книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Отсюда следует, что для высокого уровня воздействий, когда вероятностями двойного, тройного и большего числа превышений можно пренебречь,

где х0 (/) — корень уравнения п (х, t) = 1.

Для функции распределения абсолютного максимума получаем

Так как для рассматриваемого потока воздействий средняя частота превышений уменьшается при увеличении уровня в со­ ответствии с функцией распределения интенсивности воздей­ ствий, то для функции распределения абсолютного максимума можно записать следующее соотношение:

Другой путь упрощения вычислений функции распределения абсолютного максимума процесса нагружения заключается в за­ мене случайной величины п в формуле (9.1) на ее среднее зна­ чение:

Проведя преобразование Лапласа соотношения (9.17), получаем

1Ж0. «Г - - г ° - , ц1’ф?(,я • (9Л8)

Пусть, например, ф (0 — Р ехр (—р0- Тогда ф* (t) = р/(р + s), {п* (0, s) = p/s2; п = pt = t/I. Точность использования оценки п ~ п в соотношении (9.1) можно оценить дисперсией числа на­ гружений

где

п (п + 1)= % k ( k + l ) P ( k ) =

72

В форме преобразований по Лапласу получим

{ n (n + l), s)'= -§ -S fo p * (s) = 5 k=\

2ф* (s)

(9.21)

( S ) } a

Для получения асимптотических оценок величин п и ап при больших значениях времени нагружения t заметим, что свойства функции ф (/) при t -*■ оо определяются свойствами ее преобра­ зования по Лапласу ф* (s) при s -+■0.

Представим функцию ф* (s) в окрестности s = 0 в виде ряда Тейлора. Имеем

где о2 = {f) — (t)2 — дисперсия интервалов времени между на­ гружениями.

Вычисляя оригиналы по их преобразованиям Лапласа (9.23) и (9.24), получаем искомые асимптотические оценки для среднего числа нагружений и его дисперсии:

где 6t — коэффициент вариации интервала времени между на­ гружениями.

При 6t -► 0 и t ->■оо имеем 8П 0.

Анализ процесса накопления повреждений. Процессы нагруже­ ния сопровождаются накоплением в элементах конструкций раз-

73

личных повреждений, что в конечном счете предопределяет их долговечность. Величина повреждения зависит не только от ин­ тенсивности нагружения, но и от качества (потенциальных воз­ можностей) материалов, из которых изготовлены сами элементы конструкций. Указанные повреждения будем трактовать только как усталостные, которые зависят от уровня напряжений и проч­ ностных характеристик материалов. Полученные результаты мо­ гут быть использованы и при анализе накопления повреждений других видов.

Пусть поток статистически независимых воздействий Xi со­ провождается накоплением повреждений v{ (см. рис. 9.1, б). Тогда накопленное повреждение к некоторому моменту вре­ мени t при условии, что к этому моменту произошло п нагру­

где v, — повреждение, вызванное нагрузкой х(.

Найдем вероятностные характеристики суммы повреждений, определяемой соотношением (9.28). Плотность распределения еди­ ничного повреждения обозначим через g (v), а его преобразова­ ние по Лапласу через *g (р).

Введем в рассмотрение плотность / (vt) распределения суммы повреждений за время t и ее преобразование по Лапласу */(/?). Если за время t произошло п нагружений, то условное распреде­

Так как за время t могло произойти любое число нагружений, каждое с вероятностью Р (г), то безусловная функция распределе­ ния суммы повреждений (9.28) в форме преобразования по Лапласу будет определяться соотношением

Используя в соотношении (9.30) формулу (9.6), получаем

Представим соотношение (9.31) в форме преобразования по Ла­ пласу

Г ( Р . s) = 4 - ( l + Ё [ • * « - 1] х

<э -32)

74

В соотношении (9.32) использованы свойство суммы убываю­ щей геометрической прогрессии и формула (9.8).

Непосредственное использование соотношения (9.32) затруд­ нительно. Воспользуемся им лишь для вычисления моментов рас­ пределения суммы (9.28). Среднее накопленное повреждение в форме преобразования по Лапласу

где v — среднее значение повреждения за одно нагружение. Отсюда на основании соотношения (9.18) получим, что

Для определения второго момента распределения накопленного повреждения за время t имеем соотношение

Дисперсия накопленного к моменту времени t повреждения

где Я и On — среднее значение и дисперсия распределения числа нагружений за время t.

Аналогично могут быть вычислены и моменты более высокого порядка.

Можно показать, что распределение накопленного поврежде­ ния асимптотически нормально [121. Поэтому для наиболее важ­ ного для практики случая большого числа нагружений соотно­ шения (9.34) и (9.36) полностью решают поставленную задачу. Для этого случая, используя соотношения (9.25) и (9.26), получаем

Коэффициент вариации распределений накопленного к мо­ менту времени t повреждения

где 6t и 6V— коэффициенты вариации распределений интервалов времени между нагружениями и повреждений за одно нагруже­ ние. При t оо имеем vt -*■ оо, <rv< -*• оо, а 6Ч( -*■0.

