книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Для приближенных оценок плотности распределения половин размахов (половин приращений процесса между двумя соседними экстремумами) можно рекомендовать соотношение [12]

где k — отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей.

Подставив соотношение (11.13) при s* = 1 в уравнение (10.81), получим для метода постепенного исключения промежуточных циклов (см. § 10) следующую систему интегральных уравнений

для определения функций п0 (х) и k (х):

X

«о (х) = п0— j п0(t) k (it) t dt;

ющей системе нелинейных дифференциальных уравнений *:

с краевыми условиями п0 (0) = п0, k (0) = k0.

Исключив из системы уравнений (11.15) функцию k (х), полу­ чим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции п0(х):

ХП$По + (По)3 — ПоЯо = 0 .

Произведя подстановку п0= ехр (дс), приходим к уравнению хГ + х (t')%-f (f)9 — f = 0,

которое эквивалентно следующей системе дифференциальных урав­ нений первого порядка:

y = f ;

Сделав подстановку у = хг во втором уравнении системы (11.16), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

1п 0 + 4 * ) - 4 ~ + ci = - JT ’

где с, — постоянная интегрирования.

* Разработка выполнена совместно с М. С. Файнбергом.

102

Используя соотношения (11.18), определяем функцию

где сг — постоянная интегрирования.

Подставив соотношение (11.19) во второе уравнение системы (11.18), получим трансцендентное алгебраическое уравнение для

Из соотношений (11.23) следует, что при x ^ - o o n 0 ->~0, ak-*- -*■ 1. Подставив соотношения (11.13) и (11.23) в (10.82), получим следующее выражение для плотности распределения амплитуд напряжений в параметрической форме:

где Я (х) = tip (x)ln0; с0 = (k0— 1)/^ .

Интегральная функция распределения амплитуд имеет сле­

Первые четыре момента и статистические параметры распре­ деления (11.25), вычисленные на ЭВМ, представлены на рис. 11.1 и 11.2 в виде зависимостей их от параметра k сложности струк­ туры процесса.

103

Рис. 11.1. Математическое ожидание Мх и центральные моменты щ (i = 2, 3, 4) распределения полных циклов

Рис. 11.2. Среднее квадратическое от­ клонение s, коэффициент вариации v, коэффициент асимметрии А8 и экс­ цесс Е распределения полных циклов

Первые два момента этого распределения аппроксимированы следующими выражениями:

Полученные соотношения (11.23) и (11.24) не выражают в явном аналитическом виде искомые функции. Это затрудняет их исполь­ зование на практике. Поэтому представляет определенный инте­ рес приближенное решение этой задачи, заключающееся в том, что вид искомых функций пф(х) и k (х) принимается известным

сточностью до параметра. Эти функции, например, можно найти

вследующем виде [121:

где а и Ь — искомые параметры.

В рассматриваемом случае процесс исключения циклов про­ исходит до тех пор, пока параметр k не станет равным единице. Из этого условия определяется верхнее значение х* переменной х, до которого необходимо продолжать исключение циклов, чтобы прийти к процессу с простой структурой. Из уравнения (11.26) следует

104

1.1. Параметры распределения амплитуд при схематизации процесса

.о методу полных циклов

Подставив соотношения (11.29) и (11.30) в (11.14), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения неизвестных параметров а и Ь:

а , * + „ d - t - w » ' . ) ,

и приближенного решений, из которого следует хорошее их со­ ответствие.

Структурный анализ случайных процессов возможен только в том случае, когда эти процессы будут дифференцируемыми достаточное число раз. Однако экспериментальные данные о реаль­ ных процессах нагружения конструкций часто представляют корреляционными функциями или энергетическими спектрами, которые соответствуют недифференцируемым случайным про­ цессам. В этом случае формально невозможно не только проведе-

105

лизе.

В большинстве случаев недифференцируемость реальных про­ цессов нагружения связана не с особыми реальными свойствами этих процессов, а с особенностями их математическою описания с помощью корреляционных функций и энергетических спектров* Поэтому практический интерес представляет разработка рекомен­ даций по преодолению возникающих в этой ситуации трудностей [12, 30]. В табл. 11.2 приведены для ряда недифференцируемых процессов рекомендуемые соотношения для определения сред-

106

процесса и его первых двух производных. Эти соотношения по­ зволяют провести структурный анализ нестационарных процес­ сов подобно тому, как это было сделано выше для стационарных процессов.

Ограничимся вычислением среднего числа выбросов за некото­ рый произвольный уровень. Для этого воспользуемся формулами (10.65) и (10.76). Совместную плотность распределения процесса х (t) и его первой производной запишем в следующем виде:

необходимые преобразования,получим среднее число превышений уровня х за время t:

107

где

ф<г)=т Ь 1 е"‘,гл-

При х = х = О

й <*• 0 ~ - * г $ £ { ’/' 1 - ^ ехр ( ~ 2 4 (Г - ^ ) +

37)

Соотношением (11.37) можно воспользоваться, в частности, при анализе числа выбросов процессом, математическая модель которого представляет собой произведение гауссовской стационар­ ной функции хх (t) со средним значением, равным нулю, и сину­

цесса хг (О- Непосредственная подстановка этих соотношений в (11.37)

приводит к сложным интегралам, поддающимся только числен­ ному анализу на ЭВМ.

Для получения приближенных оценок введем в соотношение (11.38) случайную фазу <р, равномерно распределенную в интер­ вале 0-т-2я, и заменим в приведенных выше соотношениях аргу­

Описанный выше метод приближенного анализа случайных процессов может быть обобщен для случая, когда гармоническая

109

составляющая процесса принимается в виде тригонометрического ряда, т. е. когда случайный процесс описывается соотношением

х (0 = хг (t) (sin <D0t 4- % sin 2©01 +

заданные постоянные числа.

После введения фазы ф и осреднения результатов получим

Среднее число выбросов процесса, описываемого соотношением (11.41), за уровень х

процессами х (t) и х (t) отсутствует. Соотношение (11.36) тогда принимает вид

х { w “ p [ - + ( + ) 2] + + [ , +® (-+)]}‘«- <""4>

где

Ф й = т 1 гО+ ' ,,гл-

Соотношением (11.44) можно, в частности, воспользоваться при вычислении среднего числа выбросов для процесса, представ­ ляющего собой сумму стационарного процесса хг (f) и квазидетерминированной нестационарной функции xt (i), заданной в виде степенного ряда со случайными коэффициентами.

НО