книги / Статистический анализ геофизических полей

статочности /1097.

Рассмотрим следующую задачу проверки гипотез

о параметре гГ

среднего

значения

нормального распределения в

:

Ь

x \ f }

= Щ

Г (%))■, V, X

i

f } ~ К ( Г ф ? , г ф ) , (1 .2 .4 5 )

_

l/m

Г

( в

»

Ф

0,

где ГСв

).

-*■-

—

О

Я

0 •

имеет решающее

Исследование задачи проверки гипотез

ff7

соответствующие гипотезам

0С

и

Яг ,

совпадают с

предельными рас­

пределениями АД статистики при гипотезе

: 0~= ^

и близкой аль­

тернативе

Нг : (Г -

f+ T /fV '-

Полный класс тестов для задачи

( Г .2 .4 5 )

определяется

поня­

тием допустимых^ тестов. Тест ?

( f

) допустим,

если не

существует

другого теота

9 ( f ) , для которого при всех

г * ¥ * 0

выполняется не­

равенство

( Г ) ,

гле

( I - 2 *4 6 )

Естественно,

что

использовать

тест,

не являющийся допустимым, не­

целесообразно,

поскольку найдется другой т ест , лучший при всех

яГ. Аналогично,

используя функцию м о щ н о о т и (% * Т/г

)

,

можно

определить асимптотически допустимые тесты

Для проверки

близких гипотез

Н0 s

f •= f

ft, ■0 =

T ,

0<\&\<c

о

пара­

метре

распределения

р(Тл ,

«Г) и асимптотически полныйкласс те­

стов для

этой

задачи.

Т е о р е м а

I.2 -.2

/8§7. Полный класс

допустимых

тестов

9 ( f )

для

задачи

проверки гипотез

(Т .2.4-5)

образуется

индикатора­

ми к внешности произвольных замкнутых выпуклых множеств

S

в

_

( 1 ,

если

•"Ч’ Л о,

Т е о р е м а

1 .2 .3

З о б /*

Пусть тест

9 ( f <

? &

облада­

ет каким-либо свойством оптимальности (например, является РИМ,

НИМ,

байесовским, минимаксным, инвариантным, допустимым и д р .)

для задачи проверки гипотез ( Г Л .4 5 ) . Тогда

тест

0О))

асимптотически при < —-=■»

обладает

тем же

свойотвом опти-

41

дальности для исходного семейства распределений

/> (^

,( Г )

в

за­

даче проверки гипотезы согласия н-ИГ*

ffg против близкой

альтер­

нативы

.'/"=■ 8^ + fy if, <?<\гТ\< с

(является

AFHM,

HAFHM,

БАО,

ки гипотез согласия

//д •Т = &> Нт•

(f0

в ситуации, когда

се -

мейотво

распределений

наблюдений /> (^ , (Г)

удовлетворяет услови­

ям ЛАН в точке

. Из этих теорем, в частности, следует, что

функция мощности всех асимптотически допустимых тестов

стремятся равномерно

по |xf 1 < с к

некоторой предельней функции

причем

iT) есть

функция мощности теста

9 ( f ) в

задаче провер­

ки гипотезы согласия

(Г .2 .4 5 ),

определяемого соотношением

%

I

(v>

%

) } - г с * ~ ( ь >

Дальнейшие результаты аоимптотичеокой теории проверки гипо­

тез

содержатся,

например, в

обзоре

{ ! ] ,

а

также в

работах /3,

4§Д

Г .З . ОПТИМАЛЬШЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НШВДЕНИЙ

"Абсолютно оптимальные" оценки. Если распределение наблюде­

ние

,

г ;

) г

описывается параметрической моделью /(Г# ;

f

),

<Ге €><=#$, та,

анализируя наблюдения, можно вынести решение

о

том значении

ЦТ ,

которое

имело место

в данном статистическом

эксперименте, т . е .

найти точечную оценку & ( *# ) , в каком-то смыо-

ле

близкую к

.

