книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Рис. 13.8. Снижение предела выносливости по'мере накопления усталостных повреждений:

в — при расчете по формуле (13.26); б — по экспериментальным данным [21]

Координата точки перегиба кривой усталости по оси N (N0t v) определяется из условия

Если указанное выше согласование смещения наклонного участка кривой усталости влево и ее горизонтального участка вниз не производить, тогда снижение предела выносливости по мере накопления усталостного повреждения не будет зависеть от уровня действующих напряжений и будет описываться соотно­ шением (см. рис. 13.7)

для определения a_1(V соотношения (13.26) при a = 1 для раз­ личных значений параметра k, а также соответствующие экспери­ ментальные данные приведены на рис. 13.8. Полученные резуль­ таты позволяют сделать вывод о хорошем соответствии расчетных и экспериментальных результатов.

Из соотношения (13.27) получим следующее выражение для определения меры усталостного повреждения за один цикл на­ гружения (или, что то же самое, для скорости накопления уста­

где точка сверху означает производную по числу циклов нагру­ жения.

Из (13.31) следует, что скорость накопления усталостных повреждений зависит от уровня напряжений и величины нако-

142

вреждения. Причем эта ско­ рость не может быть представ­ лена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от уровня на­ пряжений, а другая — толь­ ко от накопленного повреж­ дения. В этом случае процесс накопления усталостных по­ вреждений не будет обладать автомодельными свойствами, и результат расчета долго­ вечности при переменных амплитудах напряжений бу­ дет зависеть от истории на­ гружения [4].

Рассмотрим для примера простейший случай. Пусть

кривая усталости по мере накопления усталостных повреждений изменяется так, как показано на рис. 13.9, а, а процесс нагруже­ ния состоит из двух этапов, причем на первом этапе высокое напря­ жение 0} сменяется низким напряжением о2 (рис. 13.9, б), а на втором — низкое напряжение аг сменяется более высоким напря­ жением Ох (рис. 13.9, г). Поскольку напряжение а2 выбрано таким, что оно ниже исходного предела выносливости и выше пре­ дела выносливости, устанавливающегося после действия напря­

личаться между собой. Это предопределяет и зависимость долго­ вечности от истории нагружения.

Вместе с тем, если заданное сочетание нагрузок повторяется много раз (рис. 13.10), то результат суммирования усталостных повреждений уже не будет существенно зависеть от порядка их приложения на начальном и конечном этапах нагружения. К та­ ким воздействиям относятся и рассматриваемые случайные про­ цессы нагружения, для которых считается справедливым принцип сильного перемешивания случайных величин. Использование этого принципа позволяет записать следующее выражение для

143

в

V

... г

п

1 —

определения ожидаемого значения скорости накопления устало­ стного повреждения:

получим кинетическое уравнение процесса накопления устало­ стных повреждений:

где черта сверху, обозначающая вычисление среднего, опущена. Решив дифференциальное уравнение (13.33), получим искомую зависимость v = v (п), которая при v = 1 определяет долговеч­

ность конструкции W*.

Подставив соотношения (13.10) при а = s и (1.2) в (13.32)

где п = n/N0; а = a_i,0/s; Г (а, г) — неполная гамма-функция. Результаты решения на ЭВМ уравнения (13.34) * при различ­ ных значениях параметра а и т = 4 приведены на рис. 13.11. На рис. 13.12 приведена зависимость NJN^ = f (а), где N1 — долговечность, подсчитанная без учета снижения предела вы­

* Вычисления выполнены Б . И. Петровым.

144

АГ

вечности. Эти данные позволяют также разработать рекомендации по выбору расчетного значения предела выносливости для учета эффекта снижения предела выносливости в методиках расчета, в

Полученное выражение для скорости накопления усталостных повреждений (13.34) так же, как и в рассмотренном выше простей­ шем примере детерминированного нагружения (см. рис. 13.10), не может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от накопленного к данному мо­ менту времени повреждения v, а другая — только от параметра интенсивности нагружения s. В этом случае процесс накопления усталостных повреждений также не будет автомодельным и пра­ вило суммирования относительных долговечностей также не будет выполняться. При этом результат расчета усталостной долговеч­ ности будет зависеть от истории нагружения. Пусть, например, эта история состоит в том, что элемент конструкции нагружается

втечение пг циклов с параметром интенсивности воздействий slt

втечение /ц циклов с параметром интенсивности воздействия % и т. д., а принцип сильного перемешивания для режимов нагруже­ ния не выполняется (рис. 13.14, а). Тогда за k блоков нагружения суммарное усталостное повреждение

Принцип суммирования усталостных повреждений, выражен­ ный соотношениями (13.36) и (13.37), поясняется графиками,

Экспериментально установлено, что при нерегулярных процес­ сах нагружения необходима определенная корректировка правила линейного суммирования усталостных повреждений, выраженного соотношением (13.6). Предельное значение накопленного устало­ стного повреждения оказывается меньше единицы, и чем больше процесс нагружения отличается от простого гармонического нагружения, тем больше необходимо снижать это предельное значение усталостного повреждения [21 ]. Корректированное пре­ дельное значение усталостного повреждения определяется по виду интегральной функции распределения амплитуд напряжений (рис. 13.15):

% = = “ i/K - a-i)> (13-38)

146

Расчет усталостной долговечности конструкции при случайных колебаниях рассмотрим раздельно для двух основных случаев: для процессов с простой и со сложной структурой (рис. 14.1, а, б).

