книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

В этом случае считаем, что вероятность того, что К >■ KfC, незначительна.

Процесс роста трещин зависит от истории нагружения. Так, для процессов, состоящих из двух блоков нагружения с уровнями напряжений Oj и сг2 (а2 > с^), результат зависит от чередования этих блоков (рис. 20.4, а, б). Если вначале возникают напряжения с уровнем Oj, а затем с уровнем напряжений <х2 и выполняются

условия Ко = Cat y/J0 < Kth. Саг/ Т0 > Kth (где 10 — началь­ ная длина трещины; К0 — начальный уровень КИН), то рост трещины будет происходить только на втором этапе нагружения. Если же вначале действуют напряжения <т2 и при этих напряже­ ниях на первом этапе нагружения трещина увеличивается до

уровня 1г, при котором выполняется условие Саг V k > Kth. то трещина будет также продолжать расти и на втором этапе на­ гружения при уровне напряжений Конечные длины /„ трещин при различном чередовании блоков нагружения будут существенно отличаться (см. рис. 20.4).

Будем считать, что КИН можно вычислить по формуле (5.5). Тогда, усредняя левые и правые части уравнения (20.25) и полагая,

трещины (/) входит также момент ее распределения порядка (п/2), т. е. для определения величины (/) необходимо предварительно

Рис. 20.4. Влияние истории нагружения на процесс роста трещин:

а — а, < о,; б — о, > а,

212

/ — с учетом порогового значения КИН; 2 — экви­ валентная зависимость в пересчете на случай К ^ = 0;

3 — плотность распределения КИН

вновь проведя усреднение обеих частей этого равенства, получим

Ш <'"/2> = 4 - ап° П<°П> (Г_1> (20.27)

нений для определения моментов распределения длины трещины получается незамкнутой, каждое уравнение в которой содержит моменты более высокого порядка.

Замыкание этой системы уравнений можно выполнить с помо­ щью какой-либо гипотезы, аналитически связывающей моменты высокого порядка с моментами более низких порядков, например, с помощью соотношений, справедливых для нормальных распре­ делений 13].

Наиболее простые результаты получаются, когда справедливо следующее приближенное равенство:

<Г/2> * {1)п,\

В этом случае, полагая, например, что распределение амплитуд напряжений подчиняется экспоненциальному закону (20.10), при­ ходим к следующему дифференциальному уравнению, описываю­ щему усредненную закономерность роста трещин:

Уравнение (20.28) представляет собой нелинейное дифферен­ циальное уравнение первого порядка с разделяющимися перемен­ ными; его решение сводится к вычислению квадратур. В резуль­ тате можно получить искомую зависимость I = I (i) и, используя соотношение (20.12), решить затем задачу об оценке надежности по описанной методике.

Уравнение (20.28) можно получить и путем приведения соот­ ношения (20.25) к некоторому эквивалентному в статистическом смысле соотношению типа (5.4). Для этого рассмотрим графиче­ ское представление этих соотношений (рис. 20.5). Пусть кривая / графически представляет соотношение (20.25), а кривая 2 опи­ сывается уравнением типа (5.4), которое можно записать в сле­ дующем виде:

где <Xj — параметр, определяемый из условия эквивалентности соотношений (20.25) и (20.29).

Обозначим через f(K , 0 плотность распределения КИН, соот­ ветствующую моменту времени t. Тогда эквивалентность соотно­ шений (20.25) и (20.29) для этого момента времени по признаку равенства средних значений скоростей роста трещин будет опи­

Соотношение (20.30) позволяет вычислить неизвестный пара­ метр а х как функцию длины трещины или времени нагружения.

Для случая, когда величина КИН определяется по формуле (5.5), а распределение амплитуд напряжений описывается экспо­ ненциальным законом (20.10),

Подставив соотношение (20.31) в уравнение (20.29) и усреднив левые и правые части получаемого выражения, вновь получим уравнение (20.28). Вычисления значительно упрощаются, если

— вероятность события, что в момент времени t величина К будет больше уровня Кгъ-

Если КИН определяется по формуле (5.5), а плотность распре­ деления амплитуд напряжений соответствует экспоненциальному

При этом дифференциальное уравнение роста трещин прини­ мает следующий вид:

Результаты численного интегрирования на ЭВМ уравнения (20.34) приведены в табл. 20.4.

