книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Г л а в а 4

Расчеты на сопротивление усталости при случайных нагрузках

§13. Расчеты при дискретных потоках случайных нагрузок

Расчеты на сопротивление усталости при дискретных потоках случайных нагрузок (рис. 13.1, а) основаны на результатах ма­ тематического описания и анализа таких воздействий (см. § 9) и на информации о прочностных свойствах материалов (см. § 1). Разрушение конструкции при случайных нагрузках может про­ изойти либо в момент достижения процессом нагружения at = ot (i = 1, 2, 3, ...) опасного уровня напряжений <т*, либо при на­ копленном усталостном повреждении, достигающем опасного зна­ чения v* = 1 (рис. 13.1, б). Под разрушением в этом случае по­ нимается либо появление в конструкции недопустимой по вели­ чине пластической деформации (тогда а„ = от, где <гт — предел текучести), либо появление магистральной усталостной трещины. Методы расчета элементов конструкций с учетом роста уста­ лостных трещин рассматриваются в гл. 5.

Прочностная надежность конструкции при заданном времени t нагружения оценивается вероятностью непревышения процессом нагружения a (f) уровня <т* и вероятностью непревышения про­ цессом накопления усталостных повреждений v (t) уровня v*. Может быть также поставлена задача по определению времени Т (см. рис. 13.1), которое соответствует моментам первого дости­ жения процессом о (/) уровня сг* или процессом v(t) — уровня v*.

Вероятность непревышения процессом a (t) уровня о* за время t может быть вычислена по формулам (9.9), (9.13) и (9.16), в которых вместо произвольного уровня воздействий х следует подставить напряжение сг*.

При стационарных процессах нагружения наиболее эффек­ тивную оценку для этой вероятности дает формула (9.16), кото­ рую можно записать в следующем виде:

132

где Н (0 — надежность конструкции за время t (вероятность не­ разрушения); ? — средний интервал времени между нагруже­ ниями; F (а) — функция распределения действующих напряже­ ний; <х* — опасный уровень напряжений; — корень уравнения

M l - F (**)] = ?.

Функция распределения времени, соответствующего моменту первого достижения процессом о (/) уровня а*,

На рис. 13.2 представлено качественное решение задачи о рас­ чете вероятности неразрушения, определяемое соотношениями (13.1) и (13.2). Использование в расчетах более точных соотно­ шений (9.9) и (9.13) не изменяет характер приведенного решения и дает заметное отклонение в численных оценках только при отно­ сительно малых уровнях надежности.

Рассмотрим задачу о расчете усталостной долговечности. Полагая, что форма импульса нагружения несущественно влияет на процесс накопления усталостных повреждений, переходим от заданного импульсного потока воздействий (рис. 13.3, а) к потоку гармонических циклов нагружения (рис. 13.3, б), характеризуе­ мых амплитудами оа1 и средними значениями от( = oat. Экви­ валентное напряжение цикла <r9i = oai (1 + ф), где ф — коэф-

133

числе циклов нагружения подобный расчет может быть выполнен только путем моделирования процессов нагружения и накоп­ ления повреждений на ЭВМ.

где Nt — число циклов до разрушения при уровне напряжений at; vfc — усталостное повреждение за k нагружений.

Выполнив усреднение, получим

< , з -4 )

где чертой сверху и знаком (...) показаны операции вычисления среднего значения.

Вероятностные свойства суммы, входящей в соотношение (13.4), описаны в § 9. Эта сумма при большом числе нагружений распределена по нормальному закону со средним значением и дисперсией, определяемыми по формулам (9.37) и (9.38). Если

х = 2 l 7r ,TO величина vh будет иметь распределение, совпада­ ющее с распределением функции у = х», где х — нормально

134

распределенная случайная величина со средним значением х

и дисперсией si.

При большом числе нагружений

то число циклов до разрушения k определяется из уравнения

где ? — средний интервал времени между нагружениями.