Оценкой может быть,

в

принципе,

любая функция,

отображающая выборочное пространство

на /??, но естественно отре-

мящаяоя к "хорошим" оценкам. Качество

оценки S(T v ) достаточно

полно характеризуется

ее матрицей

среднеквадратичного рассеяния

£zrwQ %

(?(%>-£)'-/$ (fa tеЩ (г.зл)

^

*

£ Ф

"

<%)<Ъ ( * „ ) dU K )>

где

$ у (§ У cavg~ &

(x# ) - ковариационная матрица оценки;

J "

вектор ее

смещений.

Оценку &~(ТМ)

называют

эффективной,

если при каждом f & &

соответотвующая

ей

матрица рассеяния

С®) имеет

"наименьший

объем",

т .е , для любой другой

оценки

в (х~ ) имеет

место неравен­

ство

42

( Г .3 . 5 ) . Так бывает, например, когда плотность

в~)

принад­

лежит экспоненциальному семейству:

р 1 ^ ,в ) лЛ (Г„)ехр\^р (% )*/< ?) + М ^ ) } .

(Г .3 .6 )

J

Справедливы следующие утверждения [ V i J :

Sj (6> ) в

1 ) множество в

значений параметра

и функции

семействе ( I .3 .6 ) таковы,

что а ( 8 )

"зачеркивает"

некоторый

па­

раллелепипед в

когда

8~ "пробегает"

&

;

^

2) существует произвольная несмещенная оценка

в * (■*>),

тог­

да оценка

(Г .3 .7 )

'аффективная в классе

Х0 .

Условие достижения границы Рао -

Краммера

налагает

дополни­

тельные ограничения

на плотность

)

B A J , заключающиеся в

следущ ем:

Я -эффективная

оценка

существует тогда и только тог­

да, когда

р (*//’

в~)

принадлежит экспоненциальному

семейству

( 1 .3 .6 ) специального

видя,

в котором векторы

(? ,(* # ),

Т<£ { J ) ,

а

(%(&), i e / 7 f )

и функции

Я(х^),

Ь(в~)

тако­

вы, что:

а )

S ,

-

У / 0 ?~),

(1 .3 .8 )

( т .е . вектор f OTN).=

fy (*'N '>)T

представляет

собой Я-

эффективную оценку);

б) вектор

Ш

Г )“ (%(& ~ ),, о ( 8~) ) т

имеет

матрицу частных

производных

в )

скалярные функции />(Т^ )

и

К в )

обеспечивают

условие

мировки плотности и одновременное выполнение указанных выше тре­

бований к f i * # )

и

а (< Г ).

Оказывается также, что для рассматриваемого семейства век­

тор f ( £ n )

является

оценкой максимума

правдоподобия,

т .е . удов­

летворяет

соотношению

f

(Х~я )s e rg m x />(*">

6 )■

(I .ЗЛО )

то обязательно выполняется неравенство

ffгТт fn' J V ft: \ f ) И

(Г .З Л 6 )

Для наилучших несмещенных состоятельных оценок эти скорости

могут совпадать, т .е .

^

и ¥* ( f ) )1<б‘<

т а

>

$ \ гУ < Г ) я

(-**ЗЛ6)

Такие

оценки назовем (^-состоятельными.

Для них последователь­

ность

случайных величин fj\ d « ( ^ )

|

ограничена по вероятно­

сти,

т .е . для любого е > о найдется

с

такое,

что для всех

0

fig- { Г ] I ^

Ъ )

~ Г \ > с )

"-*■

« - З Л 7 )

Условие (I .S .T 7 )

и представляет

собой строгое

определение

^ -с о ­

стоятельности (или / ^ -состоятельн ости ). В большинстве

задач,

рядами,

последовательность fy , для которой справедливы условия

(1 .3 Л 6 )

и ( 1 .3 Л 7 ) , эквивалентна

0

~ г/г и

состоятельные

оценки в

таких задачах называются

{

7 -состоятельными.

