книги / Статистический анализ геофизических полей

если

0 ( ^ ) >/с(!

г ч > - { I ; если

( 1 .2 .9 )

/ (i> ) < / *,

где кА определяется из уравнения

р(Гг 6>)^Л(Гм)ехр {a « ? )f (х^)+ У(9 ) } ,

(1 .2 .1 0 )

где

вIS)

монотонно зависит

от

в-

Равномерно оптимальный тест для проверки сложных гипотез в

ряде

случаев можно построить,

сузив

класо

используемых тестов

и

ограничиваясь лишь так называемыми несмещенными тестами,

для ко­

торых вероятность правильно принять гипотезу #г

при всех

9 е

8у

не меньше вероятности

принять ее по ошибке. Тест v (*# ) принад­

лежит классу

несмещенных тестов

уровня

<

,

если

isf

J3

(0)

>

sup

а -

^* ex't**-.

0 e в,

Ясно, что это очень естественное требование к тесту . Например,

для

проверки гипотез

: 9 е

( 0} , в2

) ;

н, ■9 £

(

9г, &3) в классе не­

смещенных тестов при распределении наблюдений,

принадлежащем экс­

поненциальному

семейству

(1 .2 .1 0 ) ,

существует

РИМ теот, имегаций

вид /567:

если

д с^ ,)ф . <*ы , кзи ) ,

( 1. 2.12)

г < Ъ )

■Г»: если

*я<<) ,

где кГа(>

ijj определяются из уравнений

E q P i * * ) - « ■

Рассмотренными ситуациями исчерпываются случаи существова­

ния РИМ тестов

в классах

<£,

и к *

,

и для

построения' оптимальных

сложных гипотез

заключается в использовании априорной информации ,

о вероятностях

появления в серии отатистичеоких экспериментов то­

го или иного

значения параметра 9

(при гипотезе и альтернативе).

Это -

байесовский подход,

согласно

которому

на параметрических

мгежествах 8/

гипотез

м} ,

>'<=

задаются

априорные распреде­

ления

А (Т ),

i е /и .

Если качество тестов

оценивать по средним

значениям вероятностей

сшибок

Г(ГЙ) е х£

и любой послелсватолънссти

^

е &

должно выполнять­

ся

неравенство:

t/m

(1 .2 .2 0 )

/Ifч~С*>

п

пг

Аналогично можно определить асимптотически равномерно наибо­

лее

мощный несмещенный (АРНМН)

тест ^я

(х"я ) , .удовлетворяющий ус­

ловию (1 .2 Л 9 )

в

классе

х™ с

Xм всех

аоимптстически несмещен-

ннх тестов

%(

х",, ) , для которых

lim

in f

/?„ (fi~) >оС.

(1.2 .2 0

п е в /

’ гм

Проанализируем критерий оптимальности

(Т .2 Л 9 ) . Почти оче­

видно, что при произвольной последовательности

4% ,

не имеющей

в~й

своей

предельней точки,

левая часть неравенства

(1 .2 .2 0 )

для любых двух

тестов

и vff

из

равна нулю. И только при

некоторых

сходящихся к

&0

последовательностях альтернатив

—

tТе левая

часть

неравенства

(Т .2 .2 0 )

для каких-то пар тестов

из

может

бить

отличной от

нуля. Для таких альтернатив задача

вательность

в е к т о р о в ^ —

представши

в виде

+ fo я",

где

\Wy \ < с,

с

-

некоторое

чиоло;

%

( о

-

числовая

последова­

тельность. Следовательно,

неравенство (1 .2 .2 0 ) , по

существу, оп­

ределяет наилучший тест для проверки гипотезы

№в :

6%

против

сложной to sic o a

альтернативы

м7 : <Г= в~р ^

,

где

гГя

-

произ­

вольная последовательность;

li^ i < с .

Чтобы показать,

как определяется числовая последовательность

$я ,

задающая близкие альтернативы,

и какие

идеи лежат

в

основе

методов конструирования АРНМ тестов,

начнем

с

задачи проверки ги­

потезы

Ц. : f

=

9.

