книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

УI

'К*»/1

М \

/ \ в

постулировать еще и основную причину развития трещины. Можно, например, считать, что развитие трещины может проис­ ходить только в направлении, перпендикулярном к действию максимальных нормальных напряжений. Тогда для определения этого направления составляют выражение для напряжения ае= = f(0) и исследуют его на максимум. В результате определяют искомое направление и максимальный КИН. Для оценки тре-

ответствует схеме нагружения, показанной на рис. 4.2, б. Знак

ние для определения расположения опасной площадки: sin0 + ctg P(3cos 0^-1) = О.

32

Реальная зона пластичности будет несколько больше, чем та, которая определяется соотношением (4.14). Этот вывод следует из того, что действующая на элемент нагрузка пропорциональна площади под кривой ау = / (х) и в обоих рассматриваемых слу­ чаях (рис. 4.8 и 4.9) должна быть одинакова. Поэтому кривую ау = / (*) следует сдвинуть вправо так, чтобы заштрихованные

б

на рис. 4.10 площади были одинаковыми. Увеличение диаметра зоны пластичности А, определяется из условия

А.0, = ^O ydr 0ТГр .

Отсюда следует, что к = г„, а зона пластичности вдвое больше получаемой по формуле (4.14).

Рассмотренное увеличение зоны пластичности можно тракто­ вать как увеличение эффективной длины трещины на величину X.

При увеличении толщины пластины и переходе к плоскому деформированному состоянию зона пластичности и напряженное состояние в ней существенно изменяются. Несложный анализ показывает, что максимальное напряжение ау в зоне пластичности может уже в 3 раза превышать предел текучести, а диаметр зоны пластичности уменьшается в соответствии с соотношением (4.14)

в 9 раз. Напряженное состоя­

34

ных касательных напряжений считается, что текучесть материала наступает в тот момент, когда максимальное касательное напряже­ ние превысит половину предела текучести, а по критерию пре­ дельной энергии формоизменения это произойдет тогда, когда будет выполнено соотношение

Использовав выражение (4.11), получим следующие соотно­ шения для определения главных напряжений в зоне трещины типа I:

— для случая плоского напряженного состояния.

Подставив (4.16) в критерий пластичности (4.15), определим соответствующую этому критерию границу зоны пластичности, заданную в виде уравнения кривой в полярной системе коорди­ нат:

для случая плоской деформации

для случая плоской деформации (наибольшая из величин)

Аналогично определяются зоны пластичности для трещин типа II и III. На рис. 4.14 представлены зоны пластичности, со­ ответствующие этим типам трещин.

Так как при выводе формул (4.17)—(4.20) не учтено, что при появлении зоны пластичности уменьшается несущая способность конструкции, реальная зона пластичности будет несколько боль­ шей, чем это показано на рис. 4.13 и 4.14. Уточнение размеров и формы зоны пластичности можно сделать подобно тому, как это было сделано при выводе формулы (4.14).

§ 5. Закономерности развития усталостных трещин

Общие положения. Появление в элементах конструкций уста­ лостных трещин еще не означает окончательного выхода этих эле­ ментов из строя и необходимости немедленного проведения ре­ монтных работ. На практике элементы конструкций с трещинами могут продолжать надежно функционировать еще значительное время, а небольшое снижение эксплуатационных нагрузок, на­ пример, может резко повысить их долговечность и даже пол­ ностью приостановить рост трещин. Поэтому достоверный расчет­ ный прогноз развития трещин в конструкциях при переменных эксплуатационных нагрузках, может способствовать значитель­ ному повышению эффективности их использования. Для такого прогноза необходима информация о закономерностях роста тре­ щин в материале конструкции при переменных нагрузках. Рас­ смотрим способы представления этих закономерностей.

Из общих физических представлений о прочностных возмож­ ностях материалов следует, что скорость роста трещин при пере­ менных воздействиях (скорость разрушения) должна зависеть от

36

уровня возникающих напряжений о и от длины / имеющейся на данный момент трещины:

где / — производная по числу циклов нагружения или по времени. Получение зависимости (5.1) по результатам эксперимента требует проведения чрезвычайно трудоемких испытаний и сложных программ анализа получаемых при этом данных. Поэтому на прак­ тике зависимость (5.1) часто представляют в упрощенном виде. При этом полагают, что скорость роста усталостных трещин можно

Поскольку такую же структуру, что и соотношение (5.2), имеют формулы для определения КИН [см., например, выраже­ ния (4.3)—(4.7)1, дальнейшее упрощение соотношения (5.1) за­ ключается в том, что скорость роста трещины представляют в виде ее зависимости от КИН:

Наибольшее применение из подобных формул получила сле­

где ос и п — параметры циклической трещиностойкости материала, которые в общем случае могут зависеть от уровня действующих напряжений.

Параметры а и п определяются обычно либо при симметрич­ ных, либо при отнулевых положительных циклах нагружения. В обоих случаях принимается, что величина К в (5.4) равна макси­ мальному значению цикла нагружения.

