книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdff j i r ) “ |
^ |
'* Tt ' *#>*) * ГГ " *%• |
(1У.2.9) |
* u |
It) |
|
|
Выделим важный ышоо потоков - стационарных, используемых ниже, Стационарным назовем поток, даютнооти которого не меняются при произвольном сдвиге в области задания аргументов. Из етого определения оледует, что моментные функции, начиная о моментной функции второго порядка, зависят от разнооти аргументов, локаль ная интенсивность потока постоянна, а плотности , * ) инвариантны относительно сдвига в облаоти значения аргументов.
Стационарный олучайнцй поток называют ординарным, воли веро ятность того, что в малом интервале времени длительности дА про изойдет более одного вступления - величина порядка малости out):
Р { л/СAt ) > / } |
при |
— 0 . |
(1У .2 Л 0 ) |
Воли отационарный процесс |
ординарный и удовлетворяет условию |
||
отсутствия последействия ( т .е , количество оигналов, вступивших в
цепереоекающихся интервалах, - независимая случайная величина), |
|||||
то такой поток |
называют простейшим, или пуассоновским. |
|
|||
В дальнейшем понадобится выражение условной плотности рас |
|||||
пределения яп/д |
( гг , Г |
„ /г/ , , , , , глг, te , |
t-) появления сигналов |
||
о параметрами |
|
>тп |
при условии, что в |
точках г} ' , |
в |
облаоти ( 4 > * |
) |
вступили сигналы. Эту плотность можно определить |
|||
из соотношения |
|
|
|
|
|
* » * * * > . " • . » * , |
г?> — |
га - **> |
~ |
45 +* СгГ ' " " г/ |
)х *М |
гп /тГ " - ’ га >*•>*). (Э .2 Л 1 ) |
|
которое следует из выражения полной вероятности через условную.
|
Вероятность появления |
р сигналов в |
А облаоти, |
где |
а |
= |
||||||
” |
п |
Г; |
+ А ) |
|
|
, |
|
|
|
и |
|
|
.V? ( ri > |
и |
А сигналов в А области, где |
л = t)^ ( г ! |
|
||||||||
т!+ а '- )/*„+£ |
(А , |
а ', |
, t |
)j равна вероятности |
% ( а ') появления |
|||||||
^-оигналов в облаоти |
А1, |
умноженной на вероятность |
появления |
|||||||||
р |
оигналов в |
облаоти |
д , |
при условии, что |
в |
а ' имеется |
А |
оиг |
||||
налов, а в |
остальной части |
интервала ( te , t |
) |
оигналов вовсе |
нет: |
|||||||
|
Рп н (А,А\А0,* )‘:Х(т7,.,.,тГ11Гу,.„,т1, t0,t ) ir |
A^'r .jl[ni)U )J. ПТ.2Л2) |
||||||||||
|
Принимая во |
внимание, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||
211
Pk u ' ) |
* 4 (r'f , r / ) A ' r..,jJ{7 +0{ i ) ] t |
(£f.2.13) |
||
|
|
|
||
и устремив 8 |
к 0, получим формулу |
( £ 7 .2 ,1 1 ) . |
|
|
Рассмотрим некоторые модели процессов, которые могут |
исполь |
|||
зоваться для |
моделирования потоков |
сейсмических сигналов, |
посту |
|
пающих на регистрирующую аппаратуру в фиксированной точке проотранства. Подробно остановимся на пуассоновском потоке точек,
Важная роль пуассоновских потоков в приложений определяется преж
де всего тем, что суперпозиция большого чиола независимых Пото ков при некоторых условиях близка к пуассоновскому потоку ДО/Ч Точки последнего обладают тем свойством, что их реализация в об ласти равномерно "разбросана" в этой области /2§7.
Еоть много эквивалентных способов задания пуаоооновскогс по тока. Будем следовать определению Д о 7 , позволяющему представить пуассоновский процеоо как чаотный случай рекуррентного потока.