При р. = 1 приходим к линейным процессам накопления уста­ лостных повреждений, описанным в § 9. Основной результат про­ веденного анализа выражен соотношениями (9.32) и (9.42), кото­ рые позволяют определить функцию распределения величины накопленного усталостного повреждения к любому моменту на­ гружения и вычислить функцию распределения усталостной долговечности. Поскольку число циклов до разрушения относи­ тельно велико, то с достаточной для практики точностью расчет накопленного усталостного повреждения и долговечности кон­ струкции может быть выполнен по соответствующим асимптотиче­ ским формулам (9.37), (9.38), (9.49) и (9.50). Исходными данными для такого расчета являются среднее значение усталостного по­ вреждения за один цикл нагружения и его второй момент распре­ деления:

где N (о) — число циклов до разрушения на уровне напряжений о, определяемое по уравнению кривой усталости (см. § 1); / (а) — плотность распределения действующих напряжений. Под напря­ жением о понимается его эквивалентное значение, учитывающее асимметрию циклов нагружения.

135

Конкретный вид расчетных соотношений зависит от принятых выражений для плотности распределения напряжений f (о) и для уравнения кривой усталости N = N (о).

Пусть распределение амплитуд эквивалентных напряжений подчиняется экспоненциальному закону распределения с плот­ ностью

00

Г (п) = j xn~le~x dx — гамма-функция,

о

Дисперсия усталостного повреждения за один цикл нагруже­ ния

График функции (13.15) представлен на рис. 13.4. Подставив (13.12) и (13.15) в формулы (9.49) и (9.51), получим

следующие выражения для определения среднего значения и коэф­ фициента вариации распределения усталостной долговечности (без учета рассеяния интервала времени между нагружениями):

где ? — интервал времени между нагружениями; п — число на­ гружений.

На рис. 13.5 представлены графики функции (13.17) при раз­ личных значениях параметра т. При увеличении числа нагру­ жений коэффициент вариации распределения долговечности резко падает, и при малых значениях параметра т реализационным

136

*7>%

ставив (1.2) и (13.10) в формулы (13.8) и (13.9), получим следу­ ющие выражения для определения первых двух Моментов распре­ деления долговечности:

00

где Г (л, a) = J xn~le~xdx — неполная гамма-функция.

a

Дисперсия и коэффициент вариации распределения усталост­ ного повреждения за один цикл нагружения соответственно будут равны:

$v = (a/a_i)2m Щ2[Г (2m + 1, a_i/a) — Г2(т + 1, a_i/a)];

(13.20)

6V= у Т (2 т~ 4 Т 7 ^ 7 б )Д ,27'й-+ 1 7 ^ !л 7 ^ Г ~ ^ (13.21)

Для вычисления неполной гаммы-функции целесообразно вос­

получим следующие выражения для определения среднего зна­ чения и коэффициента вариации распределения усталостной дол­

137

говечности (без учета рассеяния интервала времени между нагру­ жениями):

уW

(<r)m Г (/и + 1, a_Ja) ’

&т = b v /y fiit

где п — число нагружений за время Т; бу определяется по (13.21). Аналогично проводятся расчеты долговечности и при других законах распределения действующих напряжений и уравнений

кривых усталости.

Так, для случая, когда кривая усталости описывается уравне­ нием (1.2), а распределение амплитуд напряжений подчиняется закону Вейбулла с плотностью

/ (о) = оф<ха-1 ехр [—Роа) 0< а < оо

( а и р — параметры) ожидаемая долговечность

Г [“ -+ »; ро?,] ’

Для практики интересен случай, когда распределение ампли­ туд напряжений описывается логарифмически нормальным зако­ ном. Плотность вероятности этого распределения

где s и а — параметры распределения, определяемые по величине среднего значения амплитуд напряжений о и их дисперсии D {а} по формулам:

s2= 1 + D (а}/(ст)2;

а = In д — sa/2.

Если распределение амплитуд напряжений описывается ло­ гарифмически нормальным законом, а кривая усталости уравне­ нием (1.2), то ожидаемая долговечность

т = ______________ _____________________

,„р (“ + т - ) [ | - ф( 7 7 Г - # ) ] ’

где

и = In <т_1 — а;

138

Если кривая усталости описывается уравнением (13.11), то ожидаемая долговечность

Т = С? I exp (am — — .

