книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Подставив соотношения (16.23) в (16.16), получим

характеристикам составляющих процесса нагружения в соответ­ ствии с формулами (16.25).

Аналогично определяются расположение опасной площадки и максимальная дисперсия расчетного процесса нагружения для

Расположение площадки с максимальной дисперсией расчет­ ного процесса нагружения определяется углом р = 45°. При этом

max s* = 4(i-ii»)»' + 2р К*у + 4)- (16.30)

172

Для площадок, расположение которых определяется углами у,

Расположение площадки с максимальной дисперсией расчет­ ного процесса нагружения определяется углом у = 45°. При этом

Частные случаи расчета. Рассмотрим процесс нагружения {d* (t), ду (/), ду (f)} с компонентами, которые изменяются во времени синхронно и синфазно. В этом случае Кху = sxs„, Кху = = sxsy\ из соотношений (16.16) следует, что среднее квадрати­ ческое отклонение расчетного процесса нагружения в площадках, определяемых углом а,

где функции Alt и Cx определяются соотношениями (16.22). Проведя исследование функции (16.33) на экстремум, уста­ навливаем, что величина s0 принимает экстремальные значения в площадках, расположение которых определяется из уравнения

При детерминированном нагружении расположение площадок с максимальными нормальными и максимальными касательными напряжениями определяется соответственно по следующим фор­ мулам:

где ех, Е и, Еу — деформации, зарегистрированные в некоторый момент времени в прямоугольной розетке тензодатчиков (см. рис. 16.4).

Формулы (16.35) и (16.36) являются вероятностными аналогами формул (16.37) и (16.38).

173

Подставив соотношения (16.35) и (16.36) в формулу (16.33), определим максимальное среднее квадратическое отклонение рас­ четного напряжения:

при X = 2

Формулы (16.36) и (16.39) можно также получить из общих соотношений (16.27) и (16.28). Действительно, в рассматриваемом случае

Соотношения (16.39) и (16.42) совпадают. Аналогично из фор­ мул (16.41) и (16.27) следует равенство (16.36).

При синхронном и синфазном изменениях компонент процесса нагружения формулы (16.30) и (16.31) принимают следующий вид:

(16.43)

; S * ’ = 2(1 —ц*) f a + !“ »)•

Для дальнейшего расчета необходимо перейти от регистри­ руемого процесса {дх (t), ау (t), ov (t)} к анализу напряженного состояния, определяемого трехмерным процессом {ах (t), <г„ (/),

Пример 1. Рассмотрим процесс синхронного и синфазного изме­ нений напряжений ах (t) и ои (t) при т (t) = 0 (рис. 16.5).

174

бх

№

* 1

Подставиввыражения (16.45) в формулы (16.35), (16.36)» (16.39) и (16.40), установим, что расположение площадки с макси­ мальными касательными напряжениями определяется углом а = = л/4, а площадки с максимальными нормальными напряже­ ниями — углом а = 0. При этом

При 0 < k < 1 опасной площадкой по критерию максималь­ ных касательных напряжений является площадка 2, при k > 1 — площадка 3 (см. рис. 16.3).

Рассмотренный пример показывает необходимость учитывать

Отсюда следует, что опасной всегда будет площадка 1 (см. рис. 16.3).

17Б

Рассмотрим случай, когда процессы ах (i), ау (t) и т (t) яв­ ляются статистически независимыми. Из соотношений (16.44) следует

Из полученных данных следует, что опасной по критерию

Пример 4. Рассмотрим случай чистого сдвига с дисперсией касательных напряжений s?. Из соотношений (16.47) следует

max s\ = s|. а=0

176

Рис. 16.7. Корреляционные (а) и взаимные корреляционные (б) функции про­ цессов изменения деформаций в элементе кабины трактора ДТ-75М при дви­ жении по полю с бороздами со скоростью 6,6 км/ч

Методика расчета усталостной долговечности при плоском напряженном состоянии была апробирована на металлоконструк­

и взаимные корреляционные функции процессов изменения де­ формаций в одном из элементов кабины трактора ДТ-75М при движении по полю с бороздами со скоростью 6,6 км/ч.