Пусть |
а7, |
- |
взаимно независимые случайные величины о |
|||||||
одинаковым показательным распределением |
Р (8 )=7-g~*J , |
а |
||||||||
|
|
Sg* |
|
ft ж7,2 |
|
Sg ”0 . |
(fjf.2.14) |
|||
Введем семейство |
случайных величин |
H it) |
таких, что |
H it) |
||||||
еоть число |
индексов |
к & I , |
и для этих индексов |
4 « t . Событие |
||||||
[ H ( t ) |
} происходит, |
если |
4 * * и |
4 * / ^ |
> |
Определенный |
||||
случайный процесс H it) |
назовем пуаоооновским. |
|
|
|||||||
При произвольной функций распределения |
А интервалов задан |
|||||||||
ный таким образом случайный процеоо |
H it) называется рекуррент |
|||||||||
ным потоком, который тоже можно использовать для моделирования процесса поступления сигналов на регистрирующую аппаратуру дйй различных классов волн.
Вычислим вероятность отсутствия сигналов на интервале яри
условии, что в |
точке^ Г сигнал вступил: |
|
|
|
Р Л л / r . t |
) = \ |
л е ~ я ( / ~гЬ х |
* |
(1 7 .2 .1 5 ) |
|
г |
|
|
|
Определим плотность распределения одиночного вступления на интер вале ( г, t ) при условии, что г является параметром сигнала, предшествующего данному:
T j , r , t / r ) =>н е~ л Ъ - г ) 4 / г (Ь * )ш Яе~ л |
( { у ,2 Л б) |
Плотнсоть распределения я сигналов на интервале |
{ С, t ), |
если г - точка вступления сигнала, имеет вид: |
|
2 12 |
|
*%(*/> " ’ Tn> T' f/r ) |
j -л £ / r , -r ._ f ))pa/r„(r„,t) |
|
||||||
* я *е -л и ' т ) . |
|
|
|
|
|
|
(Г У .2 Л 7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из выражения (ГУ ,2 Л 7) следует, |
что |
плотность * „ //* » >г> t fr ) |
||||||
определяется произведением плотностей для параметров |
т{- одиноч |
|||||||
ных сигналов, сдвинутых на |
р Д / |
> и вероятности отсутствия |
сиг |
|||||
налов На интервале |
|
) . В (1 У ,2 Л ?) |
формально полагаем гд = гг |
|||||
т . е , начало оточета интервала |
( ?, |
t ) |
является точкой |
вступ |
||||
лении сигнала. Безусловная |
плотность |
л „ |
(г„ , г , t/т ) совпадает с |
|||||
условной плотностью |
Ц У .2 .1 7 ), если |
tg - |
точка вступления |
сиг |
||||
нала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что в начале интервала всегда происходит со |
||||||||
бытие. Припишем ему |
нулевой номер и примем, |
что такой сигнал |
||||||
имеет нулевую мощность. Это означает, |
что |
в |
интервале |
( ta , |
t ) |
|||
плотности распределения моментов вступления сигналов всегда ус ловные, Условие заключается в том, что время вступления первого оигнала минус tg это интервал между двумя сигналами - нулевым
и первым.
Моментнце функции для пуассоновского потока определяются сле
дующими выражениями ДО/: |
|
f „ ( r 7 , , „ , T JI) - A 7}. |
(Г У .2Л 8) |
Для моделирований потока оейомических сигналов представляет интерес поток Бернулли. Это такой поток, в котором точки выпадают независимо, а их число в области ( t„, t ) не превосходит заданно го Д О /.
