книги / Статистический анализ геофизических полей

/К

At

(1 У .2 .4 4 )

r i t , x ) - E at ( t , x ) [ i l r l t ' r f w ) ]

t*i

/»/'

которые являются элементами матриц

Ск ,

.

При фиксированном наборе точек наблюдения

*,,■■■, ^ случай­

ный процесс

Y (t, х )

становится

Z-мерным случайным процессом:

? ( * ) • {? (*■ ** ,• )),

* mW-

В зависимости от требуемой степени точности аппроксимации

оцениваемых функций

^ ( х ) г Sk (t ,

rt i ( x ) ) выбирается размерность

по строкам

случайных матриц

и по столбцам

At . При повышении

ответственно количество

определяющих волновое

поле

g ( t , х ) пара­

метров.

Число

столбцов в матрице

Ак ,

если

наблюдается в

L точках

Xr t

будет не больше

I так как

в

этом случае

аппроксимировать

rit- (x )

рядом,

имеющим более

L

членов, не име­

ет смысла.

У Д . ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ФОРШ ОТДЕЛЬНЫХ ВОЛН

Правде всего рассмотрим случай оценивания параметров, опре­

деляющих форму отдельных сигналов,

когда фронты волн

заданы.

Пусть в модели волнового

поля

(| У Л Л )

/V -

1 , т .е ,

имеется лишь

один поток сигналов

и матрица

А

параметров,

описывающих фронты

волн, задана. При переходе к

более общему случаю,

когда

матрица

А случайна, будем считать, что

полученные результаты

соответ­

ствуют условию,

когда значение матрицы принимает именно данное

значение, т .е .

значение матрицы

А

рассматривается как условие:

$ ( * , * ) • Е Ц ( * . Г ;< * ))

*

” (*,

* )

-

«

Z

+ n (t,x)*S f> [cT<t>(t,rv)]i- » (t,

х )

.

(у Л

Пусть волновое

поле

задано

в

точках

xf ,

<■< >

,

т .е . i/it, х) =

а [ j

(*> *>) } .

Р

. и

ШЗ™ п <■*>*) ш { ” (t, xfi) ) ,

p * U

- н о р ­

мальный векторный случайный процесс

с заданной матричной функцией

N ( t v t£ ) *

обратной ковариационной мат­

ричной функции этого

процесса.

Нужно оценить прямоугольную матрицу параметров

с « { ег- . 1J,

t - f i j i .

Поотроим оптимальные

оценки по максимум/ прав-

т-1 Ч-

_

’

(? л - 2)

*

(*/> ls ( л/>))Щи1,(* 1 >

№(Кг) лц ) dtj dt2 J

'

Введем новый индекс

% , который определим следующими соотно­

шениями:

?=(i-i)m+J,

* * Ц [ к : 1я ] +1;

/

mod {да }

,

(УЛ.З)

где

Ц -

целая часть

стоящего

в квадратных скобках

выражения и

запись £*дал?'(да) обозначает остаток

от деления

£

на

да .

Все

множество параметров

С у

представим в

виде

вектора

г - { ‘ЛХ*0,1гЦ

(7 .1 .4 )

Введем матрицу

<р . Ее элементы X

определяются по формуле

£ т-J о

% = Д g . ,

5 J Ъ ( i f * {

* ? / ( % • $

'

(1 Л .5 )

где

X = ( $ - l ) m i - i ;

z = ( i ~ l ) m + ; ;

(1Л.6)

Вектор

J *> у ^ \

= 0 ~ щ

составлен из

корреляционных интегралов

- Д * И (у ^ / > 5

(7 .1 .7 )

Л =ехр\^-1(ТТфТ ~гсгТ) J .

(1. 1. 8)

параметров

т

и корреляционной матрицей

в =

=

| ,

'( ,5 ~ 0,1п^

апостериорная вероятность

пропорциональна

выражению

Л'В {

1

= / Аг/>

j

( ? r</>c~JttTJi- (t -м ) ~*G(Т- iri)} j .

(2 .1 .9 )

Так как

In (Л - n i ?%,&)) монотонно связан

с

Л п ( ю ,в ) ,

то ус­

ловие

экстремума для

выражения

( Г Д .9 ) имеет

вид:

T { $ VX %

т

(е{

-

я (

(cf

- » , )

-

-

р

>

%

*

{

ОГл .10)

. ( Щ .

В векторной форме оиотема

(УЛ ДО)

имеет вид

/ > + 0" !] Т - ? * в 4

$ •

( ? Л . « )

Для некоррелированных параметров

о одинаковыми дисперсиями

для каадого

параметра

а

система

принимает вид

[р + в-ЩТ - Т

+*~’Я .

(2л лз)

у сГ

« Г

(2л лв)

Это

значит,

что с ростом дисперсии цена априорных сведений пада-

ат и

становится нулевой, когда

дисперсия

бесконечна. Из выраже­

ния

(У Л Л 1 )

следует, что

Г - Гр + e-’j~fr r + 0 - fprM p+ s-fj e - ,{ 6 r t * ]

-

а [& ( <р +&~J) J

t m ) - Г в р + 1 3 *Г т & J

,

(У Л Л 4 )

Если норма \вф й < / ,

то вектор Г можно представить

как сходя­

щийся ряд

Г - S Ыф f (е?+Я ).

(?Л Л5)

j°0

При выводе последней формулы использовался тот факт,

что матрица

П * А ] может быть представлена в виде ряда

t- 7

.

(£ .1 .2 2 )

/ - O' - £ в * » т )

Когда

i s = у.

для всех

5 ,

формулы

(У Л .2 0 ) - (У .1 .22)

упрощаются:

Z = * U - 7 ) y v t + ( i - 7 ) 7 » i - j ;

к = [% : $717] ',

( £ .1 .2 3 )

7

= и [ ( ( - ( k - f ) g n

) ■77)]

;

( f .1 .2 4 )

д =

( X ~(к~7)ут п ) mod т .

