книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Узкополосные процессы с переменным средним значением. Рассмотрим гауссовский узкополосный процесс с переменным средним о (/) (рис. 15.1). Все характеристики этого процесса, за исключением его среднего значения, со временем не изме­ няются. В этом случае за среднее значение цикла нагружения принимается соответствующее значение функции ат (t) — д ((). Соотношение (15.2) в этом случае принимает вид

t ОО

Пусть число циклов до разрушения и плотность распределения амплитуд определяются следующими соотношениями:

~2s* s*

Усталостное повреждение за время t

Рассмотрим частный случай, когда среднее напряжение про­ цесса нагружения изменяется со временем по линейному закону ат (t) = ct, где с — заданный параметр. Вводя новую перемен-

162

ную г = а — bet, приходим при вычислении v (t) к табличным интегралам от неполной гамма-функции [48]:

Ji = j Г (v, г) dz = (z — v) Г (v, г) — zve~z;

в качестве примера узкополосные гауссовские процессы с изменя­ ющейся во времени дисперсией и со средним значением о = О (рис. 15.2). В этом случае усталостное повреждение за один цикл нагружения можно вычислить по формуле (14.8), которую за­ пишем в следующем виде:,

где х = oii/(2s2).

Пусть дисперсия процесса нагружения является заданной

где ? — средний период нагружения.

Пусть дисперсия процесса нагружения изменяется во времени по линейному закону. Тогда можно принять, что х — х0 (1 + at), где а — заданный параметр нестационарности. В этом случае

где v = - j 4- 1.

Интеграл в соотношении (15.8) табличный. Используя полу­

Аналогично могут быть рассмотрены и другие виды нестационарности.

Учет многорежимности нагружения и массовости объектов. Рассмотренные соотношения для расчета усталостной долговеч­ ности конструкций относятся к одному режиму нагружения, для которого однозначно определены все его вероятностные характеристики. В действительности же эксплуатация большин­ ства конструкций характеризуется большим разнообразием режи­ мов нагружения и внешних условий. Режимы нагружения могут значительно различаться как по длительности реализации, так и по интенсивности воздействия, а набор таких режимов для данной конкретной конструкции может отличаться от набора режимов нагружения для другой аналогичной конструкции. Это обстоятельство предопределяет рассеяние (реализационное рас­ сеяние) долговечности для рассматриваемой массы однотипных конструкций. Рассмотрим способы оценки*этого рассеяния.

Пусть для данной конструкции в эксплуатации возможно всего k различных режимов нагружения. Функцию распределения вероятности события, заключающегося в том, что первый режим нагружения будет реализован пг раз, второй режим будет реали­ зован я2 раза и т. д., а всего будет зарегистрировано п = пх +

п смен режимов нагружения, обозначим через Р (п). Тогда без­ условная функция распределения вероятности события того, что

Если для каждого режима нагружения вычислена мера уста­ лостного повреждения в единицу времени v* (i = 1,2,..., k), то, вводя в рассмотрение для каждой конкретной конструкции единый расчетный режим нагружения, эквивалентный всему процессу нагружения конструкции за все время ее эксплуатации,

164

получаем расчетное значение усталостного повреждения в еди­ ницу времени

то и v также будет величиной случайной. Распределение этой величины может быть найдено как распределение функции с за­ данными случайными аргументами. Статистические моменты этой величины

и Р (я) удобно использовать полиномиальное распределение и распределение "Пуассона. Эти распределения задаются соответ­ ственно соотношениями

= 1; я = п0Т — ожидаемое число смен режимов нагружения за все время эксплуатации конструкции; я0 — интенсивность смены режимов нагружения (число смен режимов в единицу времени).

Среднее значение усталостного повреждения при общем числе я

где <xj = «i/л (щ — ожидаемое число реализаций t-го режима нагружения).

Аналогично можно вычислить моменты величины v более высо­ ких порядков. В частности, при большом значении я момент второго порядка величины v

i=k

<v2) « 2] afv2. ‘ г=1

165

§16. Расчеты при случайном нагружении

исложном напряженном состоянии

Постановка задачи. Расчеты статической прочности элементов конструкций при сложном напряженном состоянии сводятся к определению по заданным постоянным значениям компонент напряженного состояния в точке расчетного напряжения по той или иной теории прочности и сопоставлению его с опасным для конструкции напряжением. Если компоненты напряженного со­ стояния со временем изменяются и представляют, например, случайные процессы, возникают дополнительно две новые задачи: 1) определение расчетного напряжения, предопределяющего на­ копление в материале конструкции усталостных повреждений; 2) определение расположения площадки с максимальным значе­ нием накопленного усталостного повреждения.

В случае синхронного и синфазного изменения всех случайных компонент тензора напряжений расположение опасной площадки можно считать известным. Оно совпадает с расположением пло­ щадки, в которой расчетное напряжение достигает максимального значения. Остается лишь выбрать расчетное напряжение, которое является в этом случае одномерной случайной функцией времени, и применить соответствующие формулы для расчета усталостной долговечности, приведенные в §§ 13—15. Характеристики со­ противления усталости определяются в соответствии с выбранным расчетным напряжением. Если, например, за расчетное напря­

жение принимается октаэдрическое касательное напряжение, то

l/'jT

можно принять x_! = -!у - о_! « 0,7а.!. При использовании

гипотезы наибольших касательных напряжений принимается т_х = = О.бст,!.

Рассмотрим план решения поставленной задачи для случая, когда компоненты тензора напряжений изменяются во времени случайно (несинхронно и несинфазно). Ограничимся случаем плоского напряженного состояния, характеризуемого гауссов­ скими стационарными и стационарно связанными процессами изменения напряжений ах (/), ау (t) и т (t) (рис. 16.1). Эти про­ цессы различаются как по интенсивности воздействия (по диспер­ сиям), так и по частотному составу.