75

Обратной к рассмотренной выше задаче является задача по

уровня. Для определенности примем этот уровень равным еди­ нице, полагая, что при накоплении повреждения этого уровня произойдет разрушение конструкции. Определяемое таким обра­

76

Величина %т+Ч(р + A,)m+1является преобразованием Лапласа выражения Km+ie~x/m\ Учитывая это, получаем

где q (Т, 1) — плотность распределения времени, при котором сумма накопленных повреждений достигнет единицы; /0 (х) — функция Бесселя мнимого аргумента порядка нуль.

В общем случае непосредственное использование формулы (9.42) связано с большими трудностями при вычислении. Но она позволяет относительно просто вычислить все моменты искомого распределения. Так, первые два момента в форме преобразования по Лапласу равны соответственно

Аналогично могут быть записаны и другие моменты распреде­ ления искомой долговечности.

Используя в формуле (9.43) соотношение (9.18), записанное применительно к плотности распределения g (х), можно получить

где п (1) — среднее число нагружений, при котором повреждение достигает предельного значения, равного единице.

Подставив в соотношение (9.45) значение п (1) из формулы

Получим теперь асимптотическую оценку закона распределе­ ния долговечности при большом числе нагружений. При линей­ ном накоплении повреждений величину последнего можно пред­ ставить линейной функцией времени (рис. 9.2)

где k — случайный параметр.

При большом числе нагружений величина повреждения v асимптотически нормальна. Поэтому параметр k также асимпто­ тически распределен по нормальному закону. Уровню поврежде­

77

V

Рис. 9.2. Рассеяние повреждения при заданном времени нагружения (а) и рас* сеяние времени при заданном повреждении v = 1 (б)

мального. Плотйость распределения этой величины можно за­ писать в следующем виде:

(9.48)

где k и о* — срёднее значение и дисперсия величины k. Из соотношения (9.47) следует, что

Таким образом, асимптотическое распределение долговечности не является нормальным, но полностью определяется двумя пер­ выми моментами интервалов времени между нагружениями и двумя первыми моментами повреждения за одно нагружение.

По распределению (9.48) определяем среднее значение и диспер­ сию асимптотического распределения долговечности:

и дисперсия распределения долговечности стремятся к бесконеч­ ности, коэффициент вариации этого распределения стремится к нулю.

Соотношения (9.49) и (9.50) могут быть также получены из следующих рассуждений. Долговечность есть сумма такого коли-

78

чества интервалов времени между нагружениями п (1), при кото­ ром накопленное повреждение достигнет предельного уровня:

Среднее значениеэтой суммы определяется соотношением (9.49). Дисперсию долговечности вычислим как сумму дисперсий величины Т, получаемых при детерминированном значении числа циклов нагружения п (1) = п (1) и детерминированных значениях

Подставляя значения полученных дисперсий в формулу (9.53), возвращаемся к соотношению (9.50).

§ 10. Случайные колебания

Математическое описание случайных колебаний. Рассмотрим непрерывные случайные процессы х (t), все значения которых статистически между собой связаны. Такие процессы называются случайными колебаниями. Указанная статистическая связь между значениями процесса описывается с помощью бесконечной после­ довательности моментных функций (рис. 10.1):

где знаком (...) показана операция вычисления среднего значе­ ния, а число п принимает все значения от 1 до оо.

Последовательность функций (10.1) характеризуется тем, что функции более высокого порядка (при увеличении числа п) не повторяют сведений, содержащихся в функциях более низкого порядка, а привносят новую дополнительную информацию о рас­ сматриваемом процессе. При п = 1 получаем среднее значение случайного процесса (х (t)), которое в дальнейшем (кроме тех случаев, где это будет указано особо) примем равным нулю. В этом случае моментная функция второго порядка определяет корре­ ляционную функцию случайного процесса х (t), которую обозна­ чим через Кх (*i, tt)-

79

” У У

x(tn)

t/)-1 Ь t

Рис. 10.1. Процесс случайных колебаний

При увеличении интервала времени между значениями слу­ чайного процесса уменьшается корреляционная связь между ними, и при т оо получим К (т) 0. Уже по одному виду кор­ реляционной функции можно судить о некоторых свойствах опи­ санного ею случайного процесса. Так, на рис. 10.2 показаны две корреляционные функции, соответствующие относительно мед­ ленно изменяющемуся случайному процессу (а) и быстро изменяю­ щемуся процессу (б). Во втором случае затухание корреляционной связи между значениями процесса происходит более интенсивно,

цесса. Нормированная корреляционная функция определяется соотношением

По аналогии с соотношением (10.2) определяются взаимные

В частности, если принять, что xt (t) = х (/), а хг (t) = х (t), получим взаимную корреляционную функцию между процессом х (t) и его первой производной i(t):

Взаимная корреляционная функция процесса х (t) и его вто­ рой производной

Кхх = (х (0) х (т)> = ^ < х (0) х (т)> = К (т).

80

Корреляционная функция первой производной от заданного процесса х (t)

=- - £ г ( х (*)х (0)> = — К (т).

Вобщем случае взаимная корреляционная функция произ­ водной порядка v и производной порядка I определяется соотно­ шением

Ограничимся рассмотрением только гауссовских процессов. Для таких процессов достаточно иметь корреляционную функцию второго порядка, определяемую (10.2). Совместное распределение любого числа его значений будет описываться многомерным гауссовским распределением [421. Гауссовским будет также совместное распределение значений процесса и всех его произ­ водных. В частности, плотность распределения процесса и его первых двух производных для п моментов времени можно записать в следующем виде: