книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

ний принимают половину приращения случайного процесса между двумя его соседними экстремумами, а за расчетную частоту — среднее число одноименных экстремумов в единицу времени. Наличие средних напряжений циклов, как положительных, так и отрицательных, в расчетах не учитывается. При этом получаем наименьшее усталостное повреждение и, следовательно, наи­ большее по сравнению с другими методами схематизации значение усталостной долговечности. Схематизация случайного процесса

чие от метода размахов, каждый цикл нагружения характери­ зуется парой напряжений: амплитудным и средним. Эквивалент­ ная расчетная амплитуда напряжений определяется по диаграм­ мам предельных амплитуд (см. § 1).

М е т о д п о л н ы х ц и к л о в (метод постепенного исключе­ ния промежуточных циклов). За амплитуды напряжений при­ нимаются половины приращений случайного процесса между двумя его соседними экстремумами при постепенном исключении из заданного процесса промежуточных циклов со все более и более высокими значениями амплитуд напряжений. За частоту процесса нагружения принимается частота появления в нем одноименных экстремумов. Наличие средних напряжений в циклах нагружения в расчетах не учитывается. Метод полных циклов дает промежу­ точную оценку для долговечности, которая наилучшим образом соответствует экспериментальным данным.

М е т о д п о л н ы х ц и к л о в с у ч е т о м с р е д н е г о . Каждый цикл нагружения характеризуется парой напряжений: амплитудным и средним. Эквивалентная расчетная амплитуда напряжений определяется по диаграммам предёльных амплитуд (см. § 1).

152

Р а с ч е т у с т а л о с т н о й д о л г о в е ч н о с т и по м е т о д у м а к с и м у м о в . В этом методе расчета плотность распределения амплитуд напряжений принимается в следующем виде:

ющий, что за амплитуды напряжений принимаются только поло­ жительные максимумы.

где k — отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей.

В области больших значений максимумов (при о -*■ оо), кото­ рые являются определяющими в расчетах усталостной долговеч­

где s2 — дисперсия процесса нагружения.

Подставив соотношение (14.14) в выражение (14.13), получим плотность распределения амплитуд напряжений по методу макси­

153

плотность распределения амплитуд по методу максимумов, приведенная к частоте процесса нагружения по его нулям, будет определяться по формуле Релея:

Пусть кривая усталости описывается уравнением (1.2). Под­ ставив (14.15) и (1.2) в формулы (13.8), (13.9), (9.49) и (9.51), получим, что среднее значение и коэффициент вариации распре­ деления долговечности по методу максимумов могут быть вычис­

м е т о д у р а з м а х о в . В соответствии с (11.13) плотность распределения амплитуд напряжений при схематизации случай­ ного процесса по методу размахов

г ы - - * ? - * р ( — 5 1 ) . <'«■*»

Полагая, что кривая усталости описывается уравнением (1.2), по (13.8) и (13.9) получаем соответственно выражения для опре­ деления среднего значения и коэффициента вариации устало­ стного повреждения за один цикл нагружения:

2'n/2s>n

и коэффициент вариации распределения долговечности при схема­ тизации процесса по методу размахов:

= 1/k — интервал времени между экстремумами процесса нагру­ жения; ? — средний период процесса нагружения по его нулям.

У ч е т с р е д н и х з н а ч е н и й ц и к л о в в м е т о д е р а з м а х о в . Полагая, что в качестве средних значений циклов можно принять значения процесса нагружения в его точках пере­

154

Совместную плотность распределения амплитудных и средних напряжений циклов можно представить в следующем виде:

/ К . от) = / Ю / КО,

где f (оа) и / (а т ) — плотности, определяемые соответственно по формулам (14.20) и (14.21).

Среднее значение усталостного повреждения за один цикл нагружения

(14.22)

о о

где N (оа, ат) — число циклов нагружения до появления устало­ стной трещины, определяемое по уравнению поверхности уста­

ОГ °т. р-1

где пределы интегрирования приняты в соответствии с диаграммой предельных амплитуд, показанной на рис. 1.4.

Внутренние интегралы в соотношении (14.21) приводятся

к виду

в

j x = 2b J (х+ а)т х ехр (—Ьх2) dx.

Так как

-т

л - 2 ( Г ) “"“р,’^/![г (-г + |’ ь■4' ) - г ( т + 1’ »**)]■

155

трам процесса нагружения и характеристикам выносливости ма­

по этому методу можно также воспользоваться формулами (13.8) и (13.9). При этом плотность распределения амплитуд напря­ жений вычисляется либо по точной формуле (11.24), либо по приближенной (11.33). Если использовать (11.24), то результаты могут быть получены только численными методами с использо­ ванием ЭВМ. В случае, когда используется соотношение (11.33), ожидаемая долговечность

lN0arH_l2~mf2s - m

где a* = sx*; ? — среднее значение периода процесса нагружения по его нулям.

У ч е т с р е д н и х н а п р я ж е н и й в м е т о д е п о л ­ н ы х ц и к л о в . По мере исключения из процесса нагружения сложной структуры промежуточных циклов происходит посте­ пенное снижение параметра сложности структуры k от некоторого

функцию [см. (14.21)). Таким образом, параметр сложности структуры процесса нагружения k в методе полных циклов будет функцией значений амплитуды напряжений. С учетом этого

156

Рис. 14.8. Интегральные функции распределений амплитуд при схематизации случайного процесса сложной структуры различными методами размахов (/), полных циклов (2) и максимумов (3):

а — при kt = 2; б — при к = 2,5; в — при *<, =3; г — при к0 — 3,5

совместная плотность распределения амплитудных и средних напряжений циклов принимает следующий вид:

где функция k — k (оа) — решение уравнения (11.23). Подставив (14.26) в формулу (14.22), получим возможность

вычислить усталостное повреждение за один цикл нагружения и усталостную долговечность конструкции.