( J . i . 2 5 )

Из множества

параметров

сформируем вектор,

компоненты

которого упорядочим в

соответствии

с Выражением (У Л .1 9 ):

Г “ 1 ^ Ь

*

Я°> % * ! > ” •

(1 .1 .2 6 )

Соотношение

( £ .1 .1 9 )

дает

такое

упорядочение

компонент

вектора

Г ,

что

первые %

•тп

компоненты -

это

параметр, характеризую-

щие форму сигналов первого потока,

следующие

у •m -

второго по­

тока и

т .д .

Обозначим через

следующее выражение:

%rgsif =

^

^7 (*/>

гл,,(хк ) )

( е7>*г )

*

rSJ

(хг

) ) d t ,d t j .

(У .1 .2 7 )

Упорядочим Pfjystf

таким образом,

что

% ,g Sl-f

= 9^j ■

t-7

s-7

■Г = Z

<lJ w + (i-7)7J7+ g,

<1 m + ( j - 7 ) m

1 -f .

(УЛ .28)

7-0

1

7=0

1

Элементы %igSi f

сведем в

матрицу

) . Сформируем вектор

/"» {

} , компоненты которого определим соотношением

(*}• Tt l

( * / >

} ( f 7>*г У (^ >

) ^ 7 ***}

■

.2 9 )

В последнем равенстве

X

определяется

через

к,

i , /

соотношени­

ем

(У Л . 2 3 ).

Для коэффициента правдоподобия с учетом введенных обозначе­

ний получим выражение

А * M p ^ ~ i ( T W - /?-гТ ) } ,

(у л .з о )

раметры

сведены в

матрицы ск , к = VV, кинематические - в матри­

цы Ак,

к - Т ,1 .

В общем случае значение матрицы А рассматрива­

ct ,

к

- i j f

параметров формы сигналов

/ -го

потока

имеет

размер­

ность

и векторные функций

<P(t, % ( * ) )

содержат лишь одну

компоненту

V ( t , гкг т

),

которая

и является

/-й волной

/ -го

класса. Чтобы выделить этот

простейший случай, сигнал обозначим

Utj (t ,

rk{ (т!)),

а

Матрицу

, которая

становятся

вектором,- / £ =

= [ 0 н } >

=

Тогда

модель волнового поля

! ( * > * ) - f К Г% ( * . Ъ ( * > ) *

.

(У ,2 Л )

В

этом выражении матрица S£

о размерностью

в

модели

волнового поля

(УЛ .1 2 )

заменена

векторомч&ункцией. % (t,

тк ( х))**

• \ ин

( *•% ■<*»}•

' “ « Г ,

*

Коэффициент правдоподобия для такой простой модели

~2 R

. (1 .2 .2 )

* Ui ( *2, %■ < \)У *7 «*2 ~ / Д TL

И О* (*7> %■ (*/>>)

*

x ^ P l (-tj,* 2) 3 ( t2>ltq) ‘ktJ d t ^ 0

к~7,Л7- J =

;

( у . 2 . 3 )

Л' 9s

Ь

, и

%{‘'■ Ъ'Я )»,!',.',: V * ,.г,;(■

,))

Д

Я

£

' “А

• £ .il,

%(f, Я / ',)

)

*

„

■ " (I-2-,4)

Как это

делалось выше, вводим новый индекс

r

% 5 ,V / > - ^

(|*2 * 5)

к

? - 7,М;

№

- Г

с .

i % ? /

“Гг

(1 .2 .7 )

Р ' М ,

} ,

; ^ { ^ } , W , * ■

(У .2 .8 )

При априори нормально распределенных векторах флюктуаций

каждого потока о математическим ожиданием

и ковариационной

матрицей

, т .е ,

имеющих плотности

распределения

»(% % ) - (2я ) - £ |0|

)} ■[Ь2-9>

При условии независимости всех классов волн плотность рас­

пределения вектора

§ - \вК Ь

£ Я М

имеет вцд

Я ( J *

9)т

--------г ехр \-1 (&-e M) rS~1(s~#м) \

,

(У. 2 Л 0)

(2Х $ \ » \ *

Г

I

где вектор математических ожиданий компонент 0

}>

? т1,М

сформирован соглаоно ( f . 2 . 4 ) ,

а матрица ковариаций & предотавля-

метров формы сигналов

Т совпадает, то и оптимальная оценка пара­

метров ®

является решением уравнения,подобного

уравнению

(У Л . « ) :

[ 9

-

(У .2 .И )

Если флюктуирующие коэффициенты вк}-» 8к . ( х )

зависят от ко­

ординаты

X и представимы в виде

то модель волнового

поля принимает виц

А'

2/ ( t , x )

-

р

[ ел Т ( * ) ] Г£

+ ” Ct,

А ) ,

(У .2 .1 3 )

*

где матрица параметров флюктуирующих амплитуд сигналов

/ -го по­

тока

Вк =

j ,

г =■

;

g = 4 / ;

/ " ( а ) - векторная функция,

представляющая

собой набор определенных функций

Ag(x),

g -= OJ, .

Векторная функция параметров

* )

= Вк Г ( х ) . Выражение для коэф­

фициента правдоподобия в

этом случае, если волновое

поле задано

в точках х? ,

,

xi ,

имеет

вид:

Л

~ еХР ["/

Н

f

( ' / ’ )%

*

A

/

(*)*t tfa

(*J t Ts

- 2

J| f

(X^) A

U* (*т> TA{-X/, 'i ')^pgit}>

Xg )dtjd1-2 ) j

•

(У .2 Л 4 )