книги / Статистический анализ геофизических полей

= { Ьк1- | j ? = 1,

h

с математическим ожиданием

8 ^

и корре­

ляционной матрицей <£к

и при независимых классах волн,

корреляци­

онная матрица £

иля упорядоченных, как в выражении

(У .2 Л 5 ), в

нули.

Максимизирующий апостериорную вероятность вектор

f

,

подоб­

но тому как это было получено для случая не зависящих от

х

флюк­

туаций,

получаем в результата решения уравнения

[ 9

=

.

(У .2 Л 7 )

Размерность этой системы уравнений h

p ^ f ^ - В

частном

случае

оценивания флюктуаций,

когда в

модели

(| .2 Л З )

имеется лишь один

класс волн, размерность

системы

(У .2 Л 7 ) будет

hq,7 .

Если же

волновое

поле регистрируется лишь в одной точке

х , то

система

( J .2 .1 7 )

сводится к

системе уравнений

(У .2 ЛИ),

причем элементы

матрицы

V в выражении

(У .2 .6 )

имеет

вид:

а элементы вектора 7

в

выражении (У .2 .7 )

.

(У .2 Л 9 )

Нужно выделить

случай, когда

* ( t ,

х )

-

нормально распреде­

ленный белый шум. Пусть мощность этого

шума в

точке х

равна N ,

тогда согласно /В27

°

*} ) r

О п щ р * ^ .

(1 .2 .2 0 )

Подставляя запись (У .2 .2 0 ) в

выражения ( 1 .2 .6 ) И

(У .2 .7 ) ,

~J i j

Н/р 5°г; <4

Uj ( * ,

(xp ) ) d t

;

(У .2 .2 1 )

~

~/p~~

УС?, xp )c/t

,

(1 .2 .2 2 )

xfi

Если же мощность шума не зависит

от ж ,

то система уравне­

ний (У .2 Л 7 ) относительно вектора

/" упрощается:

[

4 > - £ ~ J] T

- j 7* + £ ~ 7? м ,

(f .2 .2 3 )

Здесь

векторный корреляционный интеграл

Т

имеет

элементы

^

* Д

I v^(t, r(xp ) ) y (7, xp ) t i t ,

(1 .2 .2 4 )

а элементы

^

матрицы Ф будут

^ = Д

( t , r ( * p ) ) t t t .

(1 .2 .2 5 )

ловлено тем, что, как это показано

ниже, такая оценка оптимальна

по критерию минимума среднего риска

с квадратичной функцией

потерь.

Пусть критерий оптимальности -

условннй риск вида / 627 .Запи­

бия, например, для вектора

параметров формы

<Т,

как

это сделано

в выражении ( J . 1 . 9 ) :

А п (я > ,в ) = кехр |-j£

- 2 T rJ

( Т - я ? )

х

х $~т(с~-т ) = / ехр | -

^ ( Т т[

ф * в 4 ]

Т - г ? тТ

+

I- т те~7п - 2/Гтв~}'т ) |

ftp

(-j ffrre~7 m j

x

* exp |-Х (7г[</ч-б~7] 7

- гст[ Г + е ч m ] ) j -

(У.2.26)

Введем обозначения:

к apl^ -Z ™ Te~7i» ]“ if

i

’m * [ 9

+e~7] ? * .

(7.2.27)

Подставляя

эти обозначения в выражение (У .2 .2 6 ),

получим

Аг7(тп,&) - 1} е*р [-/

( 7 Т[<Р-б~'>'] с

- 2 ? т

*

>[? * 9-1]?* * 7 Т*[?<-<?->]7* - Тг*[Ф+в~!]з* } -

‘ Н

-

*

■

(У. 2 . 28)

где

ij = k ех/>|~~ mTff 7m - j J T*[ </> f в ]7 *

| .

(У.2.29)

Сражение

(У .2 .2 8 ) с

точностью до постоянного множителя совпадает

с нормально^ плотностью распределения вектора с

с математическим

ожиданием

У * и корреляционной матрицей [<Р + в ~ 7]

7,

Оптимальная оценка,

минимизирующая условный риск /62/, нахо­

дится из

выражения

%п k* j ( Г - Г>т(? - n * v { - f ( r - 1 * ) т '

>

[ 9

+ #~7J ( 7

~

j * y r .

