книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

где р — параметр.

Для этого случая имеем следующую систему уравнений для

Рассмотрим случай, когда функция /2 (х) описывается соотно­ шением (17.5), а распределение амплитуд подчиняется закону Релея с плотностью

(17.7)

Этот случай распределения амплитуд соответствует гауссов­ скому стационарному процессу нагружения.

Подставив (17.5) и (17.7) в формулы (17.3) и (17.4), получим

Таким образом, получим систему двух уравнений для опреде­ ления двух неизвестных N0 и а.

Описанная выше методика оценки нагруженности конструкций может быть использована для полигонных и стендовых ресурсных испытаний. Таким испытаниям подвергаются практически все модели металлоконструкций транспортных машин типа автомо­ билей и тракторов 134, 45]. Число нагружений регистрируется либо в виде числа переездов препятствий на полигонах, либо

ввиде часов работы на стендах. Использование мультипликаторов

вэтих случаях становится излишним. Непосредственно из урав­ нений (17.6) или (17.8) при заданном значении N0 определяется параметр распределения амплитуд напряжений а, по которому можно сделать сравнительную оценку долговечности испытыва­ емых конструкций.

182

§ 18. Эквивалентность процессов нагружения и ускоренные ресурсные испытания конструкций

Основная задача, возникающая при проведении ресурсных испытаний конструкций, заключается в воспроизведении на испы­ тательных стендах и полигонах таких нагрузок, которые были бы в определенной степени эквивалентны по своему воздействию реальным эксплуатационным нагрузкам. Точное копирование всего спектра эксплуатационных. нагрузок не всегда целесооб­ разно, так как длительность испытаний может оказаться чрез­ мерной. Кроме того, техническая реализация такого нагружения затруднительна. Более целесообразно проводить ускоренные ре­ сурсные испытания с некоторым форсированием интенсивности

и(или) частоты воздействий. Стендовые ускоренные испытания конструкций производятся обычно в условиях детерминирован­ ного нагружения, тогда как реальная эксплуатационная нагруженность этих конструкций более адекватно описывается раз­ личными моделями случайных процессов. В этом случае возни­ кает задача об установлении эквивалентности детерминированного

ислучайного нагружений и соответствующего коэффициента

перехода.

Аналогичная задача возникает и в том случае, когда стендовые или полигонные испытания производятся с воспроизведением случайных процессов нагружения. Технические возможности таких испытаний все время совершенствуются. Однако необхо­ димо уметь пересчитывать повреждающие воздействия, обуслов­ ленные различными моделями случайных процессов. Особый интерес представляет возможность пересчета результатов испыта­ ний с узкополосных режимов нагружения на широкополосные случайные процессы нагружения сложной структуры.

Рассмотрим два различных по структуре процесса нагружения a (i), которые представлены на рис. 18.1. Процесс а является случайным процессом со сложной структурой (в этом процессе число экстремумов намного превышает число пересечений нуле­ вого уровня), а процесс б — детерминированный процесс гармо­ нических колебаний. Требуется установить амплитуду ад и ча­ стоту пэ процесса б, при которых он будет приводить к устало­ стным повреждениям, равным усталостным повреждениям, на­ капливаемым при нагружении процессом а. Определенный таким образом процесс б будем называть эквивалентным процессу а.

Основная трудность, возникающая при решении поставленной задачи, заключается в том, что понятие цикла нагружения для процесса а однозначно не определяется, тогда как для процесса б это понятие определяется вполне однозначно. Амплитуда цикла нагружения в таком процессе является величиной случайной. Различные методы приведения процесса а к случайному процессу

183

распределений амплитуд и частот эквивалентного случайного процесса (см. § 14) и, следовательно, приводят к различным оценкам величин <хэ и пэ.

Другая трудность заключается в том, что накопленные к не­ которому моменту времени t усталостные повреждения при слу­ чайных процессах нагружения в силу реализационного рассеяния являются величинами случайными, тогда как для детерминиро­ ванного процесса эта величина будет детерминированной.

Из всех известных методов приведения случайного процесса сложной структуры к процессу простой структуры выбирается такой метод приведения, который наиболее согласуется с име­ ющимися экспериментальными данными, например, метод полных циклов, описанный в § 14.

Возможность сравнения случайных и детерминированных ве­ личин накопленных усталостных повреждений определяется мерой рассеяния первых из них. Анализ показывает, что при относи­ тельно больших числах циклов нагружения (как это всегда имеет место при расчетах на усталость) реализационным рассеянием накопленного усталостного повреждения можно пренебречь. Тогда действительное усталостное повреждение при случайном процессе нагружения можно заменить ее средним значением и считать величиной детерминированной.