Расчет усталостной долговечности при процессах простой структуры. Для случайных процессов нагружения, имеющих простую структуру (см. рис. 14.1, а), понятие цикла нагружения определяется однозначно. В отличие от простого гармонического нагружения необходимо в этом случае лишь учитывать случайный характер распределения амплитуд напряжений в циклах нагру­ жения. Так, для стационарных узкополосных гауссовских про­ цессов распределение амплитуд подчиняется закону Релея с плот­ ностью

где sa — дисперсия процесса нагружения.

Пусть кривая усталости описывается уравнением (13.11). Тогда, подставив (14.2) и (13.11) в формулы (13.8) и (13.9), полу­ чим соответственно выражения для среднего значения и устало­ стного повреждения за один цикл нагружения:

Коэффициент вариации распределения усталостного поврежде­

По сравнению с экспоненциальным распределением распре­ деление Релея приводит к меньшим значениям коэффициента вариации 6V.

Подставив (14.3) и (14.5) в формулы (9.49) и (9.51), получим соответственно следующие выражения для определения среднего значения и коэффициента вариации распределения усталостной долговечности (без учета рассеяния интервала времени между нагружениями. и без учета корреляционной зависимости между повреждениями в циклах нагружения):

Рассмотрим теперь случай, когда кривая усталости описы­ вается уравнением (1.2). Подставив (1.2) и (14.2) в формулы (13.8) и (13.9), получим соответственно выражения для среднего значе-

148

<r

v W W v ■,

ния и дисперсии усталостного повреждения за один цикл нагру­ жения:

(14.8)

Подставив (14.8) и (14.9) в формулы (9.49) и (9.51), получим соответственно следующие выражения для среднего значения и коэффициента вариации распределения усталостной долговеч­ ности:

-- б у / / I 9

где п — число нагружений; 6V— величина, определяемая по (14.9). Аналогично проводятся расчеты долговечности и при других законах распределения амплитуд напряжений и уравнений кри­

вых усталости.

Если в расчете усталостной долговечности учитывается эффект снижения предела выносливости по мере накопления усталостных

149

Рис. 14.3. Процессы накопления усталостных повреждений при релеевеком законе распределения ам­ плитуд напряжений с учетом по­ степенного снижения предела вы­ носливости:

а — при т = 4; б — при т = 6; в — при т = 8

повреждении, можно воспользоваться методикой, изложен­ ной в § 13. Если, например, распределение амплитуд на­ пряжений подчиняется зако­ ну Релея с плотностью (14.2), то тогда кинетическое урав­ нение накопления усталост­

Результаты решения на ЭВМ * уравнения (14.11) при различ­ ных значениях параметров b и т приведены на рис. 14.3.

учета и с учетом снижения предела выносливости.

Эффект постепенного снижения предела выносливости можно также учесть в обычных методиках расчета путем соответству­ ющего подбора для него постоянного расчетного значения o_lt * = = хо_(>0 (х <; 1), при котором результаты расчета по обеим мето­ дикам будут совпадать. В соответствии с формулой (14.8) для определения параметра х получаем следующее алгебраическое уравнение:

Расчет усталостной долговечности при процессах сложной структуры. При случайных процессах нагружения, имеющих сложную структуру (см. рис. 14.1, б), понятие цикла нагружения однозначно не определяется, и поэтому использование в расчетах

* Вычисления выполнены Б. И. Петровым.

150

на долговечность информации о характеристиках сопротивления усталости материалов, полученных в условиях гармонического нагружения в виде кривых и поверхностей усталости (см. § 1), становится затруднительным. Для проведения расчетов необхо­ димо привести процессы со сложной структурой к эквивалентным по повреждающему действию процессам с простой структурой. Полной эквивалентности при этом достичь не удается, и рекомен­ дуемые методы приведения в значительной степени основаны на опыте их практического использо­ вания. В настоящее время приме­ няется более десятка различных ме­ тодов приведения. Некоторые из них приведены ниже.

наибольшее усталостное повреждение и, следовательно, наименьшее для

Рис. 14.6. Приведение исходного процесса сложной структуры (а) к процессу с про­ стой структурой (б) по методу максимумов

151