(У .2 .3 0 )

Это выражение достигает

л

= J * .поскольку под

минимума, когда 7

вектора

7 с

математическим ожиданием

/ ' ,

Итак,

при таком кри­

терии оптимизации оценки вектора параметров

7 оптимальная оцен­

ка 7 * определяется как решение уравнения (У .2 .2 7 ):

h

- У [ 9 - С 7Г

ГС ? * ff-’ m ]

■

(У.2.31)

Это

решение совпадает

с оптимальной оценкой

(У .1 Л 2 ), макси­

и для

случая оценивания параметров, определяющих флюктуации сиг­

налов

в

мололи

волнового поля

(У .2 .1 3 ) .

При оценке флюктуаций и при условии,

что

параметры в матри­

цах

, определяющих % .(* ),

и в матрицах

£

, определяющих

и+ (*,гл

(■ * )) .

имеют заданное

значение, оптимальная оценка при

риорная вероятность будет

Л ( * / С ) Г ( Я ) - Л ' £ г А , ( г „ ) Ь . е * р

X

*б

А/

I

X

( f t - К

: - , )

- Z

Z

И **/>(*?)

(*7>

)

*,*'Г t>,q.

я J ч (t2

) d t 7 ъ

+ Д р V

с *7) ип ( t „

t2

)

, g(t7 )dt7i/t^ , где

( * р ) ] >

Г *1,1*

•

( 7 .3 .5 )

Как и выше,

полагаем, что

потоки измеряемых

сигналов принимаются

л(г) «л?|

-

~exP

\ y b \\u(t; , r ) i v ( t ; j

t^)^(t£ ) i t 7 it£ -

- j l

5\i(tf . r i ) * ( t „ b ) 0

( t e > r j ) * t , t t A .

v'"/

’

'

Нужно отметить, что

интегрирование

в

выражениях

(У .3 .9 ) -

( J .3 .1 2 )

ведется по всей

области ( ^ , t

),

но поскольку апосте­

сигналов,

длительность которых

Г много меньше всей области ( ,

t ) ,

нет

необходимости при определении апостериорной интенсивно­

сти исследовать всю область (

tf , t?

) . Этот факт существенно

упрощает процедуру вычисления

f r ( г )

и анализа волнового поля

не только

в случае простой модели (У .3 .7 ) .

Выражение (У .3 .1 1 )

для

сигналов, энергия которых

сосредоточена

на интервале (г,г+ т ),

т .е . удовлетворяющих условию

У Тиг и , г ) i t * - \ и га ,

r ) d t ,

г

г

/ ~ ( г ) - J> E ? j r

]

A ( r , ^ ) * t +j(r,rf

, r - r ,

г

-

вс

9

= У § У

[

l

Z„;

И » ( *,> Г; ) * ( $ , $ )

'

* II(tj,T }

)dt! it2

■<- Д

\ U(t, г,-

tj )>j(t2 , rj

*

'•г^

7(г> Ъ ’ г ~Г>г * Т )* % ; ri f (r-T ,r< r}, t -ц ,;

t e (r,r+ r),

где

( q )

- кратность интегрирования (У .З Л З ).

В последнем выражении интегрирование по

переменным

г- ,

i -

/7?

ведется в области ( т-т, г -* Т ), так

как

лишь сигналы,

вступившие в

этой области,

образуют суперпозицию с сигналом,поту­

пившим в

точке

г ,

для которого и строится апостериорная вероят­

ность

f j ( r ) .

Так как при построении

/ , ( г )

для анализа

использу­

ется

лишь область

(г~ г,

г *

Г ) , плотности

х ^ ( г г ,г - т , г + т)

с

ро-

отом

ч быстро убывают. Так, например, если в модели ( 7 .3 .7 )

г- -

это

точки пуассоновского потока

о интенсивностью

д

-

^

>

т . е .