Механизм увеличения длины усталостной трещины при цикли­ ческом нагружении можно представить следующим образом. При достаточно интенсивном нагружении путем растяжения рас­ крытие трещины и ее удлинение происходят за счет сдвига слоев металла в одной из плоскостей с наибольшими касательными на­ пряжениями (рис. 5.1). При последующих растягивающих на­ гружениях плоскости сдвига чередуются, и длина трещины по­ степенно увеличивается. Процесс увеличения длины трещины счи­ тается непрерывным. В экспериментах, однако, часто обнаружи­ вается скачкообразный рост трещин, чередующийся со значитель­ ными приостановками их развития. Полный учет этого явления в расчетах пока затруднителен.

Гармоническое нагружение. Для анализа процесса роста тре­ щин в неограниченной пластинке, нагруженной на бесконечности

37

б

напряжениями а (t) (рис. 5.2), используем соотношение (5.4). Процесс нагружения будем считать гармоническим с постоянной амплитудой напряжений а и средним значением, равным нулю. Тогда

Интегрируя дифференциальное уравнение (5.6), получим длину трещины к моменту r-го по счету нагружения:

Блоковое гармоническое нагружение. Рассмотрим процесс на­ гружения, представляющий собой k блоков нагружения с различ­ ными уровнями напряжений at (i = 1, 2, .... А) (см. рис. 2.3). Будем считать, что параметр трещиностойкости п зависит от уровня напряжений и каждому уровню напряжений о* соответствует не­ которое значение п = щ. Тогда с учетом соотношения (5.7) длина

где 0* = ас"»; ЛГЯ— число циклов на втором этапе нагружения. Обобщив соотношения (5.8) и (5.9), получим следующее ре­ куррентное соотношение для определения длины трещины к неко­

торому t-му этапу нагружения:

где Р< = ас \ /(_1 — длина трещины в конце (f — 1)-го этапа на­ гружения; Nt — число циклов на t-м этапе нагружения.

Соотношением .(5.10) можно воспользоваться и при анализе роста трещин при нерегулярном нагружении (рис. 5.3). В этом

(5.10) следует, что возрастание длины трещины зависит от. порядка чередования блоков нагружения, т. е. от истории нагружеция. Рассмотрим, например, двухэтапный процесс нагружения и изме­ ним в нем порядок приложения нагрузок: вначале создадим напря­ жение о3 с числом циклов Nit а затем — напряжение ах с числом циклов Nt . За время нагружения длина трещины увеличится до

(5.11)

При пх Ф Пъ выражения (5.9) и (5.11) различны, и поэтому дей­ ствительно длина трещины в этом случае зависит от истории на-

соотношения (5.9) и (5.11) со­ впадают и определяют длину трещины

2-я

и= 1/о 22 + 0,5р (2 — л) X

2

Рис. 5.3. Нерегулярный процесс натру-

(5.12) жения

tg i

Рис. 5.4. Диаграмма скоростей роста усталостных трещин:

а — реальная зависимость; б — расчетная схема

Обобщив соотношение (5.12) для k блоков нагружения, полу­ чим

Уточнение зависимости для скорости роста трещин. Считается, что зависимость (5.4) справедлива во всем диапазоне изменения величины К, но в эксперименте обнаруживаются определенные отклонения от этой зависимости.

Характерный ее вид в логарифмической системе координат представлен на рис. 5.4, а. Различают следующие три зоны, от­ личающиеся интенсивностями роста трещин: / — с относительно малой скоростью развития трещины [при К < /Сщ. где Кгъ — пороговое (или стартовое) значение КИН, ниже которого скорость развития трещины незначительна); II — с умеренной скоростью развития трещины (при Кхъ •< К < KfC, где /С/с — циклическая вязкость разрушения); III — с высокой скоростью развития тре­ щины (при /С/с < К < /С*, где /С* — значение КИН, при котором прекращается устойчивое увеличение длины трещины и оно пере­ ходит в неустойчивое лавинообразное разрушение конструкции); можно принять /С* = К и — при плоской деформации и /С* = = Ки — при плоском напряженном состоянии.

Для проведения практических расчетов полученную экспери­

При использовании соотношения (5.14) для прогнозирования роста трещин при переменных нагрузках необходимо учитывать историю нагружения даже в том случае, когда параметр п в диапа-

40

кинетика роста трещины зависит от истории нагружения. Несимметричные циклы нагружения. Процесс нагружения ма­

териала в зоне трещины в случае несимметричного нагружения характеризуется циклами изменения коэффициента интенсивности напряжений, а за параметры циклов принимаются максималь­ ное /Стах и минимальное Ктт-значения КИН, размах нагруже­ ния Кр и среднее значение цикла Кт (рис. 5.5). Величины Кр и Кт определяются соотношениями

Циклы нагружения с произвольными Кр и Ктможно привести к эквивалентным по скорости развития трещины симметричным или отнулевым положительным циклам нагружения. Соответст­ вующий размах эквивалентного процесса нагружения обозна­ чается /С8. В этом случае скорость роста трещины можно вычис­ лить по формулам (5.4) и (5.14), если в них вместо величины К подставить значение К9- В зависимости от степени асимметрии циклов нагружения пороговое значение размаха КИН обозна­ чается /Cth,-i при симметричном цикле нагружения и Kth, о при отнулевом положительном цикле нагружения. Аналогично обо­ значаются соответствующие циклические вязкости разрушения:

К/с, -X И Kfc о-

41