Из приведенных данных следует, что учет порогового значения

КИН может значительно повысить точность расчета живучести конструкций.

214

20.4. Результаты расчета роста трещин для примера 3

Число циклов нагружения г» К)-*

П р и м е ч а н и е . Индексом «Л» обозначены длины трещин, полу­ ченные с учетом порогового значения КИН. Длины трещин, полученные без учета порогового значения КИН, приведены без индексов.

§ 21. Расчеты при случайных колебаниях

При случайных колебаниях возникает необходимость учиты­ вать статистическую зависимость значений размахов напряжений в соседних циклах нагружения и сложность структуры процессов, характеризуемую отношением среднего числа экстремумов к сред­ нему числу нулей. Первый из факторов менее значим и при ориен­ тировочных расчетах им можно пренебречь. Второй фактор может значительно повлиять на точность прогноза живучести, и при боль­ шой сложности структуры случайных процессов его необходимо учитывать.

Случайные узкополосные процессы нагружения. В узкополос­ ных процессах нагружения с нулевым средним значением число нулей равно числу экстремумов и распределение амплитуд в цик­ лах нагружения определяется однозначно. В частности, для гаус­ совских стационарных процессов a (f) с дисперсией s2 распределе­ ние амплитуд совпадает с распределением максимумов и подчи­ няется закону Релея с функцией распределения

Пренебрегая статистической зависимостью амплитуд напря­ жений в соседних циклах нагружения и принимая закон роста трещин в виде соотношения (5.4), получаем, что длину трещины и КИН для любого момента времени можно вычислить по форму­ лам (20.8) и (20.9), где в соответствии с функцией распределения (21.1) следует принять

где К = Cat у lt — КИН для момента времени t; at, lt — напря­ жения и длина трещины для момента времени t.

Подставив соотношение (21.3) в формулу (20.3), получим для определения функции распределения абсолютного максимума процесса К (О следующее выражение:

m = 2/(n — 2).

Разложив подынтегральную функцию в ряд Тейлора и выпол­

Интеграл, входящий в соотношение (21.4), может быть также выражен через обобщенную функцию вероятности [481

(21. 6)

— табулированная вырожденная гипергеометрическая функция первого рода (функция Куммера [1]).

При v = 1 и р = 2 функция (21.6) переходит в обычную функ­ цию вероятности

• « - т г К dt.

При v = 1 и р = т функция (21.6) позволяет представить выражение (21.4) в следующем виде:

216

21.1. Данные к расчету узкополосного процесса нагружения

по формуле (21.7); //<?) — надежность, вычисленная без учета роста тре-

щины. •

где

V A = K K V ^ SC);

в= — 4ре к к - 1.

Втабл. 21.1 представлены результаты расчета длины I трещины

ивероятности неразрушения конструкции Н для различных

чисел нагружения г при К* = бЗМПа-м1/2, s — 100 МПа, 10 = = 5 мм, р = 2,5-10-17.

Из полученных результатов следует, что неучет подрастания трещин в процессах случайных колебаний (как и при потоках слу­ чайных импульсных нагрузок), приводит к значительным погреш­ ностям при расчете надежности.

Учесть эффект торможения трещины при смене уровней напря­ жений в соседних циклах нагружения и пороговое значение КИН можно так же, как и при дискретных потоках нагрузок (см. § 20). Так, учет эффекта торможения трещин сводится к оценке отно­ шения двух соседних максимумов в процессе нагружения. Пола­ гая, что эти максимумы статистически независимы и каждый из них распределен по закону Релея (21.1), после несложных вычисле­ ний находим, что отношение двух соседних максимумов в гаус­ совских узкополосных процессах имеет следующую плотность

Среднее значение отношения двух соседних максимумов в этих

Подставив значение г в (5.25) и приняв, что в половине слу­ чаев циклы с большими значениями амплитуд сменяются циклами с меньшими значениями амплитуд, получим, что среднее значение

коэффициента А, « 0,75 (этот коэффициент учитывает эффект сни­ жения скорости роста трещин при смене уровней напряжений в со-

217

21.2. Темпы роста трещин

Число циклов нагружения г -10“в

Длина

трещин

седних циклах нагружения). Таким образом, в гауссовских узко­ полосных процессах в 25 % циклах нагружения роста трещин не происходит. Вычисление длин трещин и надежности конструк­ ций можно теперь сделать_по формулам (20.7) и (21.5), подставив в них вместо Р значение р =. 0,75 р.

