книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

сопротивления усталости меньше единицы, и циклическая долго­ вечность конструкции будет ограничена. При симметричных цик­ лах нагружения долговечность, измеренную в циклах нагруже­ ния, в соответствии с соотношениями (1.2) и (1.15) можно опреде­ лить по коэффициенту запаса сопротивления усталости

Полагая, что таким же свойством будет обладать коэффициент запаса и при несимметричном нагружении, получим следующее соотношение:

Указанные в (1.17) ограничения на значения оа и от опреде­ ляются из условия, что точки с координатами {ов, ото), характе­ ризующие заданный режим нагружения, находятся в заштрихо­ ванной на рис. 1.4 области; считается также, что величины о_те, Од и от. сж являются отрицательными. Если циклы нагружения характеризуются точками, находящимися вне диаграммы предель­ ных амплитуд, то для таких циклов в первом приближении можно принять, что N = I. Если такие точки находятся вне заштрихо­ ванной области внутри диаграммы предельных амплитуд, то N =

=00.

Соотношение (1.17) представляет собой уравнение поверхности усталости N = N (оа, ого), которая показана на рис. 1.6. Эго со­ отношение позволяет также записать следующие выражения для

12

определения эквивалентных напряжений, при которых несим­ метричные циклы нагружения приводятся к эквивалентным сим­ метричным циклам:

(1.18)

где первое и второе выражения используются в соответствии с ограничениями из соотношения (1.17).

Описанные характеристики сопротивления металлов устало­ сти относятся к случаю относительно большого числа циклов нагружения и малых уровней напряжений по сравнению со зна­ чением предела прочности. Охват всего диапазона возможных значений действующих напряжений требует дополнительной экс­ периментальной информации, а необходимость решения этой задачи обусловлена тем, что в случайных процессах нагружения (которые рассматриваются в данной работе) не исключается появ­ ление редких, но больших значений напряжений, превышающих предел текучести и предел прочности матер^аодконструкции. Для учета этого обстоятельства заметим, что уравнение кривой усталости (1.2) при напряжениях, превышающих предел проч­ ности, теряет смысл, а при напряжениях, превышающих предел текучести, требует уточнения, так как в этом случае изменяется сам механизм разрушения: из области многоци](ДС|рр.й усталости он переходит в область малоцикловой усталости.

Считается, что в рассматриваемых случайных процессах на­ гружения действующие напряжения в основном соответствуют области многоцикловой усталости и только незначительное число циклов нагружения имеют напряжения, превышающие предел текучести. В этом случае нецелесообразно описывать весь слож­ ный механизм малоцикловой усталости и достаточно распростра­ нить схематизацию кривых и поверхностей усталости в область напряжений, превышающих предел текучести. Можно принять, что при а ов число циклов до разрушения N = 1, а в диапа­ зоне напряжений <тв > а > отэто число описывается степенным уравнением типа уравнения (1.2). Тогда полное уравнение кри­

Кривая усталости, описанная уравнением (1.19), представ­ лена в двойных логарифмических координатах на рис. 1.7. В со-

13

ответствии с уравнением (1.19) могут быть уточнены полученные выше диаграммы предельных амплитуд и поверхности усталости. На рис. 1.8 представлена полная диаграмма предельных амплитуд для случая, когда предел прочности при сжатии принимается бесконечно бродшим.

При экспериментальном определении кривых и поверхностей усталости обнаруживается статистическое рассеяние получае­ мых данных. Так, на рис. 1.9 схематично показано рассеяние зна­ чений чисел циклов нагружения до разрушения, фиксируемое на различных уровнях напряжений. Можно систематизировать экс­ периментальные данные также так, что фиксированным значе­ ниям чисел циклов до разрушения N будут соответствовать раз­ личные уровни напряжений а. На рис. 1.10 показано соответст­ вующее этому случаю рассеяние значений напряжений.

Полное вероятностное описание экспериментальных данных при построении кривых усталости осуществляется с помощью

Рис. 1.9. Рассеяние долговечности на различных уровнях напряжений

14

Рис. 1.10. Рассеяние напряжений, соответствующих различным значениям долговечности

= о0 (N), при напряжениях ниже которого число циклов до раз­ рушения будет всегда выше этого значения N. Этот эксперимен­ тальный факт можно интерпретировать также так, что каждому значению напряжения а соответствует гарантированное значение числа циклов до разрушения N0 = N0 (о), при числе циклов на­ гружения меньше которого разрушения никогда не происходит. Фиксируя некоторое значение напряжений (о = const) или числа циклов (N = const), получим условные функции распределе­ ния F (N/a) и F (o/N). Соответствующие им плотности распреде­ лений / (N) и / (а) показаны на рис. 1.9 и 1.10.

