книги / Статистический анализ геофизических полей

где

6t - w -мерный белый шум,

- белый шум,

независимый с

.

Тогда

матрица, обратная спектру помех

F'U*) =

_

Р

/Л*

_

) -

S I /

,

( 1 . 2 . 3 5 )

где

*> лв а ~1 ’ LA ‘ ^

4A 4 + I ’

'

#/(<*)

/77

/»

(1 .2 .3 6 )

Д

с

t

При достаточно высокой чаототе дискретизации

(по

сравнению с

макоимальной чаототой сигналов) в

формуле (Ш .2.36)

можно округ­

лить

fa до целых чисел. При этом

1л) выразится в

виде

сум­

мы полиномов от

е ,Л

по отрицательным и положительным степеням: -

* / ( л)

» */ ( е ~ гЛ) +

i * ( e iA) . Степень полинома

а*

не превосхо­

дит

р + man //t ,

степень полинома

Ь* -

величины

/».

Следователь­

но,

импульоные переходные характеристики ветвей группового филь­

т р

- конечные и двухсторонние,

причем в

облаоти отрица­

тельного аргумента отличны от нуля самое большее

г/£ зна­

чений

й £ г , а

в области положительного аргумента

-

/>

значений

• 3111 значения могут быть

найдены по формулам

W

Г>' 0’

&S-1 тС Z/ /.

г > 0 .

(Щ .2.37)

-е,1

'г(Н) '

где

г - { г, / ■ г - М ~ г ) ;

Л * \ П *

■Г

Г£~РП ?,

При значениях 2 р + ш / jut , существенно меньших

выгоднее

реа­

лизовать групповой фильтр во временной области. Вычисления в

ре­

альном масштабе времени также

возможны с учетом задержки выходно-

го

сигнала группового фильтра на )•*/>■>■ mat//t

оточетов. Сигна­

лы на выходе ветвей

группового фильтра в этом олучае

равны:

?*,г “ £ у "г,г

г >

h * Д

& ,/ ’

? t ‘

->

(1 .2 .3 8 )

При моделировании спектра случайного источника

д (л )

опект-

ром АВСС-процеооа

(1 .2 .3 4 6 ) минишльно-фаэовая факторизация д (х )

имеет вид: f ( x ) -

(

И

Ъ. е г//* ) ( 7

-

£

а , е а л

)

7 . где

полиномы

[т - 2 1 a ,x * ), { 2

h

z *

)

имеют все

нули вне

единичного круга.

'

k**f

^

tt

/

При этом сигнал

невыходе фильтр с импульоной переходной ха~

рактеристикой 4- " s r 1 f l * ) e ~ iATdx

может быть записан как реие-

■ние

разноотнсго

уравнения zi ‘

Z a Jt.z t _t. +

2

h U - i

>

T' e>

фильтр

Н л ) - физически реализуемый и рекуроивннй. Следователь­

вычислений АД отатиотики

обнаружения по формуле (ffi.2.32) (где

i t

9 f

=

i ) ,

причем,

ашш

р

и g

не слишком валики по срав­

нению о

И

,

то

эти

вычисления осуществимы в реальном масштабе

времени.

Однако,

если параметры опектра

иоточника

6 *

( ак, * *?,р,

>г ,

0 , 1 ) _

не извеотны,

то использовать простыв БАО теоты

(Ш ,2Л 5)-(Щ .2Л 7) при общей АРСС-модели

(Ц .2 .346)

невозможно,

так как этот спектр зависит от параметров нелинейно. И только

для СС его

аппроксимации:

\р

0ке * кл\г

^ е , кя

зависимость

от

параметров

^ > * £ Щ

становится линейной. По­

скольку

в этом

случае йк

совпадает

со

значениями

рк,

а в -

токовариационной функции случайного

иоточника,

из формулы (Ш .2.34'

получаем

(учтя,

что

=

0 при

I > д

и

о » f

) ;

где

Ч>(.ТМ,

? )

= d

Tr i 7 „ ) ,

.

(d0 > - ’ dg )

W Z > mi r £ ,! * * * + * ~ е* ’

р * Г’ 1 ’

(Ш .2.39)

« . - т п

г ^

и ч -

7 ’% ' ■

- выходной

оигнал группового фильтра

J * ( * ) F

7( л )

(КЙХ-фильтра),

£ L T . .