против простой близкой альтернативы

Н7 : & =

» &0

+ f я

та1

,

где

&~7,

Ь

0

фиксированы. Очевшнс,

что АРБИ тест

для

этой

задачи

совпадает

с

тестом Нейшна -

Пирсона:

е0ЛИ

^ ***'

(J .2 .2 2 )

Функция м о щ н о с т и с% )

теста (1 .2 .2 2 )

имеет предел,

отличный

от ос

и Ч

только

в

том случае,

если и при гипотезе &~= 0^

ж при

близкой альтернативе

/"=

логарифм отношения правдопо­

добия

/ (Тя /

f p +

^

)

имеет невырожденные предельные рас­

пределения:

/JZ

%

9,i * ) < / } - £ ( *

Sr ),

j £

f

{ * < £ /$■*■/, «Г;

%

) * * ]

-

f

to * ,)■

( 1 .2 .2 3 )

Оказывается, что при достаточно слабых

ограничениях на параметри­

ческое

семейство распределений

р ( ^ , (П ,

связанных, по

существу,

с применимостью центральной предельной теоремы,

всегда

можно по­

добрать

такую последовательность

fK * 4

что

при любом

|

|< с

логарифм отношения правдоподобия удовлетворяет условиям

(1 .2 ,2 3 ) .

Как показано в 'разделе 4 .3 ,

нормирующая последовательность

/>

определяется скоростью роста информации Фишера о параметре

содержащейся в

выборке

Тн

при

А'-*»®.

В задаче проверки гипотезы согласия

; 8 - %е я 7

против

^m9SJsm9LMkssmsm

v

%+гн «*>

фу[1к~

ция

)

(4 .2 .2 2 ) уже

не является 'тестом,

поскольку логарифм

отношения правдоподобия

t(Tx /fy + fa

% )

зависит от

неизвест­

ного ах

. Тем не менее построение АРНМ теста

и для данной

задачи

оказывается

возможным (при

одномерном

& ) ,

и необходимым усло­

вием этого опять является существование при всех

|и |< с предель­

ных распределений f0 (y,

я )

и

*$(?, и )

функции правдоподобия

(см . ( Г .2 .2 3 ) ) .

Действительно,

любой тест

для проверки гипотезы

гарифма отношения правдоподобия

г[хх / ff; &в

) , рассматриваемого

как функция параметра

в е

& •,

К ГН М ' Щ

( Г .2 .2 4 )

поскольку функция

I

/О;

% ),

& е &

есть

достаточная статисти­

ка для оемейотва

распределений Р (*# ,

£>) p A j . Ясно, что тесты

вида (1 .2 .2 4 ) имеют предельные функции мощнооти (и

среди них мож­

но искать АРНМ

т е ст ), если только выполняется

условие (1 .2 .2 3 ) .

Локальная

асимптотическая нормальность.

Итак,

проблема по­

нием поведения отношения правдоподобия

1 »[р (к~; fy /P t x ■,%)]

при близких альтернативах f N-

+ jH0~п,

где

~ любыо огра­

ниченные последовательности,

/ х

( 0 . Важнейшим чаотным случаем

оитуации, когда выполняется

условие (1 .2 .2 3 ) ,

и для которого раз­

=

fl, ■ 0„~

%

+ fa

ИГ,

о<]Щ <с

при некоторой последователь­

ности

у„ ) о

представим в

виде

РОГя ,

$ 1 )

- v

TI

( Ж,; ft

) - j a

Trn {ffe )

где 1(Т"-у f y )

-

векторная

"асимптотическая достаточная" (АД)

статистика,

распределение

которой при гипотезе

яд

отремится при

к многомерному нормальному распределению с параметрами

(О, /# (% ))

; Гх (в0 )

- ограниченная последовательность матриц;

dot Г# (ffg) > 0;

Ыд

(Хр-, щ — 0

по вероятности при гипотезе

0#

равномерно по

|ге\ < е,

Цустъ семейство /П Г „ ,

/<Г)

обладает

свойством ЛАН в точке

Тогда

можно показать

,

что:

1 )

АД статистика а (7М,

iTt ) при близких альтернативах

Т ц ^ ’>

o<\iFl<c

—

также асимптотически нормальна с пара­

метрами

(

( %

) ) , причем сходимость к нормальному за­

кону

равномерна по

) и

\<с;

2 )

случайная величина

(*#‘> я )

при этих альтернативах

также сходится к нулю по вероятности равномерно по \ИГ\<с.

Из сказанного следует, что в случае, когда существует пре­

дел Г ( в ) -

ш

)

,

логарифм отношения правдоподобия

(Т .2 .2 5 )

имеет и при гипотезе

и при сложной близкой альтернативе 9,

предельные

распределения

(1 .2 .2 3 ) .