Учет того, что пороговое значение КИН не равно нулю, так же как и при дискретных потоках нагрузок (см. §20), можно выпол­ нить путем интегрирования дифференциального уравнения (20.29)

где Г (а, х) — неполная гамма-функция.

Вычисления упрощаются, если параметр а определить по

Случайные процессы нагружения сложной структуры. Из основ­ ных соотношений для расчета живучести элементов конструкций с трещинами (20.1), (20.4), (20.6) и (20.7) следует, что для прове­ дения таких расчетов при случайных процессах нагружения слож­ ной структуры (в которых число экстремумов значительно пре­ вышает число пересечений нулевого уровня; рис. 21.1, а) необхо­ димо вначале выделить из заданного процесса нагружения поток его положительных максимумов [с целью определения функции Fa (о) и расчетного периода нагружения ? для использования их а соотношении (20.1)], а затем схематизировать заданный процесс

218

Рис. 21.1. Исходный процесс нагружения сложной структуры (а) и порождае­ мый им поток положительных максимумов (б):

/^ (i = 1, 2, 3, .Г.) — интервалы времени между положительными максимумами

Функция Fa (а) совпадает с функцией распределения поло­ жительных максимумов в случайном процессе а (t); она может быть определена через соответствующую плотность распределе­ ния

равный отношению среднего числа экстремумов к среднему числу пересечений нулевого уровня и определяемый для гауссовских стационарных процессов с помощью соотношений (11.2) и (11.3).

Средний интервал времени t+ между положительными макси­

определяемый для гауссовских стационарных процессов в соот­ ветствии с формулой (11.3).

Для определения длины трещины, соответствующей некоторому моменту времени t, можно воспользоваться соотношением (20.6), в котором напряжения о( должны быть заменены на эквивалент­ ные напряжения oi3, определяемые для каждого i в соответствии

сформулой (5.20) следующим соотношением:

+при 0;

(21.14)

а2ор — Ьйат при R < 0,

219

где

fe2 = 2\|?2/(2 — \|?2);

crp, 0m — соответственно расчетные размах и среднее значение напряжений в циклах нагружения.

В соответствии с соотношением (5.15) расчетный размах напря­ жений

где оп — значение случайного процесса, соответствующего его точкам перегиба (в которых вторая производная по времени равна нулю).

При использовании соотношений (21.14)—(21.16) частота про­ цесса нагружения принимается равной частоте появления всех максимумов.

Из соотношения (21.15) следует, что расчетный размах напря­ жений представляет собой вероятностную смесь трех величин: нуля, положительного максимума о+ и истинного размаха сти. Плотность распределения величин (расчетных размахов) в этой смеси

максимумов и истинных размахов, определяемых для гауссовских стационарных процессов по формулам (21.12), (11.6) и (11.14); 6 (•) — дельта-функция.

Плотность распределения L (о) имеет дельта-особенность в нуле с площадью, равной а (рис. 21.2).

Среднее значение расчетного размаха [в соответствии с соот­

где а+, а„ — средние значения соответственно положительных максимумов и истинного размаха.

220

со

Из соотношений (21.12), (11.6) и (11.14) следует

о. =

2ks

+ Л

Среднее значение циклов нагружения, как следует из соот­ ношения (21.16), представляет собой вероятностную смесь двух величин нуля и значений процесса, соответствующих его точкам перегиба, при условии, что в этом процессе нагружения учиты­ ваются только циклы с On™ > 0. Для гауссовских процессов нагружения распределение ап является симметричным относи­ тельно нуля, и поэтому для таких процессов плотность распре­

Плотность распределения (21.21) показана на рис. 21.3. Она также имеет дельта-особенность в нуле.

Математическое ожидание расчетного среднего значения напря­

В соответствии с соотношением (21.14) эквивалентное значе­ ние размаха напряжений представляет вероятностную смесь двух случайных величин, каждая из которых, в свою очередь, представ­

221