысле, утверждения 10) г\-век-

тором w\

и Г2-вектором w2

соответственно.

Включение

Е' <=:Е"

имеет место тогда* и

только тогда,

когда^ суще­

ствует (г2 — ri)-вектор v такой, что w2 =.w1 Д v. в

лентности

требованием

п о л о ж и т е л ь н о с т и множи­

теля, мы

придем к

понятию о р и е н т и р о в а н н о г о

А • V- A eh> ^ А • • • А

=

56

ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

[ГЛ. I

где в\, ..., еп — базисные *векторы

(ортопормированного

базиса).

Пусть

dim Е = 3,

и = ukeh, v =

—

П р и м е р .

пара векторов. Тогда

.Н Ф Д уН

= (u2v3 — u 3v2)

+ (а 3!;1 — иЧР) ё2 + (u^v2 — u?vl)e3,

ствует обычным

разговорам о

«векторе,

ортогональном

площадке и f \ v

и равном по модулю

ее

площади».

Нетрудно проверить, что

= ±1.

Знак зависит от

соотношения между п и г. Отсюда следует

определяет ин-

У т в е р ж д е н и е 12. Отображение %

странств Лг, Ап-г.

13. Для г-векторов и, v справедли­

У т в е р ж д е н и е

во равенство.

{и, V) = {и Д

е1 Д

. . . .Д е”),

где скобка < . . . . . >

— операция

спаривания пространств

Е , Я*. ■

ных пространств с базисами

{sj}™

соответственно.

Определим линейное пространство

Е ==*

Е\® Еч размер­

ei ® (sj + £*)= ® + et ® 8?,

(16)

a(e< ® £j)B ae< ® sj = e{® ae,-,

(17)

§ 3J

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО И СМЕЖНЫЕ СТРУКТУРЫ

57

число

и

(17)

не вытекает из (16).

Полученное

прост­

ранство

Е

назовем тензорным произведением

прост­

ранств

Е 1 , # 2. При этом замечания,

сделанные в

п.

2.3

занные с

фиксированным пространством Е : тензорные

с т е п е н и

Е> Е* или произведения, содержащие

Е*

0~{Е) = В?' + Е + Е*'+ Е® Е +

+ Е®Е* + Е*®Е + Е*®Е* ... (18)

(где [R— поле скаляров), называют .тензорной алгеброй

пространства Е. Элемент произведения

Е® . .. ® Е®Е*<® .. ,.®Е*

г раз

« раз

называют тензором типа (г, $)

(г раз контравариантным

чисел u3v ..os,

определяющую тензор в заданном оа­

зисе (в его разложении по базису),

называют

его

ком­

понентами.

Закон

преобразования

компонент

тензора

при замене

базиса вытекает из его

определения и

рас­

тензоров

только ковариантных или только

контравари-

антных;

тензоров симметричных

(компоненты которых

пе зависят от порядка следования

индексов)

или

косо-

симметричны^ (компоненты которых меняют знак

при

перестановке пары соседних

индексов); возможна,

сим­

метричность по одной группе

индексов .и кососимметрич­

58

ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

[ГЛ. I

Часто используется следующая характеристика тен­

зорного произведения.

естественное

вза­

У т в е р ж д е н и е 14. Существует

имно

однозначное соответствие между

линейными

ото­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сопоставим простому

элементу

вида w* ® и следующее отображение элемента

и ^ Е 1:

(u;*®i;): и

(и, iv*} v

(в котором < . . . . . )

— спаривание пространств

Е Е * ) .

Распространяя отображение

по линейности,

для

произ­

вольного

элемента

Кек®е}

(19)

(записанного

в используемом

базисе)

получим

отобра­

жение

(Цек0 е }): и *->• (и, КекУ si =

и'‘К ъ,

что эквивалентно

заданию

некоторого

отображения

Ьи

(в записи п. 3).

Обратно, если L -задано матрицей (И Ь

достаточно со­

поставить ему элемент из

Е \® Е 2 вида (19). ■

пример

В случае

Е\ = Е^ == Е

утверждение

14

дает

тензора

Щ ]

один раз ко-

и

один раз

контравариант-

ного.

часто

используемая,

формулировка

Эквивалентная,

утверждения

14:

14'. Существует естественный

изо­

У т в е р ж д е н и е

морфизм

Е\<&Е2~Н .ощ (Е1, Е2). ш

3.7.

Линейные

представления групп. Задача

данного

пункта — указать

па связь конструкций

§ 2, гл. О, соот­

ветствующих построений гл. IV и некоторых замечаний

§ 2 , гл. V с

элементами

теории, представлений. Заинте­

ресовавшемуся читателю

рекомендуется ‘ обратиться

пре­

жде всего к [42]. Если интерес распространится

на

связь

§ 3]

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО И СМЕЖНЫЕ СТРУКТУРЫ

59

Представлением G в Е называетсяпроизвольный гомо­

морфизм

Т: G ^ & ( E ) -

T(gh)= T(g)T(h).

(20)

Размерность пространства

Е называется при этом

сте­

базис {ek}i и

отождествить

элементы

3?(Е)

(^соответст­

вующими матрицами, то равенство в, (20) может

быть,

очевидно, записано в матричной форме.

эквива­

Представления Т, Iй в пространствах Е, Е '

лентны,

если

существует изоморфизм

В: Т

Т \

уста­

навливающий между

ними

взаимно

однозначное

соот­

ветствие.

1.

Пусть

X — конечное

множество,

G —

П р и з е р

группа

всех

взаимно

однозначных

отображений

X на

себя, а

Е — линейное

пространство

комплексных

функ-.

ций над X. Пусть g <= G, х ^

X. Положим

Tgf(x)-= f(g~lx ), где Tg=T(g) .

(21)

Поскольку Tg— автоморфизм Е и

TgThf(x) = f(h~lg-lx),

определение

(21)

задает линейное представление

G в Е.

П р и з е р

2.

Всякое

представление степени

1 явля­

кая, что gm= 1,

для конечной

G значение T(g)

всегда

должно быть корнем из единицы.

Т (g)555 1

З а м е ч а н и е ;

Тривиальное

представление

сительно G, если для

любых х,

у ^ Е и для любого

g<=G

(х, y) = (Tgx, Tgy).

У т в е р ж д е н и е

15. Пусть

(х, #) — произвольное

. У т в е р ж д е н и е

16. Пусть Е' — инвариантное

под­

пространство

Е й

Е" — ортогональное

дополнение

Е '

относительно

инвариантного скалярного

произведения:

Е = Е ' ® Е " .

(22)

в

При наличии для Е ортогонального разложения (22),

котором Е \ Е " — инвариантные подпространства,

го­

моморфизм Т в (20) индуцирует гомоморфизмы

Г :

G-+&(E'), Т": G + 2 ( E " ) ,

з

свою очередь

определяющие представления G в

Е \

У т в е р ж д е н и е

17. Каждое представление конеч­

ной степени является

прямой суммой неприводимых: