книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

бытия, заключающегося в том, что если при t = 0 был зафикси­ рован максимум, то в момент времени тх будет обнаружен минимум, а в интервале времени 0 < / < тх экстремумов не будет. Тогда на основании свойств условных вероятностей получим для определе­ ния плотности р (т) интегральное уравнение

Продифференцировав уравнение (10.50) по т, получим

Р (т) = —/ (т/0 < t < т) р (т) + / (т/0 < t < т) р (j)/f (т/0 < t < т).

(10.51)

После интегрирования (10.51)

Для малых интервалов времени между экстремумами, когда вероятность появления в этих интервалах числа экстремумов более одного мала, можно принять

Из соотношения (10.46) следует, что при больших значениях т плотность / (т) лт1п. При этом плотность р (т) описывается экспоненциальным законом распределения. Можно приближенно принять, что плотность распределения интервалов времени между двумя соседними экстремумами в некотором интервале времени (0 — т#) определяется соотношением (10.54), а в интервале вре­ мени-(т* — оо) — зависимостью а ехр (—рт), где а и р — пара­ метры распределения. Три неизвестных параметра этого распре­ деления а, р и т* определяются из условий непрерывности, нор­ мировки и равенства среднего значения интервала времени между двумя соседними экстремумами, которое может быть вычислено как по конструируемой плотности распределения, так и по точ­ ным формулам, получаемым из выражений (10.37) и (10.38). Эти условия можно записать в виде уравнений:

92

решениями задачи нахождения совместного распределения двух соседних экстремумов и интервала времени между ними. Исклю­ чив из этого распределения интервал времени между соседними экстремумами, получим плотность распределения двух соседних экстремумов

Поскольку экстремумы случайных процессов соответствуют нулям его первой производной, для среднего числа нулей в еди­ ницу времени и для плотности распределения интервалов вре­ мени между нулями на основании соотношений (10.37) и (10.46) можно записать следующие выражения:

00

ность распределения процесса и его первой производной для

ния произвольного уровня сведем к вычислению числа нулей функции, представляющей собой разность процесса и уровня. Ограничимся определением только среднего числа этих превыше­ ний п (х, t), происходящих за время t.

93

Функционал для определения числа нулей произвольной

—В

Справедливость (10.61) вытекает »из свойств 6-функции. Пре­ образовав соотношение (10.61) с учетом равенств (10.62), получим

Из соотношения (10.63) следует справедливость формулы (10.61).

Если, функция ф (/) случайная, то для получения вероятност­ ных характеристик числа п0 (f) следует ввести соответствующие плотности распределения и выполнить усреднение. Так, если через / (ф, ф, t) обозначить совместную плотность распределения функ­ ции ф (/) и ее первой производной в совпадающие моменты вре­ мени, то среднее число нулей этой функции

О—оо —оо

Если случайная функция ф (/) стационарна, то из (10.64)

.получим среднее число превышений процессом х (f) уровня х в единицу времени:

х (/) и его первой производной в совпадающие моменты времени. Формула (10.65) при х = 0 определяет среднее число превы­ шений процессом нагружения нулевого уровня или среднюю (эффективную) частоту этого процесса. Эта формула позволяет также вычислить среднюю длительность превышений и средний

94

интервал времени между ними на некотором произвольном уровне х0.

Так как относительное время пребывания процесса над уров­

где F (х) — одномерная интегральная функция распределения случайного процесса х (0> то суммарное время пребывания этого процесса над уровнем х0 за время t будет равно t [1 — F (х)].

За достаточно длительное время t общее число интервалов, на которых х (t) > х0, равно среднему числу превышений за это время, т. е. равно th (х0). Отсюда следует, что среднее значение длительности превышений уровня х0

Р а с п р е д е л е н и е з н а ч е н и й , с о о т в е т с т в у ю ­ щ и х т о ч к а м п е р е г и б а . Распределение значений слу­ чайного процесса, соответствующих его точкам перегиба (в кото­ рых вторая производная равна нулю), представляет интерес при расчетах циклической долговечности и живучести конструк­

Для случайного процесса х (t) вероятность обнаружения в про­ извольно выбранном интервале времени Ат точки перегиба в ин­ тервале значений (х — Ах, х)

цесса х (0 и его второй и третьей производных в момент вре­ мени t = т.

95

Вероятность обнаружения в интервале времени Дт точки перегиба произвольной величины

Из соотношения (10.71) получим среднее число точек перегиба за время t и соответствующую плотность распределения значений процесса:

t со

О—оо

Для стационарных процессов соотношения (10.72) и (10.73) принимают следующий вид:

00

Распределение абсолютного максимума. Основные трудности, возникающие при определении распределения абсолютного ма­ ксимума в случайных процессах, были выявлены на примере простейшего потока статистически независимых воздействий в § 9. Решение этой задачи применительно к процессам случайных коле­ баний усложняется из-за необходимости учитывать статистиче­ скую зависимость между соседними циклами нагружения. Под­

ших значений ^может быть дбстаточно точно оценено по среднему числу выбросов за высокие уровни воздействий (см. § 9). При этом для определения функции распределения абсолютного ма­ ксимума можно воспользоваться формулой (9.15), где среднее число выбросов следует определять по (10.65). Эту формулу можно также использовать и применительно к нестационарным процессам. В этом случае ее целесообразно преобразовать следу­ ющим образом.