Рассмотрим случай описания распределения амплитуд напря­ жений с помощью обобщенного трехпараметрического гаммараспределения с плотностью

ние (13.10).

Подставив соотношение (13.22) в формулу (13.8) и приняв для описания кривой усталости уравнение (1.2), получим

тГ (у/ос) Г /а

г( ^ . К?,)’

Описанная выше методика расчета ресурса конструкций при случайных потоках нагрузок основана на предположении о не­ изменности предела выносливости, который во все время нагру­ жения остается на уровне своего первоначального значения. Такое предположение равносильно тому, что наклонный участок кривой усталости по мере накопления усталостных повреждений сдвигается влево, оставаясь параллельным своему первоначаль­ ному расположению, а предел выносливости не изменяется (рис. 13.6, а). Однако в действительности (как это следует из многочисленных экспериментальных исследований) по мере на­ копления усталостных повреждений предел выносливости по­ степенно понижается (рис. 13.6, б). Для учета этого изменения рекомендуется заменять истинное его значение на расчетную ве­ личину, равную 0,5—0,7 первоначального значения предела' вы­ носливости. Вместе с тем уровень снижения предела выносливости

139

Рис. 13.6. Изменение кривых усталости по мере накопления в материале уста­ лостных повреждений:

а — при <7^ = const; б — при изменении предела выносливости

зависит от спектра нагрузок: чем большая часть этого спектра находится выше предела выносливости, тем больше следует сни­ жать его расчетное значение. Для получения конкретных рекомен­ даций по такому снижению предела выносливости необходимо полное решение задачи о расчете ресурса конструкции с учетом постепенного его снижения. Предварительно необходимо выявить саму закономерность этого снижения. Однако прямое эксперимен­ тальное выявление закономерности изменения предела выносли­ вости по мере накопления усталостного повреждения для кон­ кретных материалов и конструкций связано с почти непреодоли­ мыми техническими трудностями. Поэтому на первоначальном этапе исследований целесообразно построить гипотетические за­ висимости изменения предела выносливости от накопленного усталостного повреждения с последующим выяснением их прак­ тической применяемости по результатам сопоставления расчет­ ных и экспериментальных данных о ресурсе конструкции.

В простейшем случае можно, например, предположить, что скорость снижения предела выносливости зависит от его перво­ начального значения, скорости накопления усталостного повреж­ дения и от величины уже накопленного к данному моменту вре­ мени усталостного повреждения:

числа циклов нагружения; а — параметр, зависящий от свойств материала.

140

Рис. 13.7. Кривые усталости для ис­ ходного (1) и поврежденного (2) ме­ талла

Таким образом, при сделанных выше предположениях оказывается, что изменение пре­ дела выносливости для данного

материала зависит только от л<у меры усталостного поврежде­ ния, ' и в момент разрушения

(в момент появления заметной усталостной трещины) он стано­ вится равным нулю.

Известно, что для некоторых материалов темп снижения пре­ дела выносливости зависит не только от величины усталостного повреждения, но и от уровня напряжений, при котором проис­ ходило нагружение. В этом случае для описания кинетики сни­ жения предела выносливости в соотношение (13.23) необходимо внести соответствующие коррективы. Так, полагая, что скорость снижения предела выносливости зависит еще и от интенсивности нагружения, можно принять, что

(13.25)

где k = o_li0/cr; а — действующее напряжение.

Интегрируя уравнение (13.25), получаем, что по мере накопле­ ния усталостного повреждения изменение предела выносливости происходит в соответствии с уравнением

(13.26)

Соотношение (13.26) отражает влияние на темп снижения пре­ дела выносливости степени превышения действующими напря­

накопленного усталостного повреждения должно быть поставлено в соответствие с происходящим при этом изменением формы всей кривой усталости в целом. Наличие некоторого усталостного повреждения v означает, что не только горизонтальный участок кривой усталости смещается вниз, но и что ее наклонный участок смещается влево. Это смещение влево, например, на уровне на­ пряжений o_ll0 составляет величину п0 = vN0 (рис. 13.7). При этом уравнение кривой усталости для поврежденного металла можно записать в следующем виде:

(13.27)

141