|
Парциальная плотность |
^ |
I Г ) |
распределения для момента вотуп- |
||
ления |
/ -го из Л |
возможных |
сигналов: |
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
\ejlr |
|
|
|
(!у.2Л9) |
|
|
*0 |
|
|
|
|
где |
- вероятность появления на |
интервале ( |
t9 , t ) сигнала о |
|||
индексом / . Этот сигнал будет отсутствовать с вероятностью |
||||||
jy. - |
/ ~ / j . |
|
|
|
|
|
|
Плотности |
tg , t ) |
для |
этого потока |
следующие Д о / : |
|
|
|
жв ^ о > |
* ) ~ |
J • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213
*2 |
( r;> rj > |
r |
* /< * })* ? ( £ ) |
sim (2); |
|
|
f ) ^ !P0 |
|
|
|
|||
|
|
‘<j |
А |
Ц |
|
(1 7 ,2 .2 0 ) |
|
|
[ f a / ? ; ) ) ' , „ ( * ) |
|
|||
Символом |
s im (n ) обозначена операция |
симметризации выражения, |
||||
стоящего в фигурных скобках. Эта операция заключается в нахожде
нии среднего арифметического от |
я ! |
функций, |
образованных пере |
||||||||||
становками аргументов в |
выражении, |
стоящем в |
фигурных скобках. |
||||||||||
Перестановки рассматриваются лишь для тех |
аргументов, которые да |
||||||||||||
ют несовпадающие результаты. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Еще один класс потоков, который может использоватьоя для мо |
||||||||||||
делирования потоков сейсмических сигналов, - |
рекуррентный. Это |
||||||||||||
такой поток, в |
котором протяженности интервалов Между сооедними |
||||||||||||
потоками независимы и одинаково распределены. |
|||||||||||||
|
Пусть |
х в (&) плотность |
распределения длины интервала между |
||||||||||
соседними вступления!,® |
сигналов: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Х д Ц ) , |
A Z D |
|
(Ц .2.21) |
||||
|
|
|
|
|
|
о, |
j |
< о . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Индеко 0 в обозначении плотности подчеркивает, что на интер |
||||||||||||
вале |
Л сигналов не поступило, |
а |
вотупление |
произошло в гранич |
|||||||||
ной точке |
отрезка |
J |
. Пусть точки |
|
, т |
разбирают отрюзок |
|||||||
наблюдения на интервалы |
J t- |
- ( г-_7 , |
т{ ) , |
|
|
||||||||
|
Из определения рекуррентного потока следует, что плотность |
||||||||||||
распределения -г„ ( г? |
, |
т„ , t e , |
t / t g ) равна |
произведению плотно |
|||||||||
стей вероятностей |
|
/7 хд ( |
i - ) |
и вероятности |
отсутствия сигналов |
||||||||
на интервале ( |
|
t |
), |
которую обозначим |
Ре (*-~ г„)при условии, |
||||||||
что |
в t0 |
было вступление |
сигнала: |
|
|
|
|||||||
|
|
жв ( г7 , '"г тп > |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- ;П= *о ( ri |
~ r i~} ) |
Ъ |
( * |
~ г„ |
) • |
|
(17.2.22) |
|||||
|
О вероятности |
|
Рв ( * - г „ ) отсутствия сигналов в ( г1, г п ) мож- |
||||||||||
214
но сказать, что |
она равна вероятности первого |
после |
гя |
вступле |
|||||||
ния в точке |
г^, |
, |
которая принадлежит области |
(* ,< * > ): |
|||||||
|
p . ( t |
- |
г |
) |
'.(4 /rn ) t o |
У |
^ |
; л - / |
- | ^ |
; л |
.(| у -2 .2 з ) |
|
|
|
|
* |
|
*~т, |
|
|
9 |
|
|
|
В дальнейшем будем рассматривать потоки, для которых в точ |
||||||||||
ке |
t0 предполагается вступление |
нулевого сигнала. Это даст воз |
|||||||||
можность рассматривать первый из интервалов |
не |
отличающимся |
|||||||||
ОТ остальных, |
а |
уоловиа |
га будет воегда выполненным. В |
обозначе |
|||||||
нии плотности вектора |
» { гй , . . . , |
) |
вступлений |
оцустим точку |
|||||||
г0 |
вотуплекия |
нулевого |
сигнала. Тогда |
|
|
|
|
||||
|
|
|
tf , t ) - |
П * в (гг |
г{ |
)Pe (t - r „ y , |
|
|
( I J .2 ,2 4 ) |
||
|
|
|
|
|
r i |
t- Г |
|
|
|
|
|
Для определения интенсивности рекуррентного потока понадо бится характеристическая функция случайно распределенного интер вала 4 ’*
|
|
|
|
|
• |
(U .2 .2 5 ) |
Интенсивность потока |
f ? (r\ задана |
как плотность вероятности |
||||
вступления |
сигнала в |
точке |
? |
независимо от того, |
были ли еще |
|
вступления |
в области |
( tB , |
t ) . |
Цоэтсму |
/, ( г ) определяется как |
|
суммарная по воем условиям вероятность вступления сигнала в точ
ке |
Г |
при условии, |
что имел место вектор г£ |
вступлений до |
точки |
Г , |
причем Г „ “ Т |
и вектор i%, вступлений на |
интервале ( г, |
t ) |
|
имеет |
вид: |
|
|
|
|
Ж
т
- r ) d r ; pmf е0 (rs ~rS4)P 0 Lt-rm) d r s .
