книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Г л а в а 5

Расчеты на живучесть при случайных нагрузках

§20. Расчеты при дискретных потоках случайных воздействий

Постановка задачи. Рассмотрим элемент конструкции с тре­ щиной, который подвергнут нагружению дискретным потоком

дает рост трещины / (/) и изменение во времени коэффициента интенсивности напряжений К (t) (рис. 20.1, б, в). Задача заклю­ чается либо в определении вероятностных характеристик момента времени t, при котором процесс К (0 первый раз превысит опасный уровень /С*, либо в определении ве­ роятности события, что в течение

заданного времени t процесс К (0 ни разу не превысит опасный уро­

няется тем, что, поскольку длина трещины по мере наработки посте­ пенно возрастает, то этот процесс уже не будет стационарным даже при порождающем его стационарном

*<*).

Рис. 20.1. К расчету живучести при потоках случайных воздействий:

а — процесс нагружения; б — процесс роста тре­ щин; в — процесс изменения КИН

203

Пусть Ft (К) — функция распределения КИН при t-м] нагру­ жении. Тогда функция распределения абсолютного максимума процесса К (t), соответствующая некоторому моменту времени нагружения t, при условии, что за это время произойдет ровно г нагружений,

F*(K/r) = n Ft (К).

i=1

Безусловная функция распределения абсолютного максимума

FAK, 0 = l f f f Ь(к)Р(г, t),

г=о t=o

где Р (г, t) — вероятность события, что за время t произойдет ровно г нагружений, определяемая, например, по формуле (9.6).

Практическое использование приведенных выше формул свя­ зано с большими вычислительными трудностями. Поэтому для получения приближенной эффективной оценки распределения абсолютного максимума воспользуемся соотношением (9.16), ко­ торое можно записать с учетом нестационарности процесса К (/):

\ { l - F x (K))dx = 1.

о

Искомая вероятность события, что за некоторое время t про­ цесс К (t) ни разу не превысит опасный уровень /С*,

Функция распределения долговечности (живучести)

Из соотношений (20.1)—(20.3) следует, что задача расчета живучести сводится к определению функции распределения КИН для любого момента времени. Решение этой задачи будем рассмат­ ривать для случая, когда КИН

где / (Г) — безразмерная функция относительной (по отношению к размерам элемента конструкции) длины I трещины.

204

Кинетическое уравнение (5.5) для определения длины трещины принимает в рассматриваемом случае следующий вид:

где а и п — параметры трещиностойкости материала конструк­ ции; N — число циклов нагружения.

Разделив переменные и проинтегрировав дифференциальное уравнение (20.5), получим

где

i

J(l) = \ x~n/2f~n(дг//*) dx; h

индекс «—1» означает обратную функцию; /0 — начальная длина трещины; /* — характерный размер элемента конструкции (ши­ рина и длина пластинки, диаметр стержня и т. п.).

Некоторые интегралы, входящие в соотношение (20.6), протабулированы (см. §5 и прил. II).

Поскольку распределения величин <т4известны, то могут быть определены и вероятностные характеристики процесса I (t). Так как в соотношение (20.6) входит сумма большого числа случай­ ных величин, то в первом приближении и с достаточной для практи­ ческих расчетов точностью ее можно заменить на сумму соответ­ ствующих средних значений, и тогда функцию I (() можно будет считать детерминированной. При этом вероятностные свойства КИН полностью определяются вероятностными свойствами про­ цесса изменения во времени напряжений а (/), и соответствующую функцию распределения КИН теперь можно записать в следую­ щем виде:

напряжений.

Подставляя соотношение (20.7) в формулы (20.1)—(20.3), получаем решение поставленной задачи.

При необходимости получить более точное решение в формуле (20.6) следует учесть вероятностные свойства суммы

i = N

А= a 1=1 а"

ирассматривать длину I трещины как функцию случайного аргу­ мента А. Методы определения вероятностных свойств этой суммы описаны в § 9, а вероятностные характеристики функции случай-

205

Рнс. 20.2. Изменение надежности (вероят­ ности неразрушения) и длины трещины со временем:

Н ^ \ — надежность соответственно без уче­ та роста трещины я с учетом роста

ного аргумента определяются извест­ ными'методами теории вероятности. При большом числе циклов нагру­ жения величина А распределена по

нормальному закону со средним значением А и дисперсией s2, определяемыми по формулам типа (9.37) и (9.38). Для этого слу­ чая плотность распределения длины трещины к JV му по счету нагружению можно выразить соотношением

Соответствующая интегральная функция распределения имеет вид

F(l, Л0 = ф { ^ = ^ - } ,

где

ф(г)" т к W ( — г ) Л

—00

—табулированная функция интеграла вероятности. Качественное решение задачи о расчете надежности (вероят­

ности неразрушения) элемента конструкции с трещиной с учетом

еероста и без такого учета показано на рис. 20.2.