Но самое важное заключается в

том,

что в

этом случае логарифм отношения правдоподобия при боль­

ших 0

имеет вид,

типичный для

экспоненциального семейства

рас­

пределений, т .е . когда / велико

Р( Т«', ¥о Ч ц ” )

*

Р

*

н '■К Н

» Гг« Ф * ) \

1 .2 .2 6 )

Поскольку при .одномерном

в

выражение (1 .2 .2 6 )

совпадает с

семей­

ством ( L 2 .4 0 ) ,

в

котором функция

в (&)

монотонна,

естественно

предположить,

что АРНМ тест

для проверки гипотезы

согласия

б>~

- 90;

е е

я 7

против

односторонней альтешативн

я. i б> >&,

имеет

вид

если

Л (*у > 0е )г>*и»

(1 .2 .2 7 )

если

Р (* „ ;

У

а несмещенный АРНМ тест для

Н

против двухсторонней альтернати­

вы Я7\в * вй -

9 (V - (

i ,

если

Л(Тн;

вд )£ -

( ^ ,

X

о,

если А(7„;

ве ) с ( к ы ,

(1 .2 .2 8 )

оемейство распределений

обладало свойством ЛАН,

Асимптотически оптимальные байесовские теоты. В случае мно-

гомерного параметра

е к* даже в асимптотической

постановке

не­

возможно построить равномерно

оптимальные тесты: АРНМ и несмещен­

ного АРНМ тестов для

проверки гипотезы согласия я

=■

при

многомерном параметре / Г е Р р

не существует. Снова

приходится ис­

Ms -

8о

против байесовской альтернативы

ц -./Гф Е/, f

имеет

распределение Р((Г)■ Очевидно, что для любого

состоятельного те­

ста из

класса

и любого

fi(J)

,

такого,

что

£>0

} - а,

Пт A

(F)* «,

Jim

\

{в т

?

) - 1.

(1 .2 .2 9 )

Поэтому разумное определение БАО теста возможно, лишь когда о

ростом

/V

изменяется и априорное

распределение, "стягиваясь" к

дельта-функции в

точке Щ . Эта

оитуация соответствует

"близкой

F + Г

расположены в

непосредственной окрестности точки

в0 .

Только в

этом случае

при некоторых последовательностях априорных

распределений Рм (

для тестов

из класса к / могут существовать

пределы

(&

* <Л

<Г‘

(1 *2 .3 0 )

При выполнении условия

( J .2 .3 0 )

уже можно ставить

задачу

стыска-

Ния асшгатотически наилучтего в

байесовского

теста ?

e (F lf),

удовлетворяющего для

заданной последовательности Рй ( 8 ) условию,

аналогичному условию

( 1 .2 Л 9 ) :

(Т .2 .3 1 )

Ясно,

что последовательность

тестов, байесовских для Рй (& )

при каждом

М и выражаемых формулой

{

{ \ ,

если

I

(1.2.32)

^ (V-^

( о ,

если

r

P(T„

’ 0)

qi *'*/%)•'

^

( f h

l

'Я * ®

представляет собой БАО тост.

Однако для

естественных последова­

тельностей />х (9) существуют

более

простые, нем (1 .2 .3 2 ) , БАО

пределений

Р((в~-

Р~(Я)

- некоторое фиксиро­

ванное распределение

в

.

Тогда, иопользуя свойство ЛАН, ста­

тистику байесовского

теста

(1 .2 .3 2 ) можно переписать в виде

/Ри)=\е*р\^тА {хн,#с)-{ я гГнЩ)и

ty m , (Т.2.33)

где

o(ff (х^е

if) - *

о

по

р { \ ,

<£ + T# гГ)

-

вероятности равномерно

по \гГ|°<с

Интуитивно ясно, что в

тесте

(Г .2 .3 3 )

слагаемое

<х^. (Тм, W)

при определенных условиях можно спустить,

и

тест

0

$

1 ,

если

(1 .2 .3 4 )

О,

еоли / > (% )

<kct,

где

/’(»>)= \ exp [гРг Т(Т^,;

) - j

& гРу(<%)и’}<*Р(&), будет иметь

асимптотическую функцию мощности такую же,

что и байесовский тест

( J .2 .3 2 ) ,

т .е .

вместе

с последним

будет БАО тестом.

То, что для

этого достаточно только свойства ЛАН для

семейотва распределений

Р ( У > < 0

доказано

в

/85/,

и является сильным результатом асимп­

тотической теории проверки гипотез.