(iy .2 .2 6 )
Второй сомножитель в выражении (ГУ .2 .2 6 ) представляет собой полную группу несовместных событий, а именно выпадение в интерва ле ( Г, / ) одной, двух и так далее точек либо отсутствие точек в втом интервале, поэтому
т~0Г г( - {* А ~ ГЩ L*o(rs - rs-?)/>o(t-rm)*T*= ' • Ц У .2 .2 ?)
215
Первый сомножитель в |
выражении (1 7 .2 .2 6 ) - |
это |
/’-кратная |
свертка функций <eff( J ) , |
поэтому характериотическую функции выра |
||
жения, стоящего пол знаком сумма, получим как |
л -ю |
степень |
|
Широкий класс реальных потоков может моделироваться рекур рентным с гамма-распределениями интервалов J , поскольку гаммараспределение удобно использовать для списания случайных величин
с одномодальной плотностью распределения, |
ограниченных с |
одной |
|||||||||
сторона /62/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим подробнее тленно |
э т о т ви д |
п о т о к о в . |
|
|
||||||
|
При |
разных |
соотношениях парамотров гамма-раопредоления |
||||||||
и ji |
плотность |
распределения |
имеет |
самую различную |
фор |
||||||
му. В частности, |
при |
V #/ |
график плотнооти распределения |
имеет |
|||||||
вот убывающей функции, а при |
<* > / - это |
одновершинная кривая о |
|||||||||
максимумом в точке |
J |
d ~/ |
|
_ |
|
|
ы. меняется |
||||
« - д - |
• При изменении параметра |
||||||||||
Форш гамма-распределения, |
а |
при изменении параметра |
А - толь |
||||||||
ко |
его масштаб. Это |
распределение описывает время, необходимое |
|||||||||
для |
появления ровно |
|
оС нозависимых ообытий в потоке |
Пуассона («: - |
|||||||
целоо), |
еоли эти |
события происходят о постоянной интенсивностью |
|||||||||
А • Такое свойство |
гамма-распределения обусловливает |
его |
широкое |
||||||||
применение в статистических моделях. |
|
|
|
||||||||
|
Итак, пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=а ^г ~!(°1 )/~ 7е |
^ > Л а >0 ’ л >#> |
( т у . 2 . 2 9 ) |
где |
|
|
r u ) |
. |
(1 У .2 .3 0 ) |
о |
|
|
Тогда
лoi-r
(1У .2.3Т )
Здесь Р0 { t ~ rn ) выражается неполной гамма-функцией
216
|
|
|
|
|
*~ г» |
|
|
Ре |
( f - r „ ) = |
/ - |
7г |
(и)\ |
е ' Р * / ~ 7t/j . |
(1 У .2 .3 2 ) |
|
Из выражения |
(1 У .2 .2 9 ) |
видно, что гаммэ-рэопределение зада- |
|||||
етоя двумя параметрами |
и ж /з |
, |
которые определяют математическое |
||||
ожидание |
/ и дисперсию |
~ |
|
. Характеристическая функция для |
|||
этого распределения /81/ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- |
( |
' |
- ’Я ' |
(1 У .2 .3 3 ) |
|
|
|
|
||||
Сучетом формулы для характеристической функции и того йакта, что Д-л степень ее / / ( & ) будет характеристической функцией гамгла-
раопределенной случайной величины, но с параметрами # и т>и, запишем выражение для интенсивности потока
|
|
„пи |
|
|
|
/ ( г ) = е ^ ГЕ |
пи- 1 |
при t = 0 |
(1 У .2 .3 4 ) |
||
Г (п и ) |
|||||
' |
п=/ |
|
|
||
Поскольку |
пуассоновский поток - |
частный случай |
рекуррентно |
||
го потока с гамма-распре,делением интервалов при значении парамет
ра U - 1 , то интенсивность пуассоновского потока будет
|
|
/(Г) -ре~р Z |
|
|
|
|
‘fi■ |
|
|
(iy.2.35) |
||||
Представление фронта волны |
(ГУ Л .7 ) |
позволяет |
рассматривать |
|||||||||||
в некоторой точке |
xt фронты волн как |
поток, |
реализацией которого |
|||||||||||
является |
поток |
векторов |
а} , |
г = - 1 , 2 , . . . |
Упорядочение волн осу |
|||||||||
ществляется по общегрупповому для компонент вектора |
|
параметру |
||||||||||||
в <0 , В точке |
хе |
такое |
упорядочение соответствует |
естественному |
||||||||||
порядку |
следования |
сигналов во |
времени, поэтому можно выбрать мно |
|||||||||||
жество функций |
9 ^ ( х ) , . ; , , ?т ( л ) |
таким, |
что |
|
= |
f ; |
( хд ) = 0 , |
|||||||
Каждый вектор |
Т- |
- |
это |
группа |
