книги / Статистический анализ геофизических полей

Вычисление байеоовской оценки

(1 .3 ,2 ? )

при сложной функцио­

нальной ф орт распределения р

в )

практически возможно лишь

при некоторых специальных функциях потерь

, что приводит,

в ( T ^ a r y m n p ( f y e )/>(»), где

J ° ( e ) = J f r g T

№

) Л 1 Л Ж )

ff G Qjj

7

плотность априорного распределения. Сценка

( f .3 ,3 4 )

вычисляется

аналогично ШП.

Итак, в практических ситуациях

оценки

(1 .3 .2 6 )

и

(1 .3 .2 ? ),

из таких методов указал Ле-Кам /1о8, 109/.

Его метод

заключается

в улучшении произвольной

? -состоятельной

оценки

& * до аоимпто-

тичеоки эффективной в

смысле Фишера оценки

^

го

формуле

Г„ Гп ' ( Г ) * ^

У■

< i-s -3 5 >

Оценки

( J .3 ,3 5 )

предпочтительней оценок маноицума

правдоподобия

по той

причине,

что функции 7 7 ( 1 ^ 9 ) и

f y ( f )

, входящие в

асимп­

тотическое

разложение

( Г .3 .3 1 ),

в

большинстве

случаев могут

быть

выбраны существенно более простыми в вычислительном отношении,

чем функции Чр(х^', 9 )

и

М£р(7к ', & ) ] -

соответственно градиент

и Хеооиай рС*# >

9 )

используемые при численной минимизации фукк-г

ции правдоподобия / 267.

Более

совершенными в

практическом отношении оказываются р ас-

оматриваемые ниже обобщения метода Ле-Кама.

Яроцедуру

(Г .3 .3 5 ) улучшения

^-состоятельной оценки можно

рассматривать как случайный оператор из # 1

в

f i t :

( в ) *

( J .3 .3 6 )

где вектор

распределен в соответствии со значений* параметра

^ , которое имело место в данном статистическом эксперименте.

Рассмотрим д-ю

итерацию этого оператора

при произвольном

начальном условии,

отстоящем от

^

не

более чем на

г

*.

(1 .3 .3 ? )

Величина &п (п ,г )

при начальном приближении &

(0)е

£

t

выбирае­

мом, например,

в результате процедур рандомизации в

соответствии

о какой-либо мерой на

$г , представляет собой

статистику от на­

блвдений Т

. В /41/ показано,

что

при определенных ограничениях,

отраженных в условиях теоремы Г .3 .2

(см . ниже),

эта

статистика

является асимптотически эффективной оценкой <#Т

Из последнего утверждения следует, что

для любой просто

со­

стоятельной предварительной оценки

& °(х /р‘

* в 0

по вероятности

(без всяких ограничений на скорость сходимости

к &0

)

статистика

__

о .

(1 .3 .3 8 )

* , )

является асимптотически эффективной, если число итераций ^

воз­

растает с ростом

N достаточно быстро. Требуемая скорость роста

п№ определяется скоростью отрешения 0^

к

6? ,

и если

-

<р-состоятельна,

тс оценка (Т .3 .3 8 )

совпадает о

оценкой (1 .3 .3 5 )

при nN в 'I .

^

_

Нетрудно убедиться, что

величина

r ) “ М *

(% г)

(если этот предел

существует)

есть

решение уравнения А (Х^,0)=О,

строго: введем

следующую статистику -

отображение в

/f£ случай­

ной функции

корень уравнения

; в )=0,

@>, когда

он

суще­

ствует

и единствен,

4

я 1

произвольный

вектор

&

-

в противоположном

3 .3 9 )

случае.

Как показано в $ Ц ,

при определенных ограничениях 0 (Хя ) являет­

ся аоимптотичеоки.эффективвой по fm ep y оценкой.

Оценка

Щ ( г)

предпочтительней упрощенной оценки Ле-Ка-

ма

(Г .3 .3 5 ) не только потоку,

что она формально не требует вычис­

ления предварительной

^-состоятельной оценки в

* (7# ),

но также

в силу того, что распределение

при конечных

N не

зависит от

начального приближения

0#

(или 9 ° )

и полностью определяется

распределением

случайной функции / 7 ( 7 . $)> & б ®

. Статистичеокое

моделирование на ЭВМ показывает, что

при конечных

0

она имеет

меньшее,

чем оценка

(1 .3 .3 5 ) ,

среднеквадратичное

отклонение от

истинного значения параметра. То же

самое в значительной отепени

относится

к

оценкам 9^ (лм> г )

и 9#

).