Выполненные расчеты относятся к определению долговеч­ ности, соответствующей моменту возникновения усталостной тре­ щины. Образование этой трещины для большинства конструк­ ционных материалов обусловлено напряжениями сдвига. Поэтому ее первоначальное направление, как правило, совпадает с на­ правлением максимальных касательных напряжений. Однако после появления трещины траектория ее развития уже будет определяться, в основном, нормальными напряжениями отрыва

Рис. 16.8. Схема возникновения и распростране­ ния усталостной трещины при -кручении

и в большинстве случаев уже не будет совпадать с первоначаль­ ным направлением. Долом элемента конструкции с -появившейся трещиной может происходить в- течение довольно длительного времени, которое определяет степень его живучести. Характер­ ным является разрушение элемента конструкции, находящегося в состоянии чистого кручения (рис. 16.8). На таком элементе сначала появляется направленная вдоль образующей трещина, возникновение которой обусловлено действием касательных на* пряжений. В дальнейшем трещина отклоняется от первоначаль­ ного направления на угол 45° и развивается уже по спирали, что обусловлено действием нормальных растягивающих напряжений.

§17. Использование датчиков повреждений для прогнозирования остаточного ресурса конструкций

Расчетные методы определения накопленного к некоторому моменту времени усталостного повреждения позволяют оценить долговечность конструкции и ее остаточный ресурс, если будут заданы вероятностные характеристики процесса нагружения. При этом усталостная долговечность конструкции определяется по величине усталостного повреждения v = 1, а остаточный ресурс — по остаточному усталостному повреждению v0 = 1 — \ t (v, — усталостное повреждение, накопленное к моменту вре­ мени t).

Определяющие процесс нагружения корреляционные функции и энергетические спектры вычисляются обычно по результатам эксплуатационных испытаний единичных конструкций. Эти испы­ тания проводятся для всех наиболее характерных условий и ре­ жимов работы. Доля времени работы на каждом из возможных режимов эксплуатации учитывается при формировании усред­ ненного расчетного процесса нагружения. Получаемые усреднен­ ные оценки долговечности и остаточного ресурса существенно отличаются от реальной долговечности и реального остаточного ресурса для данного конкретного экземпляра конструкции, так как для него режим нагружения может существенно отличаться от усредненного режима нагружения.

Значительное уточнение расчета индивидуального ресурса конструкций достигается применением специальных датчиков — свидетелей истории нагружения данного экземпляра конструкции, которые работают по принципу изменения электрического сопро­

178

тивления, происходящего с увеличением числа циклов нагру­ жения.

Простейший вариант использования датчиков для диагности­ рования остаточного ресурса состоит в сопоставлении происшед­ шего изменения их электрического сопротивления с критическим значением этого сопротивления, соответствующего моменту раз­ рушения конструкции. Критическое значение определяется для данной серии датчиков при тарировочных испытаниях на образцах в лабораторных условиях. Обычно используются фольговые и полупроводниковые датчики [5, 10). Критическое изменение их электрического сопротивления составляет 3—10 % от их началь­ ного сопротивления. Вид зависимостей AR = / (N , е) (где N — число циклов нагружения; е — амплитуда деформаций в месте установки датчика) показан на рис. 17.1. Крестиками обозначены моменты разрушения образцов. Критическое значение AR Kpможно рассматривать как константу датчиков, значения которой не зависят от истории нагружения. Эта константа имеет некоторый статистический разброс, вероятностные характеристики которого также определяются по результатам тарировочного эксперимента. В результате испытаний обычно обнаруживается порог чувстви­ тельности е* датчиков, который определяет нижний уровень деформаций, при котором еще происходит изменение их электри­ ческого сопротивления по мере увеличения числа циклов нагру­ жения.