96

Для нестационарных процессов среднее число превышений

Среднее число максимумов процесса х (0 в единицу времени Ал,™,*, находящихся в интервале значений (х, х + Ах), при больших значениях х равно приращению за это время среднего

Следовательно, плотность распределения больших максиму­

где ? = (йшах)-1 — средний интервал времени между максимумами. А н а л и з с т р у к т у р ы п у т е м п о с т е п е н н о г о

исключаемых из рассмотрения циклов нагружения, а также нахо­ дится функция распределения амплитуд этих циклов.

При решении поставленных задач используем следующие обо­ значения: п0, «э, k0 — начальные значения соответственно сред­ него числа нулей в единицу времени, среднего числа экстремумов в единицу времени и отношения среднего числа экстремумов к среднему числу нулей случайного процесса х (t); f (x, ko) — на­ чальная плотность распределения половин приращений процесса

времени, среднее число экстремумов в единицу времени, отноше­ ние среднего числа экстремумов к среднему числу нулей, плот­ ность распределения приращений процесса между его двумя со­ седними экстремумами при исключении из него промежуточных циклов с амплитудами, меньшими или равными некоторому зна­ чению X.

Вначале исключим из заданного случайного процесса х (О промежуточные циклы с амплитудами в некотором малом диапа­ зоне O-j-Дх. Тогда, полагая, что относительное число нулей изме­ няется при этом в Аф раз менее интенсивно, чем изменяется число

где по'1 и k\ — соответственно новое значение среднего числа нулей в единицу времени и новое значение отношения среднего числа экстремумов к среднему числу нулей.

Плотность распределения'половин приращений процесса х (t) между его двумя соседними экстремумами после первого этапа исключения циклов

_ ( 0, х < 0, 0 < х < Дх;

'г * ~ I c j (х, kt), х Ss Ддг,

где Cj = ( I f (х, ki) dxj — коэффициент нормировки.

Тогда число циклов с амплитудами в интервале Дх-5-2Дх

п>== ■ ^ У > / 1 (х)Дх.

После исключения и этих циклов из исходного процесса сред­ нее число нулей в единицу времени и параметр k будут равны соответственно:

4 2>= no[ 1 - - £ - / ( * , k0) Д х - - ^ - / , ( х ) Д х ] ;

Л0) Д х - - ^ ^ ^ / 1 (х)Д х].

98

Продолжая исключать циклы со все большими значениями амплитуд, придем в пределе к следующей системе интегральных уравнений для определения закономерностей изменения числа нулей и параметра к:

Плотность распределения амплитуд циклов, которые учиты­ ваются при постепенном их исключении из заданного случайного процесса,

f (х) = с (х) k (х) п0(*) (Mo)”1/ I*. к (х) ]. (10.82)

Для случая гауссовского стационарного процесса с параме­ тром сложности структуры к решение системы уравнений (10.81)

и определение плотности распределения амплитуд (10.82) описано в § 11.

§11. Структурный анализ гауссовских процессов

Стационарные процессы. Для гауссовских стационарных про­ цессов х (0 совместная плотность распределения процесса и его первой производной / (х, х) определяется матрицей моментов (10.11). Подставив эту плотность распределения в формулу (10.65), получим следующее соотношение для определения среднего числа превышений уровня х в единицу времени:

где sx = К (0) и Si — У —К (0) — средние квадратические отклонения процесса и его первой производной; К (т) — корреля­ ционная функция процесса х (f).

Из соотношения (11.1) получим среднюю (эффективную) ча­ стоту процесса по нулям:

Аналогично можно записать выражения для определения средних частот процессов по экстремумам и точкам перегиба:

ские отклонения второй и третьей производных процесса х (t). Подставив соотношение (11.1) в (9.15), получим выражение

для функции распределения абсолютного максимума:

Совместная плотность распределения процесса и его первых двух производных / (х, к , х.) определяется матрицей моментов (10.10). Подставив эту плотность в формулу (10.40), получим плотность распределения' максимумов

— функция Лапласа.

Из соотношения (11.6) можно определить четыре первых

Используя соотношения (10.6) и (10.8), можно записать сле­ дующие выражения для матриц моментов совместных распределе­

ний второй и третьей производных / (х, х) процесса х (/), а также

100

для матриц распределения этого процесса и его второй и третьей

и (10.73), получим следующее выражение для плотности распре­ деления значений процесса х (/), соответствующих его точкам перегиба:

-Из соотношения (11.12) следует, что распределение значений процесса, соответствующих его точкам перегиба, является гауссов­ ским распределением со средним значением, равным нулю, й ди­ сперсией, изменяющейся от нуля,—для узкополосных процессов

(при k = 1), до s, — для процессов с параметром сложности струк­ туры k — со.

Аналогично можно получить выражения для распределений интервалов времени между соседними нулями, экстремумами, точками перегиба и т. п. Можно также получить соотношение для распределения размахов. Получающиеся при этом формулы мало­ пригодны для приближенных инженерных расчетов. Поэтому практический интерес представляет получение соответствующих приближенных оценок. Так, для распределений интервалов вре­ мени между нулями, экстремумами и точками перегиба можно рекомендовать распределение Релея с плотностью

где параметр распределения sT = Y 2л/% — для интервалов вре­ мени между нулями; sT = >/2л/&е — для интервалов времени между экстремумами и s, = / 2я/ю„ — для интервалов времени между точками перегиба.

101