Аналитический вид функции распределения F (N, о) может быть различным, но наибольшее теоретическое обоснование для нее имеет следующее выражение:

16

этим вероятностям кривые усталости (рис. 1.11). При этом экс­ периментальные данные целесообразно представлять таким об­ разом, чтобы случайным оставался бы только один параметр — предел выносливости соответствующий выбранной базе ис­ пытаний N0. В двойных логарифмических координатах кривая усталости для этого случая показана на рис. 1.12.

§ 2. Закономерности накопления усталостных повреждений

Для проведения расчетов на циклическую долговечность при переменных нагрузках, помимо характеристик сопротивления усталости материалов, представленных в виде кривых и поверх­ ностей усталости, необходима также информация о закономерно­ стях накопления усталостных повреждений по мере увеличения числа циклов нагружения. Считается, что мера усталостного по­ вреждения v равна нулю для начального состояния материала и равна единице для момента появления заметной усталостной трещины. Ее появление означает, что процесс разрушения пере­ ходит из стадии накопления собственно усталостных повреждений (из инкубационной стадии) в стадию роста усталостной трещины. Задача заключается в получении зависимости v = v (о, п), где а — уровень амплитуд напряжений, устанавливаемый при испытаниях постоянным; п — число циклов нагружения (рис. 2.1). Когда эта зависимость в координатах tv, n/N (о) ], где N (о) — число циклов до разрушения при уровне напряжений о, описывается одним и тем же уравнением и не зависит явно от уровня напряжений о, процесс накопления усталостных повреждений называется авто­ модельным [4]. Такой процесс показан на рис. 2.2. Так, в случае степенного закона накопления усталостных повреждений

Рис. 2.1. Кривая усталости (а) и про­ цессы накопления повреждений (б) при различных уровнях амплитуд на­ пряжений '

Рис. 2.2. Автомодельный процесс на­ копления усталостных повреждений

16

при параметре р const процесс накопления повреждений бу­ дет автомодельным, а при параметре р, зависящем от уровня напряжений р р (а), он не будет обладать этим свойством.

При р 1 получаем линейный закон накопления усталостных повреждений:

Для проведения расчетов циклической долговечности при пере­ менных нагрузках закономерности накопления усталостных по­ вреждений удобно представлять в виде кинетических уравнений, связывающих скорости накопления усталостных повреждений от уже накопленного к данному моменту времени усталостного по­ вреждения и от уровня амплитуд напряжений:

Интегрируя уравнение (2.3) по v от 0 до 1 и по п от 0 до определим искомую долговечность N*> измеренную в числах цик­ лов нагружения.

Простой результат получается в том случае, когда правая часть уравнения (2.3) может быть представлена в виде произведе­ ния двух функций, одна из которых зависит только от усталост­ ного повреждения v, а другая — только от уровня напряжений а:

где v — производная по числу циклов нагружения. В этом слу­ чае условие разрушения принимает следующий вид:

1 л,

Поскольку при а — const долговечность N+ — N (о), а функ­ ция /2 (°) = 1/W (а), то из соотношения (2.5) следует, что функ­ ция (v) должна быть нормирована таким образом, чтобы ин­ тегралы в соотношении (2.5) были равны единице. При этом усло­ вие разрушения (2.5) принимает вид

2 Гусев А. С.

уровне напряжений at; k — число ступеней процесса нагружения. При нелинейном законе накопления усталостных повреждений величина 1/N уже не является непосредственно мерой усталост­ ного повреждения за один цикл нагружения, и соотношения (2.6) и (2.7) имеют в этом случае смысл правила линейного суммиро­ вания относительных долговечностей. Из соотношений (2.4) и (2.5) так&е следует, что для рассматриваемого случая условие автомодельности процесса накопления усталостных повреждений также выполняется. Таким образом, для нелинейных законов ' накопления усталостных повреждений, обладающих свойством автомодельности, так же как и для линейного закона накопле­

ния усталостных повреждений, справедливо правило линейного суммирования относительных долговечностей.

В случае степенного закона накопления усталостных повреж­

Если процесс нагружения состоит только из одного первого этапа нагружения, то из условия vx = 1 получаем постоянное значе­ ние долговечности лх — Ni при любом значении параметра рх, т. е. параметр нелинейности рх не влияет на условие разрушения при постоянном уровне амплитуд воздействий.