Теперь

сформулируем требования

к

семейству

распределений на­

блюдений

(Г ) j при которых

оценки

(Г .3 .3 5 ),

(1 .3 .3 7 ) - (| .3 .3 9 )

в

к детерминированной функции £~(if; ) г если для любого е?&

\* * ( & Ы ( f &0 ) \ > г } “ О,

(1 .3 .4 0 )

вероятности,

воли при всех a ,

iT e .

<s>

Ш ) - Г < Я = < ? ( * ) ( # - f ) + A ( f , f ) ( f - 7 ) ,

где для любого

«><?

*

t

i x

f &

K

r

'•< » > *]-«

<1.3.41)

Справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а

1.3.2 / 4 0 ,

417-

Ц усть/» ^ ;

0

) удовлетворя­

ет условиям JLAH, причем АД статистика Д

(Г„;

7 )

и П®-матрица

( в )

таковы,

что:

1Л , Случайная функция

f

(хк ; ff )

дифференцируема по А*

-

вероятности в

£ (.& ), т .е . существуют случайные функции

^

4 г

(*#'

4

(?*> в)<

Ы *

Ц

-

чаотнне производные в смысле (|.З .М ).

1.2. Случайные функции

f~6k

<•£,■ 7 )

и

fg 6 t l

0 )

сходят­

ся по распределению в

С (@ )

к детерминированным функциям Ы &, i f )

и

^ ) <

,

^

|,3 . Функции

* а

( ( /

{ ) •

$ , есть частные производные

в £ С&) от функций

f y

( f ;

в е ) по параметрам

.

Й Л , Для всех

f ,

гГе ®

I $ ( ? ) - Г „ (? ) \ < е } ? - 7 \ .

П.2. Существует равномерный по

f

е

®

предел

r ( f ) «

т

С

(&),

причем

/у-*хю

**

7

■

ctet г ( & ) - $ > 0 ,

Г ( ? ) ~

г ( & -,9в у ,

f e

®

в

где

V )® f t fi i

( 0 ;

i f )

у

J

,

Тогда:

-

1 .

Оценка $м

(1.3.35)

асимптотически эффективна.

2.

Существует последовательность

^ ,

такая,

что оценка

^ (П ц )

(1.3.38) аоимпготичеоки эффективна.

3.

Сущеотцует число г > 0

, такое, что при диаметре мнове-

cjsa ®

> меньшем

т* (т.е.

& <з> 1^ г~ 0г \ <^’ )> оценка

^ (г)

(1.3.39)

асимптотически эффективна.

этой оценке целесообразно предпочесть другую,

качество которой

при p(7/t‘,

(Г)

несколько хуже,

но зато

сохраняется достаточно вы­

соким в том множестве возможных распределений наблюдений,

грани­

цы которого определяются точностью наших представлений о статис­

тическом эксперименте.

Рассмотрим условия,

при которых предложенные выше асимпто­

тически

аффективные

оценки,

основанные на АД статистике

0~)

и Ш -м атр щ е

Гм(0 )

для распределения

р(х^;

F ),

сохраняют

^ -со­

стоятельность и асимптотичеокую нормальность при реальном распре­

делении наблюдений р(Т№,Р ) ,

отличающемся от

p(T # ;

Т ) . Эти ус­

ловия следуют из решения более общей задачи,

которая

сформулиро­

вана

ниже. Введем оценки,

основанные

на произвольной статистике

f ( 7 ;

;

F ) ,

зависящей от параметра

в е ® ,

и на матрице

w # (f) ■

f(%)

корень уравнения

0 ( 7 ; ; 0 ) = 0 3

0~& ® , если

он существует

и единствен,

(1 .3 .4 2 )

'I )

©

-

произвольный вектор в

противопо­

ложном случае;

2) # ( % ) - * ( % ! 0 % ),где

(1 .3 .4 3 )

Т * (

F r )

-

произвольная

^-состоятельная

оценка;

3)

? ( % ! * * ) • * ”* ( $ ;

) ,

(1 .3 .4 4 )

где

*

«*

-

некоторая возрастающая последовательность;

0

‘

-

произвольная

состоятельная

оценка;

4 )

f t b ,

,

(1 .3 .4 5 )

где П/ftta ,

е <3>

-

произвольный вектор:

10

<е)

-0 ^

I

х’ .

^

Перед нами отоит

задача

-

найти ограничения на функции

8 ( 7 ;

, F ) , Ц у(0‘) и распределение наблюдений

р(х~я -,

$~), при кото­

рых оценки

( £ .3 .4 2 ) - ( 1 .3 .4 6 )

^-состоятельны

и асимптотически

нормальны. Следующая теорема позволяет решить эту задачу.

Т е о р е м а

1 .3 .3

• Пусть

статистика

F k ®

такова,

что при распределении наблюдений

? ( ? # ;

)

'■

1 .1 )

отатистика

f ( F r ;

&о)

асимптотически

нормальна

о пара

метрами

( & 0 ( £ ) ) ;

^

^

Г .2 )

случайная функция

0 ( 7 ;

' , T ) * J e ®

дифференцируема

в

АТ®)

по параметрам

8г ,

1ет7%

по

^--вероятности,

т .е .