Живучесть неограниченной пластинки с одиночной трещиной.

Рассмотрим пластинку, показанную на рис. 5.2, и примем, что скорость роста трещины описывается соотношением (5.6), а про­ цесс нагружения характеризуется плотностями распределений действующих напряжений и интервалов времени между нагруже­ ниями. В этом случае длина трещины к моменту времени t при условии, что к этому моменту времени произойдет ровно г нагруже­ ний, будет равна

Подставив соотношение (20.8) в формулу (5.5), получим зна­ чение КИН для г-го по счету нагружения:

206

Вероятностные свойства КИН, определяемого по формуле (20.9), зависят от вероятностных свойств входящей в него суммы и случайной величины аг. Для случая большого числа нагруже­ ний в указанной сумме все слагаемые приближенно могут быть заменены на их средние значения, и тогда вероятностные свойства КИН будут полностью определяться только функцией распреде­ ления действующих напряжений а. В этом случае формулы для определения длины трещины и для определения КИН принимают следующий вид:

Кг — С<тгУ%.

При этом функция распределения КИН

F(K) = Fa(K/CVT),

где Fa (о) — функция распределения действующих напряжений. Частные случаи дискретных потоков случайных нагрузок.

Рассмотрим в качестве первого примера поток воздействий с экспо­ ненциальной функцией распределения напряжений

времени t будет также подчиняться экспоненциальному закону распределения:

где K t — среднее значение КИН для момента времени t. Подставив (20.11) в формулу (20.1), получим

Iехр ( ~ K / K t)dt = l.

Надежность конструкции (вероятность неразрушения за

207

20.1. Расчетные данные к примеру 1

При п = 4

(20.22)

'■* = Т Г ^ г 'п ( | - Р ' . г <0‘>)

Если пренебречь изменением КИН, то формула (20.20) при­ мет вид

где Кн — начальное значение КИН.

Пример 1. В табл. 20.1 приведены расчетные данные для слу­

чая, когда п = 4, ст = 50 МПа, р = 5-10~17, /0 = 5 мм, /(* = «= 95 МПам!/2.

Рассмотрим второй случай, когда напряжения распределены по экспоненциальному закону (20.10), а параметр л = 2,5. В этом случае функция распределения абсолютного максимума процесса

Пример 2. В табл. 20.2 приведены расчетные данные для слу­

чая, когда п = 2,5, р = 4-10-»-*, /0 = 5 мм, К — 63 МПа-м1/* д « 5 0 МПа.

20.2. Расчетные данные к примеру 2

Из приведенных данных следует, что имеется возможность оце­ нивать надежность элементов конструкций с трещинами при слу­ чайных процессах нагружения. Возможность учета роста трещин при расчетах надежности значительно повышает их достоверность.

Учет эффекта торможения трещин. Достоверность расчета живучести можно значительно повысить, если учесть еще эффект торможения трещин, наблюдаемый при смене уровней напряжений в соседних циклах процесса нагружения. В случайных процессах нагружения такая смена уровней напряжений происходит по­ стоянно, и поэтому эффект торможения трещин может быть зна­ чительным.

Скорость роста трещин с учетом эффекта торможения можно вычислить, например, по формуле (5.24), где параметр X зависит

Полагая, что в половине случаев циклы с большими значе­ ниями амплитуд сменяются циклами с меньшими значениями амплитуд, получаем [в соответствии с формулами (5.25) и (20.10)], что среднее значение параметра

X = 0,5 [1,5 — y ^ E i (2у) ],

где Ei (дет) — интегральная показательная функция.

При у = 2,5 имеем X да 0,5, т. е. в половине циклов нагруже­ ния увеличения длины трещин не происходит.

Расчет живучести для рассмотренных выше примеров сводится к применению формул (20.15) и (20.24), в которых величину b следует заменить на 0,5Ь. В табл. 20.3 приведены расчетные данные применительно к первому из рассмотренных выше при­ меров.

Анализ полученных данных показывает, что эффект торможе­ ния трещин при смене уровней напряжений в соседних циклах случайных процессов нагружения может быть значительным.

Учет порогового значения КИН. Характерная особенность нагружения реальных конструкций заключается в том, что в на-

210