книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Для круглой трубы радиуса а масштаб /, в соответствии с формулой (130) был вэат ранным

толщины ллэкого подслоя в трубе, что и (1.40), только вместо константы ш будет стоять константа м.

При расчете полей скорости в кольцевых зазорах с использованием уран-

в процессе решения задачи. Решение для безразмерной скорости 1/($) в кольцевом зазоре приведено о работе [14]. В ячейках решеток стержней

21

где. з (ос) есть рассюнние от точки Р до стенки ячейки в плоскости сечения в направлении, задаваемом углом а. При численном решении уравнении дви­ жения (1.33) с учетом формулы (1.34) нет необходимости как-то выде­ лять область вязкого течения. Здесь совместно решается система разност­ ных уравнений для скорости I/, записанных на всея сетке в сечении потока жидкости.

Близкое совпадение расчетных и экспериментальных данных по гид­ равлическому сопротивлению в круглых трубах, кольцевых зазорах внуч­ ках стержней в широком диапазоне измене!о я числа Рейнольде* означает, что формулы вида (1.34) удовлетворительно описывают значения коэф­ фициента турбулентной вязкости вблизи стенок канала, где скорость ш претерпевает наибольшие изменения. Грубая же приближенность формул (1.34) в центральной части потока жидкости лрн расчете коля скорости несущественна, так как в этой области изменения скорости невелики.

В некоторых теоретических работах для расчота паля скорости о уста­ новившемся турбулентном потоке жидкости в сложном канале развива­ лись графические методы, основанные на использовании гипотезы об уни­ версальности профиля безразмерной скорости V = и»/у, по нормалям к контуру поперечного сечения потока или по линиям, перпендикулярным к нзотахак (см., например, ( 1 5 |) . При этом вен трудность задачи перехо­ дит в расчет каса1 слыгых напряжений тсж по периметру ссчснкл канала. В качестве универсального закона распределения скорости жидкости но нормалям к контуру сечения использовалась формула (1.21). У см отрен ­ ные выше палуэмнирические моделл турбулентного обмена ограничива­ ются рассмотрением плоских течений.

При переходе к рассмотрению произвольного трехмерного турбулент­ ного движения жидкости идеи аппроксимации турбулентных напряже­

ний - формулами вида (1.5) не дают непосредственно рецепта (даже без учета указанных выше недостатков) построения аппроксимационных формул для всех шсстл компонент тензора турбулентных напряжений. Поэтому вопрос о модельных представлениях дня всех компонент турбу­

лентных напряжений - ри}»'* и турбулентных тепловых потоков сро\Тг, входящих в обшие уравнения (1 .1 )-(1 .3 ), начнем с рассмотрено про­ странственной (трехмерном) модели мехат«эмл турбулентного обмена в потоках жидкости. Материалы гл. I подробно изложены в работах [1 6 ,1 7 |.

§ 1.2. Трехмерная модель турбулентного обмена для произвольного потока жидкости

1.2.1. Основные гипотезы. Дни описания дополи «тельных турбулентных касательных напряжений и тепловых потоков, входящих в систему усред­ ненных уравнений движения < 1 .1)-(1 .2) и уравнения притока тепла (1.3), механизм турбулентного обмена будем представлять себе следующим образом.

и

Турбулентные движения будем рассматривать как реэулыаг наложения неупорядоченных исустаповнвшихсн вихревых движений на некоторое основное статистически среднее движение. Каждый случайна возникший и быстро исчезающий ' ‘турбулентный вихрь” , имеющий, скажем, попереч­ ный размер 2/. переносит пораню жидкости с поперечным размером ) на расстояние также порядка /. и любой области турбулентного потока мо­ жет существовать множество размеров турбулентных вихрен, однако наи­ более характерный их размер как-то связан со сиойстоами ноля скорости среднего движения в этой области и характерным расстоянием рассматри­ ваемой области потока от неподвижных обтекаемых стенок.

Дин удобства математического описания процесса переноса количества движения и теплоты, вызнанного неупорядоченными движениями порций жидкости внутри нестационарных вихрей, будем представлять себе, что из окрестности каждой точки М потока, рассматриваемой в системе коор­ динат, движущейся со скоростью усредненного потока о точке М, выле­ тают по всех направлениях с одинаковой вероятностью порции жидкости (м оли). Для определения среднего размера молей и средней длины их про­ бега IIIIедем понятие линейного масштаба турбулентности I (Л/), отражаю­ щего характерный линейный размер нестационарных вихрей в потоке жид­ кости.