Другой вариант использования датчиков накопления повре­ ждений состоит в определении вероятностных характеристик про­ цессов нагружения и в последующем расчете остаточного ресурса.

Процесс изменения электрического сопротивления ф (N) датчи­ ков можно описать следующим кинетическим уравнением:

-aJ-= /(*>. *). (i7.i)

где х — амплитуда деформаций в циклах процесса нагруже­ ния х (N).

Функция / (ф, х) определяется по тарировочным графикам, показанным на рис. 17.1. В рассматриваемом случае доведение образцов до разрушения не требуется.

Непосредственно по тарировочным графикам определяется функция ф = ф (х, N). Дифференцируя ее по N, получаем ф = = ф (*, N). Подставив в полученное соотношение решенйе уравне­ ния ф = ф (х, N) относительно N, получим функцию / (ф, х).

Пусть в результате наблюдения за работой конструкции в экс­ плуатационном режиме нагружения непрерывно регистрируется

процесс ф = ф (N) и вычисляется его производная ф = ф (N) (рис. 17.2.) Тогда для определения амплитуды xt в момент, опре­ деляемый номером цикла нагружения N it достаточно решить уравнение (17.1) относительно х = xt при заданных значениях

ф = ф| и ф = ф(. Повторяя такие вычисления на каждом цикле

Поэтому целесообразна следующая постановка задачи. Пусть по изменению сопротивления Дф датчика, происходящему за относительно большое число циклов нагружения N0, требуется оценить нагруженность конструкции. В этом случае промежуточ­ ные значения величины ф не регистрируются и могут быть лю­ быми (рис. 17.3).

Будем считать, что функцию / (ф, х) можно представить в виде произведения двух функций (ф) и /2 (х), первая из которых зависит только от ф, а вторая — только от х. Тогда уравнение (17.1) будет дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрировав его, получим

(17.2)

где |Т*1 — значение вычисленного интеграла.

Осредняя обе части равенства (17.2) и полагая, что его левая часть и число циклов N0 имеют малые флуктуации, получаем

со

(17.3)

О

где р (х, а) — плотность распределения амплитуд нагрузок, за­ данная с точностью до неизвестного параметра распределения а.

Соотношение (17.3) представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными N0 и а. Для определения этих неизвестных необ­ ходимо еще одно уравнение, для составления которого используют следующий прием. Наряду с первым датчиком, фиксирующим заданный процесс нагружения, на специальном устройстве (муль­ типликаторе) устанавливают второй датчик, который фиксирует

180

Рис. 17.3. Возможные виды процессов Рис. 17.4. Мультипликаторы накопления повреждений

процесс хг (t) = hx (t), где h — коэффициент усиления мульти­ пликатора. На рис. 17.4 показан один из возможных мультипли­ каторов, представляющий собой пластину с локальным сужением. Принцип его работы заключается в том, что датчик устанавли­ вается в зоне концентрации напряжений и поэтому показывает увеличенное значение изменения его электрического сопротивле­ ния. Коэффициент усиления Л устанавливается при тарировке. На рис. 17.5 показаны изменения сопротивлений первого и вто­ рого датчиков. По аналогии с соотношениями (17.2) и (17.3) можно записать для второго датчика

где Дф2 — изменение сопротивления второго датчика. Соотношения (17.3) и (17.4) представляют собой систему двух

уравнений с двумя неизвестными N0 и а. Чтобы решение этой системы было единственным, необходимо, чтобы эти уравнения были функционально независимыми. Это накладывает определен­ ные ограничения на вид функций /2 (х) и р (х, а). В частности, функция /2 (х) должна иметь порог чувствительности х*.

Рис. 17.5. Зависимость сопротивления датчиков, установленных на элементе конструкции (а) и на мультипликаторе (б), от числа циклов нагружения

181