С о п о с т а в л е н и е м е т о д о в р а с ч е т а д о л г о ­ в е ч н о с т и . Для сопоставления полученных результатов на рис. 14.8 приведены графики интегральных функций распре­ деления амплитуд напряжений при схематизации случайных процессов нагружения по методам максимумов, размахов и пол­ ных циклов при использовании формулы (11.33). Метод полных циклов дает для больших квантилей промежуточные значения вероятностей по сравнению с методами максимумов и размахов. Сопоставление значений долговечностей, получаемых этими мето­ дами, производится с помощью следующих соотношений:

Гм (1 + Фо) = = 1 Л »

где Ти, Тр и Т0 — значения долговечностей,полученных по методу максимумов, размахов и полных циклов; <р0 и <р — параметры.

Зависимости <р и <р0 от параметра k сложности структуры про­ цесса нагружения приведены на рис. 14.9 и 14.10.

Расчеты на сопротивление усталости элементов конструкций, находящихся в условиях интенсивной коррозии *. Коррозия ме-

* Разработка выполнена совместно с Н. А. Черновой.

157

талла в эксплуатации может существенно понизить усталостную долговечность конструкции. Учет этого фактора в расчетах обычно производится путем замены в расчетных соотношениях предела выносливости, определенного на образцах, не имеющих следов коррозии, на предел выносливости, определенный на образцах, прошедших предварительную коррозию заданной интенсивности, т. е. процессы коррозии и накопления усталостных повреждений рассматриваются обычно раздельно.

Рассмотрим ситуацию, когда эти два процесса происходят одновременно и прочностные характеристики металлов в резуль­ тате их коррозии понижаются с интенсивностью, соизмеримой с интенсивностью процесса накопления усталостных повреждений.

Снижение прочностных характеристик металлов в результате их коррозии может быть описано с различной степенью детали­ зации. Так, если кривая усталости описывается степенным урав­ нением (1.2), то в общем случае необходимо выявить в экспери­ менте три функции, описывающие эволюцию параметров кривой

Рис. 14.10. Зависимость <р от параметра к:

а — при т = 3; б — при т = 4; в — при т = 5; / -■ o ^ /s = 1; 2 —a ^/s = 2

158

усталости: а_г = a_t (t), m = m (t) и N0 = N0 (t). Рассмотрим только случай, когда предел выносливости постепенно пони­ жается, а параметры т и N0 остаются постоянными.

Описание эволюции предела выносливости, обусловленной на­ растанием коррозии металла, основывается на накопленном экс­ периментальном материале [21 ]. В достаточно общем случае можно считать, что скорость изменения предела выносливости зависит от качества металла (высокопрочные металлы обычно более чувствительны к коррозии, чем менее прочные) и от уровня действующих напряжений. В этом случае кинетическое уравнение, описывающее изменение предела выносливости со временем, можно записать в следующем виде:

<j-i = / (о, a j),

где / (a, a_i) — функция, зависящая от уровня действующих напряжений в данный момент времени и от пределов выносливости материала для данного момента времени.

Полагая, что функцию / (о, a_t) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых а (о) зависит только от уровня напряжений, а. вторая Р (о.!) — только от предела выносливости, получаем

Разделив переменные в дифференциальном уравнении (14.27) и проинтегрировав его, получим искомую зависимость a_j = = сг_х (/). Для случая, когда р (ст^) = —a_lt имеем экспоненциаль­ ный закон изменения предела выносливости со временем

где cr^i — начальное значение предела выносливости.

Если темп снижения предела выносливости со временем не зависит от уровня напряжений, то а (о) = a = const.

В результате эволюции предела выносливости мера устало­ стного повреждения v за один цикл даже при стационарном про­ цессе нагружения будет изменяться от цикла к циклу и для не­ которого бесконечно малого интервала времени dt

dv = v dt/t0,

где t0 — средний период процесса нагружения; v = v (/) — уста­ лостное повреждение за один цикл нагружения, соответствующий моменту времени t.

Полагая, что накопление усталостных повреждений со вре­ менем происходит по линейному закону, получаем, что устало­

159

Используя в соотношении (14.29) формулы (1.2), (13.8) и

Подставив в соотношение (14.30) выражение (14.28), получим

vt = *^т/(2оо^о^о)<

где

/_,е-2а<

*-i = a!Li/(2s2).

Интеграл (14.31) может быть выражен через табулированные функции. После некоторых преобразований получим

Соответствующие таблицы приведены в прил. III. На рис. 14.11— 14.14 представлены графики этих функций.

160

Гх.,==*5

г О у/

§15. Расчеты при нестационарных случайных колебаниях

Из всех возможных математических моделей нестационарных случайных колебаний а (I) рассмотрим только такие, которые задаются детерминированными функциями изменения со време­

нагружения и т. п. В некоторых моделях таких процессов изме­ няется только один из этих параметров, в других — могут изме­ няться одновременно несколько из этих параметров.

Усталостное повреждение за один цикл нагружения, соответ­ ствующий моменту времени t:

где / (<х0, ат, t) — совместная плотность распределения амплитуд­ ных и средних напряжений в циклах нагружения, соответству­ ющих моменту времени t; N (аа, от, t) — число циклов до раз­ рушения при амплитуде <т0 и среднем значении цикла нагруже­ ния ат , соответствующего моменту времени / (имеется в виду, что в результате, например, старения материала его прочностные характеристики могут изменяться со временем).

Усталостное повреждение, накопленное в конструкции за