.

Этот фильтр доцуокает

квазире-

альннй масштаб

* А*~Р

задержки входного сигнала

на р

времени после

отсчетов.

Во-вторых,

при адаптации матричного группового фильтра р ~'(а)

ществу сразу

оцениваются коэффициенты

,

/ =~р7р

его импульс­

ной характеристики (во т не

считать простых

операций

овертки мат­

риц Щ .2 .35)

для вычисления

it , 1*А ~р

по оценкам

Q ) .

делей достаточно высоких порядков

р (до

нескольких десятков),

не затрачивая вычислительных ресурсов,

превышающих возможности

мини-ЭВМ.

Процедура адаптации с использованием АР-моделей может иметь

квазиреальннй масштаб времени: за некоторый интервал

Г , в тече­

ние которого изменением характеристик помехи можно пренебречь,

"накапливается"

/> + 1

значение^ выборочной матричной автокорреля­

ционной функции помех

Ct ~

Е

Г

,

А е оГр в

конце этого

интервала по полученным. £

определяются коэффициенты АР-модели

^

, £ е ? 7 } , $

и импульсная переходная характеристика матрично­

го

группового фильтра

Р е-РГ?-

В

течение следующего перио­

да длительностью

г

коэффициенты

используются для фильтрации

наблюдений, а в конце его сменяются на

нош е.

Как показано в

следующем разделе,

точная оценка

опектра дей­

J

<*> $»)>

( 1 , з л )

где J(

(Л) -

энергетические опектры источников

помех; yt (*) -

векторы частотных характеристик среды распространения от

г -г о

источника до

элементов приемной группы; s -

число источников по­

мех. При чиоле источников

$ , меньшем числа т

приемников группы,

матрица (Ш .ЗЛ) вырождена

при всех

л независимо от ,ft (Л)

и

di (л).

Ранг

этой матрицы

г(л)^ s

и равен

числу линейно

неза­

висимых векторов

<}г (л)

Ясно, что fMr (л) может быть невырож­

денной только

при

s »

т.

Условие вырожденности матрицы ^ ( л )

при всех

л е f о, гя -J

и являетоя общим условием когеррентности по­

ля помех

по отношению к данной группе приемников. Далее будем

считать,

что

s<m-

на оо средним и ковариацией,

зависящими от BHt матрицы Г

.В

чаот-

нооти, для алгоритма (Ш .2Л5)

оо статистиками (Ш .2Л 6) и

(Ш .2Л7)

эти вероятности определяются формулами (Ш .2.24) и (Ш .2.26)

и мо­

Используя

эти

соотношения и выражение

(Щ .3,3)

для

, легко no-

казать, что для любого с~е. Xs,

Т е х т

4 4 r - f г ' - а о ? * / / в ) -fQ * g j Q ? - о-,

Cfi. 3 .4 )

Матрица

4 наряду о

зависит

также

от

энергетических

спектров источников помех. Можно показать,

что

ска

представима в

виде

4 =

4 Ы

) ,

где

J>{ U ) зависят

только

от g, (j)t

При

и линейно независимых векторах f / J ) ,

letT s

имеем:

рй * Qs'* ’ =

и соглаоно (1 - 3 .3 ) матрица Вт

обращает­

ся в нуль. При этом

Ст

совпадает с обратной матрицей для Ц ,и*.

При

4 - /

Cs

есть

поевдообратная матрица для 4 «У/,

Полагая

дг (Л)~ 9* ?f рл),

где

\ ^

(л) da = f, можно запи­

сать

величину

гС й),

определяющую, согласно

(Ш .2.29),

зависимость

**

Аг

\

U)<*W8 (^ +

s

^ -г

г?

s-

2

*Ж

- j f

\ £ * Ш , » )

/Г(•*)&*) м 6 (* )+ £ .

где

-

временной энергетический

спектр

сигнала ut

(&"),

Из формул (Ш .3.5) и

(Ш .3.6) окончательно выводим,

что при

числе источников когеррентных помех,

меньшем числа элементов груп­