I) случае вынужденного течения жидкости в закрытом канале вдали от входного сечения будем считать, что масштаб в окрестности произвольной точки М определяется положением этой точки относительна стенок канала, Это допущение аналогично принятому Обуховым в работе [II]. В случае же внешнего обтекания ограниченных тел или движений тина затопленной струн масштаб турбулентности Ь следует считать, кроме того, зависящим и от локальных особенностей ноля скорости усредненного течения (ем.

ном подобии, будем полагать, что модуль характерной скорости движения моля, ' ‘воз1шкаюшсго" о окрестности точки Мъпропорционален модулю деформации \дУ1ди\ поля скорости усредненного движения и точке М и масштабу Ь в зтон точке:

если у* <

(23)

23

ВХОДЯЩИХ в уравнения (1.1)-(1.3). Выражено ри]ц* и сррп\Т1 н какойлибо точке М есть соотиежствсило усредненные турбулентные потоки ко­ личества движения р\>к н теплоты с^д?', создаваемые составляющей пуль­

Рассмотрим такую площадку около некоторой точки М0. Через эту площадку могут пролетать моли из окрестностей различных точек потока. Пусть в какой-то момент времени г через точку Мо пролетает со скоростью У* моль, вышедший из окрестности точки Л). Тогда потоки количеств движения до* и тепловой энергии еррТ о положительном направлении осп х (, переносимые указанным молем через рассматринасмую площадку, будут равны соответственно

ри!(Мо )о* - ри/(М0)ц* (Мо) + ри'ЛМо) ьк(А/„) ^

срр ц (Л/0)Т~ - сррь)(ДГ0) Т '(Л/0) + срр «АгСЛ/о) ПМо).

где Од н Т* - соответственно составляющая скорости о* и температура движущегося моля в момент прохождения его через точку ИГ0. 13 выражскиях (2.4) нас интересуют лишь слагаемые рв/и* и срр и \Т \ так как сла­

гаемые к срр9( Т при усреднении исчезают, 13ели бы моиь двигался от М к А/0 без замедления, го его скорость У* и момент прохождения через точку М& была бы в точности равна алгебраической сумме скорости усред­

где под 7 подразумевается вектор Л/Л/0, В действительности же п результате взаимодействия моля с окружающей средой скорость его изменяется в процессе движения и фактические пульсации Ц;(Л/Ф) будут отличны от вы­ численных до формулам (2.5). Аналогично температура рассматриваемого моля Г* а момент прохождения его через точку М0 не будет равна его температурс а исходной тачке А(, и, следовательно, пульсацию температуры а

24

срри\{М*) Г Ч ^ о ), создаваемые пульсацией скорости и]{М„) при прохож­ дении моля через тачку Мф, запишу гея в пидс

Дин получении усредненных величии рь\и\ \\срри\Т' в точке Мв необ­ ходимо, очешщно, прайме части выражений (2.8), (2.9) ироинтегриривать по окружающей И|К1странстненнсн области /3 с соответствующей весовой функцией -» М0) , яиллюшеПен плотностью вероятности прохождения через точку Л/0 моля из окрестности произвольной точки М:

Разность скоростей усредненного движения У(Щ - У(Ма) на расстоянии

ММ0 длины пробел а моля но абсолютной величине обычно меньше абсо­ лютной величины пульмцношюй скорости моля V*. Поэтому в системе ко* ординат, движущейся «о скоростью усредненною течения жидкости в точке Мф> множество направлений движения молей, пересекающих точку М0, бу­ дем считать приближенно изотропным, величину ^ (ЛГ -*Л/0) будем полагать

пропорциональной фу1ГКЦ1Г1М10р.чалыюго закона —— - вхр [—(Л:0(со)г)3/2 ),

где &0(со) есть коэффициент рассеяния молей, диижушился в окрестное ги точкиЛ#о в иапраилении ы , п - расстояние ЛШв .

Ради простоты введем понятие среднего коэффициента рассеяния к0 ддп молей, движущихся во всех направлениях в окрестности точки М0. С учетом указанного уирошеннн плотность вероятности \р{М пред

) Чтобы нс эклонлть громоздким рассмотрением взаимодействия моля с окру* ЖНОЩеЯ средой песь общий подход в роэвшки пространственной модели турбулентного обмене, получение выражений (2.6), (2.7) для и Г '(|К ,). ослоиаиное на но пользовании работы 118], перенесено в отдельный п. 1,2.2.