БАО теот

со

статистикой

(1 .2 .3 4 )

имеет перед байесовским те­

стом (1 .2 .3 2 )

тс

решающее с

точки

зрения

практического применения

Преимущество,

что сколь бы ни была "сложно устроена"

зависимость

плотности/>(~ц, (Г ) от

параметра

если эта плотность обладает

свойством ЛАН,

подынтегральное выражение

статистики

(1 .2 .3 4 ) име­

тарных функциях,

а также сложность вычисления значения интеграла

(1 .2 .3 4 )

на ЭВМ при данном векторе наблюдения Тн

не связаны с

видом плотности

/ Y y

Р ) , а зависят только от априорного распре­

деления

P/f { в)._

Таким образом, в отношении практической реализа­

ции БАО тест (1 .2 .3 4 )

немногим отличается от АРНМ и HAFHM тестов

(1 .2 .2 7 ) ,

(1 .2 .2

8 ) , существующих, однако, только

для одномерного

параметра е е Rr

dP(гГ)= [(2л)* Hetв ]~ ,/гexp \ - /(ж - Г )га \ v -ъ

(| .2 .35)

& //> (% )-r f y )

tty ,

(Г .2 .3 6 )

г< Ъ Ы

/ * тК ,£ - ( £ * 2 ' - Г

) r 4

)]■,

zK » —j- (м d e t t n d e t f y ) ,

Д#= (S+ P#f ) .

В силу

общих свойств

тестов из

класоа

а£

БАО тест тлеет

ввд

4 ,

если

г(Тк )-*-к £,

(1,2.3?)

О,

если

где

выбирается

из

условия

Pg-

> > **1 "'*•

Исследуем отатистику г(Г # ) ъ

двух предельных случаях. Пер­

мами матрицы автоксвариаций априорного распределения В

и матри­

цы

| Ы «

и

Ы »

(1 .2 .3 8 )

В первом случае

можно считать,

что ||/?Ц — о

и

Qt

/ ^

. В ре­

зультате

такого

предельного перехода

статистика

БАО теста (| .2 .3 ? )

отремитоя к

'

4Т )~ / 6

r//r ( $ > 6 '

(1 -2 .3 9 )

Отметим,

что тест со

статистикой (1 .2 .3 9 )

является

AP1IM тестом

для проверки гипотезы

л './ ’-

против "одномерной линейной"

альтернативы

: ( Г ■= <^+ $гГ>

а>о -

любое число,

так как ста-

тистика

г7 (лЦ)

является аоиштотически достаточной для одномер­

ного параметра

<? семейства распределений

р(Гм ;

<- if Г ).

Для второго

случая

соотношения

( Г .2 .3 8 )

можно считать, что

W s f '

0 и из

выражений (1 .2 .3 5 ) ,

(1 .2 .3 6 ) пределышм перехо­

дом получаем статистику

Гг (г» ) т*

* г ( ги ' % ) / ' / ( € ) ' Г

( f y % ) ,

(1 *2 .4 0 )

Тест со

статистикой ( Г .2 .4 0 )

обладает рядом хороших свойств, ко­

торые изучались в /Ш ,

22/.

Функция (Т .2 .4 0 )

представляет собой статиотику БАО теста

для еще одного априорного распределения, которое

конструируется

следующим образом. Введем в

тест

(1 .2 .3 4 )

замену переменных iT-*—

— / Г = гГгГ г/* (0 в

) .

Тогда

/>(Тн г \ м

р

{ Г

r

f/*

( £ ; $ > •

* r W

) .

<1*2.4П

Как показано в

/467,

если

) -

распределение,

равномерное на

сфере \/а\г

= с,

где

с -

любое число, то

(1 .2 .4 2 )

где f l y )

-

монотонная функция. В некоторых задачах обнаружения

сигналов, содержащих случайные параметры,

равномерное

на сфере

ции от асимптотически достаточной

статистики

;

SF) - перво­

го члена ЛАН-разложения (1 .2 .2 5 ) .

Оказывается,

что

в

условиях,

когда семейство распределений наблюдений / (7J,;

ff~)

обладает свой­

ством ЛАН в точке

, такую структуру должны иметь любые тесты

для проверки гипотезы

согласия

^ , обладающие хорошими

Т е о р е м а

1 .2 Л 7§57.

При проверке гипотезы

ffe : <Г= §~е

против альтернативы

Нг

<Гф

любой тест

и его ус­

ловное математическое

ожидание

( Г .2 .4 3 )

обладают одинаковой асимптотической мощностью:

, 2 *

l / v < $ + к , г

& + г*

( |*2 *44)