книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

ляет композицию двух других известных случайных величин. Вероятностные характеристики всех случайных величин, входя­ щих в соотношение (21.14), известны [см. (21.17)—(21.22)1. Поэтому стандартными методами теории вероятностей можно определить вероятностные характеристики эквивалентного на­ пряжения. В частности, среднее значение эквивалентного напря­ жения

Таким образом, задача расчета живучести при случайных про­ цессах нагружения сложной структуры может быть доведена до численных результатов.

§22. Расчеты при случайном нагружении

исложном напряженном состоянии

Рассмотрим расчет живучести элемента конструкции с трещи­ ной для случая, когда напряженное состояние в зоне трещины характеризуется тремя случайными процессами ах (t), ау (i) и т (t) (рис. 22.1). Эти процессы могут отличаться как по интенсив­ ности воздействия (по дисперсиям), так и по частотному составу.

Полное решение этой задачи связано с необходимостью опре­ делять при каждом цикле нагружения направление развития трещины, приращение ее длины и коэффициент интенсивности напряжений с учетом изменившейся геометрии трещины при этом цикле нагружения. В результате может быть выявлена траекто­ рия трещины и оценена живучесть конструкции. Однако реали­ зация такого пути расчета связана с большими трудностями. Поэтому определенный практический интерес представляет при­ ближенное решение этой задачи, основанное на следующем экспе­ риментальном факте: при любом наклоне трещины по отношению к действующим растягивающим напряжениям рост трещины (после некоторого небольшого числа циклов нагружения) проис­ ходит по направлению, перпендикулярному к этим напряжениям (рис. 22.2). При этом за расчетную длину трещины можно принять ее проекцию на направление, перпендикулярное к действующим напряжениям.

Воспользуемся указанным экспериментальным фактом при расчете живучести пластины, нагруженной так, как показано на рис. 22.1. Поскольку скорость роста трещины пропорциональна частоте процесса нагружения и действующим напряжениям, то направление развития трещины будет определяться из условия максимума произведения этих величин. В первом приближении, однако, можно ограничиться учетом только процесса изменения напряжений. В площадке, определяемой углом а (см. рис. 22.1),

222

где si, si, s2, Кху, Кxx, Kyx — соответственно дисперсии и взаим­ ные корреляционные моменты процессов ах (t), ау (/) и т (t).

Направление, в котором ожидается распространение трещины, определяется из уравнения

Подставив значение угла а из (22.3) в формулу (22.2), получим дисперсию расчетного процесса нагружения. Теперь раочет живу­ чести может быть проведен по методике, описанной в §21.

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть процессы ах (t), оу (t) и т (t) изменяются синхронно и синфазно. Тогда

Ожидаемое направление развития трещины будет определяться из уравнения

Среднее квадратическое отклонение расчетного процесса на­ гружения

223

При Ях = 0 имеем а = О или а = я/2 и дисперсия расчетного напряжения sa — s„ или sa = а» . При sa, = sau имеем а =

= я/4 и sa = sx.

Если заданные процессы ox (t), ау (*) и х (t) являются статисти­

Решая уравнение (22.3) для этого случая, подучаем, что ожи­ даемое направление развития трещины будет определяться либо углом ах = 0 или аа = я/2, либо углами а, получаемыми из уравнения

tg2a = (st — 0,5s2)/(s2 — 0,5sy).

При ат = 0 имеем а х = 0 или а 2 = я/2 и дисперсия расчетного

Расчет живучести на стадии проектирования сложных металло­ конструкций типа статически неопределимых рам транспортных машин и другой подобной техники носит ориентировочный при­ ближенный характер. Это связано с тем, что расчетным путем затруднительно выявить момент перехода материала конструкции из стадии накопления собственно усталостных повреждений в ста­ дию роста усталостных трещин, тогда как каждая из этих стадий разрушения хорошо прогнозируется. Кроме того, расчетным путем трудно выявить отдельный элемент сложной металлоконструкции,

вкотором зарождается первая усталостная трещина, а также спрогнозировать порядок появления трещин в других элементах этой конструкции с учетом влияния вновь появившихся трещин на кинетику трещин, возникших ранее.

Более достоверная информация о закономерностях возникно­ вения и развития трещин в сложных металлоконструкциях может быть получена лишь при их натурных испытаниях в условиях, максимально приближенных к эксплуатационным. Принципиально

втаких испытаниях (при достаточной статистической представи­ тельности опытов) можно выявить все интересующие исследова­ теля закономерности роста трещин. Однако такие испытания весьма трудоемки; поэтому большое практическое значение имеет прогнозирование живучести сложных металлоконструкций по результатам ускоренных ресурсных испытаний натурных конст­ рукций на стендах и полигонах. Для ускорения таких испытаний

224

Рис. 23.1. Схема роста трещин в па­ нели кабины трактора Т-4:

и снижения их стоимости в определенной степени повыша­ ется интенсивность нагружения по сравнению с эксплуатацион­ ной. В этом случае необходимо выполнить пересчет полученных в ускоренном эксперименте за­ кономерностей роста трещин на эксплуатационный режим на­ гружения, т. е. необходимо спрогнозировать живучесть ме­ таллоконструкций по результа­ там ускоренных ресурсных их испытаний.

В процессе ускоренных ресурсных испытаний фиксируются моменты и порядок зарождения трещин, а также выявляются за­ кономерности их развития во времени (см. рис. 8.4). Регистри­ руемые при ускоренных ресурсных испытаниях трещины возни­ кают неодновременно, развиваются с различными скоростями, взаимно влияют друг на друга и имеют различные допустимые размеры. На рис. 23.1 показана схема роста этих трещин. Приве­ денные зависимости будем в дальнейшем использовать для проведения количественных расчетов в рассматриваемом ниже примере.