Используя линейную гипотезу накопления усталостных по­ вреждений и высказанные соображения, можно записать следу­ ющее условие эквивалентности процессов а и б, представленных на рис. 18.1:

00

(18.1)

О

где / (а) — плотность распределения амплитуд напряжений при выбранном методе приведения заданного процесса нагружения к процессу простой структуры; N (а) — число циклов нагружения до разрушения при амплитуде напряжений а; п0 — частота за­ данного процесса нагружения; сгэ и пь — соответственно ампли­

184

туда и частота эквивалентного гармонического процесса нагру­ жения.

Решением уравнения (18.1) определяется (при выбранной час­ тоте нагружения пэ) эквивалентная амплитуда напряжений аэ.

Примем, что кривая усталости описывается уравнением (1.2), а плотность распределения амплитуд напряжений задается соот­ ношением (11.33), которое соответствует методу полных циклов.

Подставив соотношения (1.2) и (11.33). в уравнение (18.1), получим соотношение для определения амплитуды эквивалент­ ного процесса нагружения:

где a, a* и с— величины, определяемые по заданному значению параметра k (см. табл. 11.1).

между двумя различными случайными процессами и об определе­ нии коэффициента ускорения испытаний, который соответствует переходу от одного процесса нагружения к другому. Рассматри-

185

ваемые процессы нагружения <хх (t) и а2 (t) будем характеризовать плотностями распределения амплитуд напряжений Д (а) и Д (а),

эффективными частотами п\ и л2 и дисперсиями sj и S2.

Исходя из линейной гипотезы накопления усталостных по­ вреждений, можно записать следующее условие эквивалентности процессов <тх (t) и а2 (t):

Рассмотрим частный случай. Пусть эксплуатационный процесс нагружения <тх (t) является случайным процессом со сложной структурой, а процесс о2 (/), воспроизводимый на испытательном стенде, — узкополосным гауссовским процессом. Используя со­ отношения (11.33) и (14.2) в формуле (18.5), получаем следующие уравнения для определения стандарта эквивалентного узкополос­ ного процесса

n1S j,fc~ma ~(m+2) |г [ - J - + 1, * V OL,/(2S?)] -

- r ( - 5 f - + l . k W j ( 2s b ) + i - T ( ^ + h k W j ( 2 s b ) } =

186

Когда процессы (t) и а2 (() не являются эквивалентными, коэффициент перехода (коэффициент ускорения испытаний) от процесса ах (t) к процессу cra (t)

Приведенные фыше соотношения позволяют легко получить окончательное выражение для определения коэффициента К- Возможность пересчета величин накопленных усталостных повреждений, соответствующих различным по интенсивностям воздействия процессам нагружения, позволяет проводить уско­ ренные ресурсные испытания металлоконструкций на специальных стендах и полигонах и использовать их результаты для оценки

ресурса.

Режим испытаний будем характеризовать вектором состояния \с = [си сг, ..., cft], где параметры си сг, ..., ск отождествляются с выбранными при испытаниях скоростью движения, высотами установленных препятствий, расстояниями между ними и т. п. (k — число параметров режима испытаний; т — индекс, означаю­ щий операцию транспортирования матрицы).

Режим испытаний назначают по результатам эксплуатацион­ ных исследований. Пусть в результате таких исследований в N характерных точках конструкции зарегистрированы процессы изменения во времени напряжений at (t), t = 1, 2, .... N и вы­ числены соответствующие меры накопления усталостных повре­ ждений у( (t). Усталостное повреждение в единицу времени в точке i обозначим через vt.

Пусть при проведении испытаний требуется выбрать такой режим нагружения, при котором усталостное повреждение щ в некоторой t-й точке конструкции было бы в Ki раз большим, чем при эксплуатационном режиме нагружения, т. е. так, чтобы выполнялись равенства щ = КiY« (коэффициенты ускорения испы­

отличаться от эксплуатационных мер повреждения Задача может, например, заключаться в установлении таких оптималь­ ных значений параметров ch (h = 1,2,..., k); при которых ошибка в определении накопленных усталостных повреждений в иссле­ дуемой конструкции была бы наименьшей. Критерий оптималь­ ности в этом случае можно записать в виде

где /1 (...)— функция, характеризующая степень отличия про­ цессов накопления усталостных повреждений в исследуемой кон­

187

струкции при эксплуатационных и стендовых (или полигонных) испытаниях.