суще­

ствуют

случайные функции

0

)

f ) ,

k,

г

& тГ% ,

0 е ®

_

производные

в

смысле

( 1 . 3 . 4 ! ) ;

^

| .3 )

случайные функции fyTyC % ;

(Г J

и г#*Л1 ( 7 Л ,

8

) ,

в £ ® ,

взводных вектор-функции Т ((Г ; в0 )

по параметрам

вг . Поскольку

матрица

Т(ву, 80 }

в

общая случае

зависит

от

неизвестного

дей­

ствующего распределения

р ( Г# , в „ ) е гг ,

то

использование

оценок

8#,

8#

или

8п

при фиксированной последовательности матриц

и произвольных распределениях из класса П предотавяяется,на

пер­

вый взгляд,

теоретически

неоправданным. Однако оператор 8 (Ту, 8)=

- ( Т * ?#****(( T ) f ( j y ;

(Г )

остается

при больших

Н

сжимающим в

окрестности точки

Т

= (Г0

и в олучае отклонения

М((Гд)

от

матри­

цы -

Т((%, § 1 ) .

Поэтому у каждого

распределения

р * (>у, (Г )& к

существует его "окрестность" - множество

Я * ,

для всех

элементов

которого оценки 8М и вм

о фиксированной матрицей

оста­

ются асимптотически нормальными с

параметрами

(Т0 , у 1])

(в р ) ) .

Кроме того,

в ряде

задач

существуют обширные классы M o jz

рас­

пределений

Р (%

> 8 ) , такие, что предельная функция т (Т,Т0 )

для

статистики

одна и та же при всех

р(Т ^ ,в)е.гТ 1 . В

этих

задачах

воя

совокупность утверждений теоремы Т .3 .3 остается

спра­

ведливой для статистики

^ (T v , 8 )

и фиксированной матрицы

8 ( 8 * I

при любых р

(Г ) е Ш .

1 .4 . Ж5КАЯШЯ АСИМГГГОТШЖКАЯ НОШАЛЬНОСТЬ

ДЛЛ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ временных рядов

Гаусоовокие временные ряды. В разделе \Л

рассматривалась

модель гауосовокого

стационарного

временного

ряда

Е е Ж

как

моогь от времени среднего значения

. Параметрическое задание

такого

временного ряда соответствует

случаю,

когда

его

среднее

si и автоковариационная функция

с г

определены в

виде

известных

функций векторного параметра

Т е р I

. во многих приложениях, свя­

занных о анализом многомерных наблюдений,

представляет

собой

вектор

Tt * (xt ; ,

.... xtn, )т.

Совместная плотность гауосовокого

распределения совокупности

8

последовательных наблюдений

Т „ -

« ( Т / ,

T J f

записывается в

вида

?

/><%, ? ) * [ ш

г

*

* *

Г

/ i ) г

*

X**/>[-1 (Т„-%(?})%'( 9Кру

,

(1.4.i)

где ~Z(T)*(tTj(T), ....

Tf ( 8)

xt - объединенный

вектор

средних;

t# (S ')

( ff )> * ,j e h * ] ,

Cr ( f )

-

~ % l F ) ) ( T i f .r

~^t+r ( F ) ) r

- блочная матрица

ковариаций наблю­

дений,

составленная из значений матричной автоковариационной

функции

cr ( в")

ряда Jtf .

добия для этих параметров возможно только в том случае,

когда

функциональная зависимость плотности

; 8 ) ст параметра

F

задана в аналитической или достаточно простой алгоритмической

форме. Однако для плотности ( 1 .4 Л )

это в

общем случае

недости­

жимо, хотя бы в

силу вычислительных

сложностей, связанных с

об­

ращением матрицы

£л ( в ) при значениях т/1 , превышающих несколь­

ко десятков. Кроме того, параметрическое

описание гауссовского

временного ряда часто получается более простым и естественным

при задании функциональной зависимости от

параметров в

его

энер­

"перевести"

в

параметричес <ое описание матрицы

£ ^ ( 0 ) .

В связи

с

зтим важно, что при достаточно широких условиях

регулярности для плотнооти распределения (Г .4 Л )

выполняются ус­

раметров,

возникающих при анализе

стационарных гауосовоких

вре­

менных рядов.

Будем предполагать, что

Tt ,

t e l - регулярный временной

ряд, т .е .

существует матричная

энергетическая спектральная

плот­

ность

г ( л , & ) - Ё

ст(? ) е ‘лг ,

л еП>,2х],

/

«

® ,

( 1. 4. 2)

ГЬ~ск»

удовлетворяющая предположению 2

раздела Т Д .