Прогнозирование живучести сложных статически неопредели­ мых металлоконструкций осложняется тем, что в зоне трещин процесс нагружения не является стационарным даже в случае общего стационарного нагружения конструкции в целом. Действи­ тельно, из основных закономерностей роста трещин в образцах металла, описанных в § 5, следует, что ожидаемый рост трещины

должен происходить ускоренно [при I (t) > 0 ] , тогда как в дей­ ствительности он может замедлиться и вообще прекратиться [при

I (t) < 0 ] . Это объясняется перераспределением поля напряже­ ний при появлении и росте трещины. Это перераспределение на­ пряжений должно быть предварительно выявлено.

Пусть в лабораторных условиях на образцах металла досто­ верно установлена закономерность роста трещин, заданная в виде

кинетического уравнения определяется искомая закономерность изменения напряжений в зоне трещины о = о (<). Пусть, напри­ мер, в расчетах живучести используются зависимости (5.5) и (5.6), а рост трещины в натурной конструкции происходит по линейному

225

МПа.б

закону / = /0 + at (где а — скорость роста трещины; /0 — началь­ ная ее длина). Тогда изменение во времени номинальных напря­ жений в зоне трещины описывается соотношением

где р — параметр (см. § 5).

Из соотношения (23.1) следует, что в рассматриваемом случае уровень напряжений в зоне трещины постепенно понижается.

В качестве примера по формуле (23.1) проведен расчет изме­ нения напряжений в зоне трещин для случаев, представленных на рис. 23.1. Все расчетные данные представлены на рис. 23.2— 23.5. В расчетах принято: п = 3, (J = 1,38-Ю"11 и п = 4, р = = 2,8-10 '15.

Из приведенных данных следует, что в рассматриваемом слу­ чае уровень напряжений в зоне трещин снижается по мере их роста до двух и более числа раз. Полученные скачки в уровнях напряжений могут быть сглажены, если рост трещин при уско­ ренных испытаниях (см. рис. 23.1) представить в виде плавных кривых, не имеющих точек перегиба.

6, МПа

226

6

to

Прогнозирование роста трещин и долговечности. Пусть изве­ стно, что при ускоренных ресурсных испытаниях конструкции уровень воздействий на нее был в определенной степени завышен (по напряжениям, например, в у раз) по сравнению с эксплуата­ ционным режимом нагружения; для этого режима нагружения требуется спрогнозировать рост трещин в исследуемой конст­ рукции.

Поставленная задача может быть решена, если удастся вначале установить закономерность изменения напряжений в зонах тре­ щин для эксплуатационного режима нагружения. После этого задача сводится к интегрированию кинетического уравнения роста трещин типа (5.5) в условиях, когда уровень напряжений во времени изменяется.

Пусть по результатам ускоренных ресурсных испытайий уста­ новлена закономерность изменения напряжений в зоне какой-либо трещины а = o(f), описанная, например, соотношением (23.1) и представленная в виде кривой на рис. 23.6. Для эксплуатацион­ ного режима нагружения начальный уровень напряжений будет равным а0/у, а изменение этого уровня будет происходить по кри­

пользуя соотношение (23.1) и новый отсчет времени при t = t0, приходим к следующему (^отношению для описания закономер­ ности изменения уровня напряжений в зоне трещины, соответ­ ствующей эксплуатационному режиму нагружения:

(23.2)

p(/,YJ + a<)',/2'

Подставив соотношение (23.2) в уравнение (5.5), получим диф­ ференциальное уравнение для определения закономерности роста

227

Рис. 23.8. Прогнозируемый рост трещин (см. номера трещин на рис. 23.1)

Проинтегрировав уравнение (23.3), полу­ чим

Из соотношений (23.4) и (23.5) следует, что при у Ф 1 законо­ мерность удлинения трещины со временем изменяется с линейной (при ускоренном режиме испытаний) на нелинейную (при эксплуа­ тационном режиме нагружения). Причем при у > 1 длина тре­ щины при t оо ограничена значением

возрастает. На рис. 23.7 показаны варианты закономерностей роста трещин, соответствующие различным значениям параметра у.

По (23.5) произведен пересчет закономерностей роста трещин для примера, показанного на рис. 23.1. В расчетах принято, что у2 = 2. Результаты расчета представлены в виде графиков функ­ ций роста трещин на рис. 23.8. Из полученных данных следует, что рост трещин в эксплуатационном режиме нагружения значи­ тельно замедляется и при / -► оо не превышает первоначальных значений более чем в 2 раза.

Полученные данные позволяют также вычислить ресурс кон­ струкции, соответствующий моменту времени Т, при котором

228

Таким образом, по результатам ускоренных ресурсных испы» таний можно прогнозировать живучесть конструкций в эксплуа­ тации. Возможны случаи, когда опасно прогрессирующие тре­ щины в ускоренных испытаниях в эксплуатации развиваются лишь до определенного предела и становятся практически неопас­ ными. Это явление можно назвать эффектом приспособляемости конструкции к развитию трещин. Рассмотренный выше случай линейного роста трещин в ускоренных ресурсных испытаниях легко обобщается на случай любой другой закономерности роста трещин.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Коэффициенты интенсивности напряжений

Растяжение полу­ плоскости с краевой трещиной

Ki = 1 ,1 2 0 V~nl, Кп — K m = О

Растяжение и изгиб полуплоскости с полу-

бесконечной трещиной

Ki =* 0MP/V"c + 4,33M/cVc,

Яи Кш ~ О

230

K i= < *V h (tg nl/h + 0 ,1 sin 2nt/h)

-Ш -

230

231