параметров, |
которая |
определя |
|||||||
ет фронт |
1 —й волны в |
потоке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сведенные в'матрицу |
вое векторы |
at i |
, |
где |
i - |
номер |
||||||||
строки, |
полностью определяют все фронты волн |
/ -г о |
класса, кото |
|||||||||||
рые запишем в |
виде векторной функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Г (Л) |
=АГ(л)- |
|
|
|
(17.2.36) |
||||
В таком представлении все матрицы |
^ |
= т/л/, |
сведенные в |
вектор |
||||||||||
X - |
определяют фронты волн всех |
клзоооь. |
|
|
|
|||||||||
217
|
Можно предположить статистически связанными лишь соседние |
||||||||||
из вступающих волн, что и определяет |
выбранную модель рекуррент |
||||||||||
ного |
потока общегрупповых параметров. Первый вектор-столбец |
в |
|||||||||
матрице |
А^ - |
это вектор общегрупповых параметров |
гГ = |
|
|||||||
Распределение |
матрицы параметров Ак |
представим в |
вийе к |
|
|||||||
|
|
|
|
f Н |
} v f e |
|
|
} / |
|
(Т 7 .2 .3 7 ) |
|
где |
А[ - |
матрща параметров ai i s ; |
i |
* 4^, ; |
s = rim. |
|
|||||
Тем самым выделяем вектор общегрупповых параметров, |
который опре |
||||||||||
деляет данный класс волн как поток, |
и считаем |
его |
не |
зависящим |
|||||||
от элементов |
матрицы |
Ак ■ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Все приведенные раосуждения и формулы для потоков полностью |
||||||||||
применены к вектору |
tTtt . В матрице |
А’ |
/ -я вектор-строка |
aj . |
|||||||
определяет форцу годографа |
г-й волны |
/-го класса. Из физичеоких |
|||||||||
соображений можно предположить сильную связь форм фронтов лишь
ооседних волн. Будем очитать, что поток векторов |
ait |
образует |
марковокий процеоо, т .е . раопределениа векторов |
, |
i = Щ |
удовлетворяет условию |
|
|
р ( % / % / > - > K i- y ) *Р (% / K i -г ) »' |
|
(Г У .2 .38) |
Приведенное описание структуры потоков фронтов волн предпо лагает, что есть система, которая в некоторые моменты времени, определяемые потоком общегрупповых параметров, меняет свое со стояние . Претем переход из предыдущего состояния в последующее
не зависит от всей предыстории процесса, а определяется лишь предшествующим переходу состоянием системы. На первом этапе ис
следования можно предположить, что распределение вектора |
лог |
||||||
нормальное. Зависимость распределения /-го вектора аЦ- |
от |
||||||
предыстории такая, что |
£ |
{aki /<т^_7 } - а к / _ / - воктор математи |
|||||
ческих ожиданий компонент; он равен |
значению вектора |
Кова |
|||||
риационная матрица & в общем случае зависит от значения |
обще |
||||||
группового |
параметра |
aki0 |
. Это |
распределение |
|
||
П |
К - н п , ; - |
|
т , п ) - |
(1У .2.3Э ) |
|||
|
|
||||||
Совмеоткая плотность распределения элементов матрицы с уче |
|||||||
том принятых допущений имеет вид: |
|
|
|
||||
Р(Ак ) "Pi^kt |
|
|
) ) > |
(Ц .2 .4 0 ) |
|||
претем |
» тк = { тк . j , |
j *Цт |
- |
вектор |
математических ожида |
||
ний компонент, определяющий форму годографа |
поршой из вступивших |
||||||
волн. Будем считать, что он априори известен. |
|
||||||
218 |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку вектор общегрупповых параметров рассматриваем как реализацию потока, для которого приняты обозначения
|
|
|
|
- |
f a |
f |
f . , |
■ * % ) ) , |
(17.2,41) |
|
|
|
|
|
г•=/ |
( |
*!-/ |
|
|
где чк |
- |
размерность |
воктора |
аке |
и число |
строк прямоугольной |
|||
матрицы |
Лк ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор флюктуирующих параметров формы волн каждого из пото |
|||||||||
ков волн |
= { Ск!] } , |
у ‘ ?7п |
будем |
считать случайным нормаль |
|||||
но распределенным с вектором математических ожиданий компонент
тн = { гг>к Г J , / , и матрицей ковариаций &t ; } ,
0,р - 1 * .
