книги / Статистический анализ геофизических полей

=г?е.

(1 .5 .2 2 )

где <?#г= 6;

Sj, -

гауссовский

белый шум;

=о,

t

t * r

Тогда в

силу закона

больших чисел

t

Ti <W .

f x - * .

-& )r

(Ш .5.23)

ж соглаоно

(Щ .5.20)

при больших

А

статистика

л s & )/\/7Г близка

к нулю. При разладке АР-процеоса

^ , когда

его параметр! равны

Tt = 4

ж

Q,

значение нормы статистики

A $ct)/>fir

увеличи­

вается. Точно также при отсутствии

разладки

разность

во

втором

из выражений (Ш. 5.2-1) близка к

нулю при всех

t e f f t

в

силу урав­

нений Юла -

Уокера

(поскольку

оценка At */A

ковариационных мат­

риц АБ-процеооа -

- соотоятельны) и,

следовательно,

значения

А *

близки к нулю. При разладке АР-процесеа новые значе­

ния ковариационных матриц Я * / Л

уже не удовлетворяют уравнениям

Ш& - Уокера со старыш коэффициентами

4 и норма статистики

А*&) / №

увеличивается.

для проверки гипотезы оогласия,

если использовать априорную ин­

формацию о значениях параметров

в

процесса

после разладки с це­

лью задания априорного распределения

А( х) ,

где <Г= 9 -

f t .

В частности,

когда

вектор

v

известен точно,

т .е . известны па­

раметры f t

l e {? ,

£>t , l e t ( J

АЮС-процесса

после разладки,

то АО алгоритм обнаружения разладки имеет вид:

Л ,

еоли

& (% & )) >

(Щ .5.24)

О,

если

/$ ( % » )) < * '( ,

где

j>j ft U )) - х

тИГ <%(*),

4

) '

^

- A, J o * ) '

* 6Ч >

'•>*& )■

Используя матричную запись

(Щ .5.8)

для АД статистики АРСС-процес-

са, можно придать статистике АО

теста

(f .5 .2 4 )

выразительную

форму:

/>, (ft* ))

irJ

J

,

(Щ .5.25)

где

= \ ~

4 = К ~

4

и предполагается,

что

- верх­

няя

треугольная матрица, a

-

нижняя треугольная, матрица.

В противоположной

ситуации,

когда о векторе

Р

после раз­

t/rr

п . г , ) - к 1 н гф >

i n

.5 .2 7 )

vs

В результате статистика обнаружения

(Щ .5.26) представима в виде

Л

I r (*»Cif '

* <г, т

' г г« £ ) & (t„ С*)).

Поскольку матрица £ '*(% ) -

также

верхняя треугольная

процедура,

вычисление F((~ (t ))

требует уже

не

s * ,

a s (s + i) //

(где s =

= я 3 (р*<{)+ м (т н ) / г

) машинных операций.

Заметим, что

вычисле­

ние матрицы l~ T ((F )

(также

производимое

только при адаптации)

на превосходит

по количеству

операций процедуру вычисления матри­

"чистого" АР-процесса вычисление

F(pT)

можно осуществлять и дру­

гим методом. Согласно

( 1 .2 .4 4 ) ,

матрица

f ( e 0 ) для этого

процес­

са равна

Г *

^к t>

(1.5.28)

Г * Г ’ ® 4Г*.

Элементы матрицы Г а

и

выражаются формулами

Г”

~Р~7

£

r,k,e/,sef/fQ,

(Ш .5.29)

М> (t)S)

* (г#)

tsA)

^Urk) a m )

~ 4>vrj С1-а<зк) >

t,/t e f,/>.

В выражениях

(1 .5 .2 8 )

и

(ffl.5.29) матрицы

cf , r e $/i -

ковариа­

ционные матрицы АР-процеоса до разладки,

определяемые параметра­

ми

Лр

i e i/>

ж С

этого процесса. Как указывалось в

разделе

Ц .2,

эти матрицы могут быть найдены в результате решения системы

из р + {

матричного уравнения

% 4 Ъ “ <%. ls%,

5

4 С

Ш.Б.30)

Имеет ли преимущество вычисление

элементов ПНФ-матрицн АР-процес-

са

по формулам (1 .5 ,2 9 ) ,

(Щ .5.30)

перед вычислением по формулам

(П .2 .3 4 ), очевидно, зависит от конкретной

реализации программ.

Для чистого АР-процесса вычисление статистик

(Щ .5.25)

и

(Ш .5.26)

в режиме окользящего

окна можно еще более

упроотить, ис­

пользуя

представление (1 .5 * 2 1 )

для матричных компонент АД отатис-

тики этого процесса. Подставляя выражение

(Ш .5.21)

в теот Щ .5.25),

легко

привести

статистику

к виду

•/°г(Г» (*}) ~ 7 ? т ^

i r f y

K

(*)

%■

(Щ .5.28)

где

Фг ,

Ут

и

S очевидным образом, хотя и несколько громоздко,

выражаются через матрицы 4.

, 4

ж

$

. Поскольку матрицы

<рт,

Рт,

S

вычисляются один раз в процессе адаптации к

параметрам

процесса до и после разладки, вычисление статистики

®

форме

Щ .5 .2 8 )

проще, чем при использовании формул

(Ш .5.20)

и

(ffi.5 .25), так

как исключается процедура

фильтрации

в £

4 Tf _k

, В силу линейной зависимости

(*))

от

элемен­

тов

корреляционных матриц

A *(t)

формула

(Щ .5.28)

может

быть ове-

дена к

простейщему виду

( Ь Ш

=

(f# Cf)),

(Ш .5.29)

где

f

(Jfc(t)) -

(A*( m &),

r, a e

{m ,

т е £ р ) -

вектор,

состав­

ленный из элементов матрац

<*),

r e ftp;

°с

- вектор,

элемен­

ты которого выражаются через параметра

4,,

S

ж V АР-працео-

оа до

и после

разладки.

Совераенно аналогично можно показать,

что

отатистика (1 .5 .2 6 )

ж ж ет

быть сведена к виду

f r(>%W) " € (

>

где

№

-

матрица, выражаемая через

4 ,

</>, 4

риационных матриц R f. (t)

процесса

-гГ в

скользящем временном ок-

<Р и с .

М . Модельные исследования

однокомпонентных алгоритмов

обнаружения разладки

случайного процесса:

о шумом (отношение

а -

реализация

смеси случайного

сигнала

сигнал -

шум 0 ,5 , момент вступления

сигнала

= 500); б - ста­

тистика МОФ-обнаружителя;

в - статистика

д

-обнаружителя