25

ставим в виде

где с - некоторый коэффициент пропорциональности. Из усновнк нор. мировки

По определению, коэффициент рассеяния к0 есть величина, обратная сред­ ней длине свободного пробега молен в окрестности точки Д/0 . С учетом

(2.16), в первом приближении будем считать завлекшим только от поло­ жения точки М относительно стенок капала. Диссшжрующее действие стенки канала на пульсации тсплогндродинамнчсских величин в потоке жидкости качественно связано с обратной величиной расстояния от точки М до стенки канала. Поэтому характерный лилейный размер /, в окрестности точки М будем определять интегрированием обратных расстояний от точки М до стенок канала. Правильнее говоря, введем средний по всем направлениям коэффициент рассеяния молей

где / есть расстояние от точки М до стенки канала в направлении, задавае­

мом утлом ьэ. Множитель - в формуле (2.17) выбран так, чтобы для

и

любой точки пространства по отношению к бесконечно протяженной плос­ кости формула (2,17) давала значение I., равное самому расстоянию рас­ сматриваемой точки М по плоскости. Для случая вынужденных течений жидкости в закрытых каналах будем считать достаточной аппроксимацию масштаба I. по формуле (2.17). Вид функций I , вычисленных по формуле

из условий локального подобия турбулентных процессов в различных

ленной Никурадзе но экспериментально измеренным профилям скорости т р у б е [10,191:

к** 0 , 4 4 ( 2 . 1 8 )

Сопоставление функций 1. и к, отнесенных к радиусу круглой трубы <г, при­

где индекс "О” обозначает производную в точке М0. Производные нонаправлению ?, т.е. но направлению ММц, входящие в (2.19), (2.20), запи­ шем в виде разложения по осям координат по формуле

27

+соз(1;лО } /оАз *р(М-+ М0)со*О,х {)(17 +-

+рн рт1 0 „“8 ( 7 > ж , ) + *■

Естественно, что многие члены в выражениях (2.22) и (2.23) являются малыми, и их можно отбросить. Эго прежде всего относится к членам, «держащим произведения косинусов с разными аргументами.

боты ниже рассматривается обмен моля с окружающей средой нс только теплотой, но н количеством движения. Кроме того, здесь используется более общ и гипотеза о самом механизме обмена"субстанциями” между молем ■ окружающей средой,

Итак, рассмотрим движение моля "радиусе” & нэ окрестности точки М через точку ДГ*. На объем жидкости при его движении будут действовать поверхностные силы трепня с окружающей средой. Запишем уравнение юмегкншг количества движения и уравнение притока тепла для движу-

28

шегосн постоянного объема - я/?3 :

движущаяся порция жидкости псрсиоыгт "субстанцию" в окружающую среду молекулярным механизмом. Во-вторых, под действием поверхност­ ных сил тренпп эта порции жидкости рассыпается на мелкие вихри «обм е­ нивается с окружаю щ ей средой "макрочастицами” Поэтому коэффици­ енты А } и Аг предстапнм в виде суммы двух слагаемых, отражающих со-

где Ь1шЬ7, 1>э и & - некоторые безразмерные коэффициенты. Первые сла­ гаемые п правых частях выражений (2.26) отражают действие молекуляр­ ного механизма, а вторые - обмен движущегося объема с окружающей ередоя "макрочастицами" При этом, исходя из качественных физических соображений и соблюдений размерности, считаем, что и вторые слагаемые в выражениях для коэффициентов А\ и А 3 (связанные с рассыланием молен под действием поверхностных спи вязкости) пропорциональны ц/Д.

Коэффициенты 6 ,, Ьг и Ь3 будем считать, вообще говоря, зависящими от числа Рейнольдса дня моли 2ЛУ'(^. а коэффициент кроме того, - зависящим к от числа Прандтля нД . Коэффициент 6 будем считатьпостоян­ ным и равным еддниде, т.е. будем полагать, что рассенваюшнеся эа пределы объема моля "макрочастицы" уносят в одинаковой мере и количество движения, и теплоту, В дальнейшем изложении коэффициент 5 везде будет опущен.

причем скорость движения молл V ' будем здесь считать постоянной во времени величиной. Ввиду волной тождественности способа решения

29

тде

Коэффициент р, будем считать в уравнении (2.28) постоянным. Тогда решекне уравнения (128) при г = 5 =Ш /0 получим в виде

о

где о/(0) =ё|(М ) + К'(Л0со5(у, У^) есть значение скорости движущегося мояя в исходной точке М (т.е. в начальной момент времени). Прсдсташш скорость ц) в окружающей среде на пути ЛШ0 в виде линейной функции расстояния ?:

Естественно, что простейшими аппроксимациями для эмпирических коэффициентов Ь\ , и Ь3 (точнее, для комплексов 0 \Ь 1 + />,), 02Ь, к 0 2* ,) являются константы. Коэффициенты Ь] и А, близки к единице, а коэффициент Ьг определяется нэ дополнительных физических соображе­ ний. Привлекая же имеющиеся экспериментальные данные, например

эо