^

Сформулируем условия на среднее значение

Щ.( F )

и спектраль­

ную шютно'сть

F (л, & ),при

которнх плотность

распределения наблю­

дений (1 ,4 .1 )

обладает овойотвом ЛАН (см.

раздел

X .I,

определе­

ние 1 ) .

Будем говорить, что для стационарного

временного

ряда

со

оредним значением

s ^ c f ) я

спектральной плотностью f ( / t , F

) вы­

полняется

комплекс условий

Л ,

если 0 & J

A I.

Элементы последовательности Щ ( 8 )

имеют при каждом t e l

производные ^ ( 6 )

к е ы

=> удовлетворяющие следую­

щим ограничениям:

^

Г Л )

)

имеет

при всех

к е

л

f i e ®

конечную

"среднюю мощность"

1 -Т ,\ в н

(.в)\г< с ,

н е * ;

(Г .4 .3 )

"

t=i

1 .2 ) Тм ( в )

не

имеет

слишком быстро

растущих

выбросов, т .е ,

существует

такое

р е [ 0 ,1 ) ,

что при всех

х е

и в е ®

ш ах \ & ..( 0 ) \г < c * f i ;

! . 3 )

Tkt(. (Г) - последовательность

равномерно

непрерывная по

6 в среднеквадратичной метрике

( Г .4 .3 ) , т . е . для любых последо­

вательностей

fi£ е ®

и

t

I < £ :

» *

i

к

I Tkt ( К

-

i h

-

)

\г = 10

■

"

t*f

АП. Матричная функция

Г (Л ; В)

удовлетворяет

следующим ус­

ловиям:

___

Д Л )

при всех

Я

е

[ 0, 2 я

] ,

( Т е ®

det F ( x ;f i )> ju >0 ;

0 .2 ) равномерно

по

f i e ®

выполняется условие Липшица:

I f ( * t , f

)

-

F (* 2 i У )\

< с

\л} - л 2

| ;

5 .3 ) существуют производные

по параметрам

в~к : Гк ( л , Т ) -

» -jg— F (* , в

) , удовлетворяющие,

как функции

л ,

равномерно по

е %, уоловию Липшица.

Справедлива

оледующая теорема,

обобщающая результаты /23,98/.

Т е о р е м а

Г .4 Л /49/. Цусть для

гауосовского стационарь

распределения

( 1 .4 Л )

выборки наблюдений этого ряда

обладает

свойством ЛАН

(1 .2 .2 5 ),. где АД

статиотика Т (х ^ ; Т )

и 1ГО-матри~

ца

F/f(S~) выражаются

(%■, 8

); r/rie )~ 9 lt( f ) + <Plf(d - ) t ( J . 4 . 4 )

где

_

.

н

х

Г (

%■ ? 7(

S. ) ; к е 1,1 J ;

т у

£ ( % '

F~7( ? r r;)~ trFj

%■

Ъ ( Г > я[ 7 & Я / С г % ’ К г е Ъ ] ’

I r l j r t ) ,

r . J

-

f ( A

j ; 7 ) ;

i » ) ;

ZJT;

*J

***

*j = '

-*■

1 x'

-*■

i t ; t

- дискретное

конечное

преобразование Фурье

Sj ~

iLf

*t e

наблюдений;

Tt ,

S. { 9 ) , s ^ ( & ) -

т0 же для

значений

£7/Г/(

Согласно формулам ( 1

.4 .4 ) ,

структура

АД отатистики

T {* # i8 )

и ШФ-матрицы

Гм ( в )

и в

вычислительном отношении,

и в

смысле за­

( Г .4 .1 ) . Действительно ^дискретные

конечные преобразования Фурье -

Д ® Tt ; Sj т %

Д ® sH

- веоьма эффективно выполняют­

нейные статистики.

Таким образом, при условии,

что

F f r ,T ) ж Fk С* ; ИГ)

достаточно просто зависят

от параметра, нет

ской реализации асимптотически оптимальных тестов

( £ .2 .2 7 ) ,

(Т .2 .3 4 ) и асимптотически эффективных оценок (Г .3

.3 6 ) - ( 1 .3 .3 9 ) ,

онный процесс,

удовлетворяющий разностному уравнению

(Г . 1 .1 9 ) .

Переходная плотность при этом определяется формулой

( I Л .2 7 ).

Если

/>-связной марковской последовательностью аппроксимиру­

ется

шум,

аддитивно маскирующий квазвдетермикированный сигнал

$ £ (& ), зависящий от неизвестного

параметра

<Г, то наблюдения

имеют вид

Af

( & ) + ft , где xf

по-прежнему представляет со­

бой

/«-связную марковскую последовательность

с переходной плот-