Соотношение (18.9) можно, например, представить в виде

шенную сумму квадратов или взвешенную сумму абсолютных отклонений величин накопленных усталостных повреждений в не­ которых N точках конструкции при стендовых и эксплуатацион­ ных режимах испытаний) не является единственно возможным. В основу выбора оптимальных режимов ускоренных испытаний могут быть положены также и другие требования. Можно было бы, например, потребовать, чтобы накопление усталостных повре­

а в других точках оно мало бы отличалось от накопления повре­ ждений при эксплуатационных режимах испытания, т. е. можно было бы выбрать критерий оптимальности в следующем виде:

шах р*;

Можно было бы также потребовать, например, чтобы стоимость испытаний при заданной их точности была минимальной ( / 3 = = min). Описанные и подобные им критерии качества режимов испытаний противоречивы. Так, на рис. 18.5 схематично показан случай, когда режим с является оптимальным по критерию мини­

ускорении испытаний. Однако, если критерии оптимальности противоречивы, то появляется неопределенность в выборе цели

188

Рис. 18.5. К выбору оптимального режима испытаний:

— скорости накопления усталостных по­

где R — число частных критериев оптимизации; Я,- — значимость (вес) /-го критерия.

Скалярное объединение противоречивых критериев в единый критерий качества редко приводит к результатам, удовлетворяю­ щим исследователя. Поэтому появились методы векторной опти­ мизации, когда противоречивые критерии объединяются в единый критерий на векторной основе [2, 30].

Описанные задачи оптимизации являются типичными для задач математического программирования. Решить их можно с помощью хорошо разработанных стандартных методов, если для системы стенд — объект испытания будут предварительно определены

функции |4С) = р1с) (сь с2, .... с*), называемые функциями отклика системы. Отыскание этих функций можно свести к определению конечного числа неизвестных параметров, если считать, что вид этих функций известен с точностью до этих параметров, т. е. если

<Хц, Оц, ■■■, aim.; mi — число параметров при анализе i-ro места конструкции.

Для определения этих параметров необходимо провести экспе­ римент по определенному плану, т. е. предварительно выбрать

некоторые сочетания параметров су*, с2 , ..., с*'* (спектр плана эксперимента) и определить соответствующие значения р*/* (t =

раз, то план эксперимента можно представить следующей сово­ купностью величин:

Е О = Р,

/=i

где Р — число всех проведенных экспериментов.

189

Ограничимся рассмотрением одной из функций для слу­ чая, когда ее можно представить в виде линейного соотношения по искомым параметрам

где ат— [av Оъ.......ат ] — искомый вектор параметров функции отклика; / г (с) = [Д (с), /а (с), ..., /т (с)] — известная векторфункция, выбираемая на основании имеющихся априорных дан­ ных (индекс i опущен).

Пусть при испытаниях по плану (18.16) зарегистрированы зна­ чения функции отклика с точностью, определяемой дисперсиями

отклика о], и с повторностью соответствующего эксперимента г,-, где / = 1, 2.......я.

Оценки й для параметров а определим из условия минимума

с тем, что значимость каждого эксперимента прямо пропорцио­ нальна их повторности и обратно пропорциональна их точности. В случае, когда все эксперименты равноточны и их повторность одинакова, принимается, что %j = 1.

Дифференцируя соотношение (18.18) по некоторому параметру

Раскрывая скобки, с учетом, что вт/ (с) = f r(c) а, получим

190

Описанный выше алгоритм решения поставленной задачи соот­ ветствует случаю, когда план эксперимента предварительно выб­ ран. Однако произвольно выбранный план проведения экспери­ мента может оказаться не наилучшим из всех возможных, т. е. указанная ошибка будет не наименьшей по отношению ко всем возможным планам. Возникает задача сравнения различных пла­ нов проведения экспериментов и выбора наилучшего из них (опти­ мального плана).

Такое сравнение можно произвести по дисперсионной мат{Тице оценок параметров функции отклика (18.24) или по некоторой комбинации из ее элементов. Например, можно считать план эксперимента Ех с дисперсионной матрицей Dx предпочтительнее

Сравнение планов проведения экспериментов может быть также выполнено по полученным оценкам функции отклика: поскольку параметр р функционально связан со случайной вели­ чиной а, можно вычислить соответствующие вероятностные ха­ рактеристики величины р. В частности, дисперсия р вычисляется по следующей формуле теории вероятности:

Величина [dp (с) 1 называется коридором ошибок.

На основании соотношения (18.25) можно сформулировать сле­ дующие критерии предпочтительности планов «проведения экспе­ риментов. Эксперимент Ех )> £ а, если

где Q — область определения вектора с.

Наименование планов проведения экспериментов дается в соот­ ветствии с тем, какой из критериев оптимальности при этом вы­ бирается. Так, планы, минимизирующие величину определителя |D(£)|, называются D-оптимальными, планы, минимизирующие

max dp (с, £) — минимаксными, планы, минимизирующие сред-

С

нюю нормированную дисперсию m~1SpD(E), — А -оптимальными,

191