Критерий асимптотической эффективности в

отличие от крите­

пени

Ж, но и по константе при этой степени. Оценка в

{ 7ц) назы­

вается

асимптотически эффективной (АЭ), еоли для нее

5 <*) = / / (/ ■ I * 0 (у ‘ ) .

(1 .3 Л 8 )

Часто ввиду центральной предельной теоремы (практически

всегда

имеющей место для параметричеоних стационарных моделей)

оценку

в

классе

^

несмещенных сценок,

так как

из

выражения

( 1 ,3 .5 )

следует, что

в классе

К0

всегда

имеет

место неравенство

ton

% ( Г

) £ j. ( 0

{Гй у

е ) ( 0 (хй ) - 0 )

r > f,

(I .З Л 9 )

где

I

-

единичная матрица,

а

соотношение (1 .3 Л 8 )

можно перепи­

сать

в

виде

46

/jn , ?„(* )tr

( ? ( ? „ ) -? )(3 < 7 „ y ff)r~r.

(Г.3.20)

Следовательно, в классе ^

АЭ оценка при больших 0 близка к

ie

задач

были найдены так н азы ваете суперэффективные оценки

у

) / Ш

, для которых в некоторое точках

(точках су­

перэффективности)

выполняется неравенство

(1 .3 .2 1 )

!& .

( ? * < * „ ) - * * ) { • * ( * * > - * * ) ' 7

в то

время

как

в

остальных точках 0

<= в> выполняется равенство

( J . 3 . 2 0 ) .

Таким образом, среди произвольных

оценок асимптотиче­

ски

эффективная

в

смысле равенства

( J .3 .2 0 )

оценка не может,

строго говоря,

считаться наилучшей.

Какой же асимптотический кри­

ем неравенства Рао -

Краммера. Последнее неравенство и следующее

из него

асимптотическое

соотношение

(Г .З Л 9 )

для класса

несмещен­

ных оценок справедливы в случае,

когда плотность распределения

наблюдений /?(*# ; f )

удовлетворяет

описанному выше условию регу­

лярности. Однако если р(7я \ Г

)

в точке ff =

t

облапает

свойством

ЛАН (см. {вздел 1 .2 ,

определение

1 ), то для

произвольна, оценок

& (Хц) справедливо неравенство Гаека Д 02/

Urn

*

&

x

■& ) $ ( 7 ff) - 0 ) r>Z,

(1 -3 .2 2 )

\6>-7\<<?

*

где

0 - любое числе.

Сравнивая

неравенства

(Г .3 .2 1 )

и (J .3 .2 2 ),

ного по 0 е

<з>

стремления к пределу нормированного уклонения

оценки.

__

Оценка f

(~х ) , для_ которой

при всех

t е &

linr

lim

sup

£ ( ? ) 40-

< *<% ) - *

) ( 8 i * t ) - 0 уг~/,

( f . 3.23)

Обратное (в

общем случае)

неверно и з-за явления

суперэффективно­

сти. Однако асимптотически

эффективная пс Фишеру оценка в (*# )

оказывается

и асимптотически минимаксной, если

случайные величи-

47

«яг

^ ') "О,

(1 .3 .3 3 )

и поэтому предел Г ( в ) этих матриц

(и для простоты -

даже после­

довательность

этих матриц)

естественно называть предель­

ной ьормированной матрицей Фишера (ПЮ-матрицей).

Трудности применения оценок максимума правдоподобия и байе­

совских оценок при анализе временных рядов связаны

оо следующи­

наблюдений р (? ц >%& ), как правило, не выражается в

виде явной или

.достаточно проотой функции параметра

В лучшем

олучае можно

цедурами минимизации

в "/. При использовании последних на

каждой т ~й итерации должно вычисляться значение р(кг ,‘ 0 ) ,

соот­

ветствующее

"текущему"

значению в (п)

параметра,

а также значения

производных

Vp (fy, &

' &) 1i e

) '

Ясно,

что

коли­

чество операций, необходимых для вычисления

)

ж V p & .e ) ,