18

Если процесс нагружения состоит из двух этапов, то к концу второго этапа нагружения усталостное повреждение можно также определить из дифференциального уравнения (2.9). Про­ интегрировав его, получим

Использовав в соотношении (2.11) выражение (2.10), получим формулу для определения усталостного повреждения за (ttx -f л2) циклов нагружения

< 2 1 2 >

Условие разрушения для рассматриваемого случая прини­ мает следующий вид:

Условие разрушения (2.13) зависит не от абсолютных значе­ ний параметров нелинейности рх и р2, а только от их отношения. Кроме того, при р2 = р2, т. е- в случае, когда параметр нелиней­ ности не зависит от уровня напряжений, условие разрушения при­ нимает вид, характерный для линейного закона накопления уста­ лостных повреждений, выраженный соотношениями (2.2) и (2.7).

Если изменить порядок приложения нагрузок и вначале соз­ дать напряжение о2, а затем напряжение аи то накопленное по­ вреждение

В этом случае условие разрушения примет вид

При pi = щ соотношения (2.12) и (2.14) совпадают, и для этого случая накопленное усталостное повреждение не зависит от порядка приложения нагрузок (от истории нагружения). Иллюстрирует этот вывод рис. 2.4, на котором приведена картина накопления повреждений (а и б) при двух режимах нагружения (в и г), отличающихся порядком приложения нагрузок. Принято, что при а, и ог р = 2.

В обоих случаях точка А, характеризующая окончание про­ цесса накопления повреждений, соответствует одному и тому же

Рис. 2.4. Процессы накопления усталостных повреждений (а и б) при постоян­

Расположение точки А , соответствующее окончанию процесса накопления усталостных повреждений, зависит от порядка при­ ложения нагрузок. Если вначале приложено напряжение аи а затем напряжение <т2, то ресурс конструкции исчерпывается полностью (см. рис. 2.5, а). Если же вначале приложено напря­ жение о2, а затем напряжение о1( то накопленное усталостное по­ вреждение не превышает 50 % (см. рис. 2.5, б) предельно допусти­ мого.

Аналогично соотношениям (2.12) и (2.13) получим выражения для определения накопленного усталостного повреждения за k блоков нагружения и условие разрушения при таком нагруже­ нии:

При и = p-г = ••• = Рл из соотношения (2.16) получим ли­ нейный закон накопления усталостных повреждений, а из соот-

V

4*

Рис. 2.5. Процессы накопления усталостных повреждений при параметре не­ линейности, зависящем от уровня напряжений:

/ — Q = at при щ = 2; 2 — а = а2 при р2 = 3; 3 — режим нагружения в (см. рис. 2.4); 4 — режим нагружения г (см. рис. 2.4)

20

ношения (2.17) — условие разрушения, по форме совпадающее с уравнением (2.7). Отсюда следует, что линейная форма условия разрушения (2.7) еще не означает, что оно применимо только при линейном накоплении повреждений. Соотношение (2.7) можно также использовать и при нелинейном накоплении усталостных повреждений, если только параметр р не зависит от уровня на­ пряжений о.

Отношения Pft/pft+i (k = 1, 2, 3, ...) зависят от уровня напря­ жений и порядка их приложения. Так, отношение pi/щ есть функ­

При изменении порядка приложения нагрузок получим вме­ сто а

Экспериментальное определение зависимостей (2.18) и (2.19) может быть выполнено при двухуровневых испытаниях, прово­ димых, например, по схеме, показанной на рис. 2.4, в. В этом слу­ чае из условия разрушения (2.13)

Пока не имеется достаточных экспериментальных данных о действительных значениях функций а, которые можно было бы использовать на практике. Поэтому экспериментальное опреде­ ление этой функции остается актуальной задачей при исследова­ нии усталостной долговечности конструкций.

Помимо расчетов на долговечность, истинные закономерности накопления усталостных повреждений по мере нагружения могут быть эффективно использованы еще и при разработке методик ускоренных ресурсных испытаний конструкций и построении для них кривых и поверхностей усталости. Пусть, например, тре­ буется оценить число циклов до разрушения на уровне напря­ жений о1( когда этот уровень относительно низок, а число Nx настолько велико (рис. 2.6, а), что довести испытание на этом

Ряс. 2.6. К обоснованию методики ускоренных испытаний

21