Выберем вначале расчетное напряжение в некоторой пло­ щадке, расположение которой характеризуется направляющими косинусами I = cos (х, v), т — cos (у, v), п = cos (г, v), где v — ось, перпендикулярная к рассматриваемой площадке (рис. 16.2).

Обозначим нормальные и касательные напряжения в этой площадке через av и TV соответственно. Эти напряжения опре­ деляются по заданным напряжениям ах, ау и т:

av = axl2 -f оут2 + 2m/т;

(16.1)

х%= (о*/ + тт)2 + (т/ + оут)2— о2-

166

X

Рис. 16.2. Напряжения в площад­ ке общего вида, определяемой нор­ малью v

Будем считать, что сопро­ тивление материала кон­ струкции усталости обуслов­

ливается наличием в площадках как касательных, так и нормаль­ ных напряжений. Тогда расчетное напряжение в некоторой рас­ сматриваемой площадке

где X — коэффициент, определяющий чувствительность материала к нормальным и касательным напряжениям.

Коэффициент

ляется только касательными напряжениями, а во втором — только нормальными.

Вероятностные характеристики расчетного случайного про­ цесса нагружения, определяемого соотношением (16.2), пол­ ностью определяются по заданным вероятностным характери­ стикам исходных процессов ах (t), о„ (t) и т (/). В частности, для расчетного процесса <тр (t) могут быть определены плотность распределения амплитуд напряжений f (о, /, т, п) и частота со (/, т, п) как функции направляющих косинусов, определяемых расположением рассматриваемой площадки. По формулам, при­ веденным в §§ 13—15, может быть вычислено накопленное к не­ которому заданному моменту времени усталостное повреждение v (/, т, п) как функция параметров I, т и п . Исследуя эту функцию как максимум, определяем расположение опасной площадки. Долговечность конструкции теперь может быть вычислена, на­

167

Рис. 16.3. Частные случаи площадок бесконечно малого эле­ мента

пример, по формуле типа (14.11), где в качестве расчетного пре­ дела выносливости принимается

Предполагается, что параметр наклона кривой усталости одинаков как при усталостных испытаниях на растяжение — сжатие, так и при испытаниях на кручение. Если эти параметры существенно различаются, необходима соответствующая коррек­ тировка расчетных зависимостей.

Приближенный расчет долговечности. Основная трудность, возникающая при реализации описанной выше методики расчета, заключается в необходимости нелинейного преобразования исход­ ных случайных процессов по формулам (16.2). Чтобы избежать таких преобразований, приходится ограничиваться анализом пло­ щадок, параллельных одной из выбранных координатных осей (рис. 16.3).

Нормальные и касательные напряжения в этих площадках можно вычислить по следующим формулам:

<*3= (1 — cos 2р);

(16.5)

тр = — Ц- sin 20;

для площадки 3

<*v = - у - (1 + cos 2у);

(16.6)

т, = - у - sin 2у.

168

Исходной информацией для расчёта обычно являются осциллографические записи деформаций, соответствующие трем выбран­ ным направлениям. При этом, например, используется прямо­ угольная розетка тензодатчиков (рис. 16.4). Тогда в результате испытаний регистрируются три случайных процесса вх (/), еу (/) и ву (t). В этом случае удобно перейти к псевдонапряжениям

дх (0 = Евх (*),

Ьу (0 = Е&у (Г),

by (t) = Еву (t).

Тогда зависимость между напряжениями и деформациями имеет вид

<3х = Т=7ТГ (°Х + рду);

169

Подставив соотношения (16.11) в (16.7), получим расчетное напряжение

где

лA -f- Вр________ С

В формуле (16.12) и далее индекс р расчетного напряжения опущен.

Трехмерный случайный процесс (d* (t), by (t), b7 (()}, реги­ стрируемый в эксперименте, полностью характеризуется следу­ ющей матрицей корреляционных и взаимных корреляционных функций:

Корреляционную функцию расчетного процесса нагружения, определяемого соотношением (16.12), можно записать в следу­

Аналогично можно записать корреляционные функции произ­ водных расчетного процесса нагружения. Для соответствующих дисперсий получаем соотношения

So — A\sx -f- B\sy -(- C\sy -J- 2A\BiKXy -I- 2A\C\Kxy “b 2B\C\Kyy\

©О— Sd/Sa\

(16.17)

©э ~~~ S{j/S<3r.'

170

Подставив соотношения (16.16) и (16.17) в формулу типа (14.8), получим усталостное повреждение v как функцию углов а, р и у в соответствии с тем, какая из трех площадок рассматривается (см. рис. 16.3). Расположение опасной площадки и расчетное усталостное повреждение определяются из условия максимума накопленного в ней усталостного повреждения

Подставив в уравнения (16.20) первое из выражений (16.16), придем к следующему соотношению для определения расположе­ ния опасной площадки:

где точками сверху обозначены производные по а, р или у в соот­ ветствии с тем, какая из трех площадок рассматривается.

Выпишем некоторые выражения для определения коэффи­ циентов, входящих в соотношение (16.21). Так, для площадок, расположение которых определяется углом а,

A l = 2(1 — ц ) + 2 (1 + (1) C0S 2 а + 2(1 + ц ) S ln 2rt;

Аналогично можно выписать и все другие коэффициенты. Рассмотрим более подробно'случай, когда X — 2, т. е. случай,

когда накопление усталостных повреждений обусловлено только касательными напряжениями. Из соотношения (16.22) имеем для этого случая

171