Можно предположить, что |
случайная матрица |
флюктуирующих |
параметров формы вступающих волн к-г о класса тлеет |
структуру, |
|
подобную случайной матрице |
параметров, задающих фронты этих |
|
волн. Буцом считать зависимость соседних в матрице строк несуще ственной, т .е . строки случайной матрицы Ск статистически незави симы. Вся информация о флюктуирующих параметрах Лормы сигналов,
образующих |
й поток волн, содержится в |
случайной матрице |
/у . |
|
Нужно учеоть, |
что мощность реально |
регистрируемых сигналов |
зави |
|
сит от пространственной координаты |
х и t |
, поскольку сигналы, |
||
вступающие в более поолнио моменты времени и в более удаленных от источника возбуждения точках в среднем слабее оигналов, всту пающих в более близких к источнику возбуждения точках простран
ства |
и в более ранние моменты |
времени и з-за естественного затуха |
ния, |
поглощения и расхождения |
энергии. Поэтому энерготический |
процесс формирования потока волн любого из классов явно не ста ционарен. Боли учесть, что регистрирующая сейсмические сигналы аппаратура может работать в режиме автоматического изменения чув ствительности, которая зависит от энергии процесса в некотором
интервале предыстории процесса, то зарегистрированный таким обра зом процесс можно считать энергетически стационарным. Однако по добное изменение чувствительности приводит к искажениям Форш ре гистрируемых сигналов. Энергетическая стационарность обеспечива ется регистрирующей аппаратурой во воем ее динамическом диапазо не. Так как форда регистрирующих оигналов существенно зависит от предыстории процесса, естественно считать, что Форш даже сосед них сигналов одного класса существенно различаются. Все оказан
ное позволяет |
предположить, |
что в той части волнового поля |
! / ( * , * ) , где |
усредненная по |
некоторому интервалу анергия форми- |
219
рующих его волн не выходит из динамического диапазона аппаратуры, работающей в режиме автоматической регулировки чувствительности, процесс можно рассматривать как образующийся из сигналов, форма которых для каждого класса находится по нормально распределенно му вектору параметров о вектором математических ожиданий этих па
раметров, не зависящим от |
X и / . Можно восстановить |
неискажен |
ную форму записи у 11, X ) |
в точке х , если параллельно |
о y ( t ,x ) |
регистрировать и изменение чувствительности аппаратуры; при циф ровой регистрации это можно осуществить на ЭВМ. Если анализирует ся энергетически нестационарное волновое поле, то вектор матема тических ожиданий параметров формы &£ . / ( %; <*>) зависит от мо мента вступления данной волны и от координаты / .
Будем предполагать, что распределение матрицы ^ имеет вид
|
- |
t f * ( ( |
Л |
|
)> |
& (<**<>;))• |
|
|
|
|
|
|
|
'HJ |
|
|
|
(Ц .2 .4 2 ) |
|||||||
|
|
J 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
St i - |
матрица ковариаций вектора |
|
|
|
|
|
|||||
Тем |
сам а! предполагаем, что |
строки матрицы |
Ct |
|
зависят от обще |
|||||||
группового |
параметра |
ate |
группы параметров, |
определяющих фронты |
||||||||
волн |
в фиксированной точке |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если волны |
i - го |
класса образуют поток детерминированных по |
|||||||||
форме сигналов, |
но лишь флюктуирующих по амплитуде, |
то в выраже |
||||||||||
нии |
(£УЛ Л 2) матрица |
Mk |
будет детерминированной, |
а вектор |
^ - |
|||||||
случайным, |
компоненты которого являются случайными флюктуациями |
|||||||||||
амплитуд волн этого класса. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Нужно отметить, |
что |
размерность матрицы |
^ |
завиоит от |
раз |
||||||
мерности вектора |
at 0 , так |
как |
чиоло столбцов |
в |
Ct |
равно |
- |
|||||
размерности |
вектора |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При независимых потоках сигналов и принятых допущениях о |
|||||||||||
структуре случайных матриц |
^ , 4 совместное |
распределение |
всех |
|||||||||
случайных матриц будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(il.z .43)
Случайный процеоо
. 220