в

среднем

за

время

2 Т

нужно ожидать шесть сигналов,

то

ве­

роятности

( 2 Т

) , р п

(2 Т ) появления на интервале длительно­

стью 2 Т

соответственно

1 , 2 , 1 2

сигналов

равны приближенно

следующим числам:

0 ,0 1 6 ;

0 ,0 4 7 ; 0 ,0 9 5 ;

0 ,1 4 3 ;

0 ,1 7 0 ; 0 ,1 5 0 ;

0 ,1 2 5 ;

О,ОШ;

0 ,0 5 0 ; 0 ,0 2 7 ;

0 ,0 1 3 ;

0 ,0 0 6 .

Эта

последовательность

показывает, как быстро убывает вероятность по мере увеличения

числа

сигналов по сравнению с ожидаемым количеством в области

2 Г .

У процессов с меньшей интенсивностью убывание вероятности

будет

еще более бнотрым. Отметим,

что

вероятности

Для

%

t . (ю г г

*

г*е <-*„*)■

(J.3.14)

Перечисленные условия позволяют получать хорошее приближение

для f7 l r

)

при конечном числе

членов £

в сумме

(У .З Л З ). Это ко­

личество

ч

должно выбираться по соотношению априорной интенсив­

ности потока и длительности формирующих поле сигналов.

Результаты, приведенные

для модели

( 1 .3 ,7 ) ,

легко

обобщаются

да волновое поле задано

в

L

точках

л£ ,

т ,е . для

модели

У (* ,* )•'

I

,

,

(1.3.15)

yit,x)-£#(*,%(*>) +»(*,*)>

* е I

} •

Н

В этом случае апостериорная интенсивность

t r ) * j £ ~ Т W

( £

Е

и o (tf ,

*

' %

Tj ( * f ) У * ? \xi * A r’ ?t > T< r *T

X v(i2,rix9))itjdt2J

] ;

rt-e(te,i). (У.ЗД7)

Теперь рассмотрим случай

/V независимых

потоков сигналов де­

чайным параметром

= { r ti } ,

i =

;

/ = iJW .

Поскольку пото­

ки независимы, то совместная плотность распределения

1# ( р

, tf , t

J точек

вступления

сигналов

гп ,г ;2

г.

для первого потока,

r2 J , г2 2 ,

■■■, гг цг

~

тая второго и так д'алее^

равна

произведению плотностей каждого из потоков:

Г^ ’

/1 * % ( * * ’

(У .З Л 8 )

f, (Г:)=МТг

Ti — J-—J J

Л ( rq >->rt[.. ’ r%.+ty"

; J

Як- O h ......%■

7

J~7 J+*

%) I

>/ }*%■(г^“у ’

в о

<*?

7

i ft

L

t л

* % t4> $ )t <<*)«,«* ~ ip i

\\^

) x

1

*,6‘t/>,$’!

" £ ? ( * / >

f i ' f .

(%.•

к

ttj

1

‘

* *q,

(f, Г. , t .,

t ) * r

V

.

(У.ЗЛ9)

V /

fi

J

Постоянная М в

соответствии

с нормировкой (У .3 ,9 ) в атом

случае определяема интегрированием

апостериорной

плотности

х .

.

(

Тд

,

,

£

,

t

t )

по всем?

Z

с ,-

-мирному кубу со

*/’" V

Ь

Ц

в

1*}

сторонами

( tD> * ) . Вследствие того,

что

нормирующий множитель

If зависит от области, в которой рассматривается апостериорная

вероятность,

мы вое

же вынуждены исследовать интервалы

большей

протяженности,

чем

( г - Г ,

т + Т )■

Апостериорная

интенсивность

/’-г о

потока

(У .З Д 9)

сама по

себе еще не позволяет принять решения о том, в

каких именно точ­

ках

г

имеют место

вступления

сигналов этого потока. Для приня­

тия решения необходимо ввести

порог,

при превышении которого

функцией

Г )

принимается решение о наличии сигнала

/ -го клао-

оа о

параметром

г .

Если иоследуется не один, а несколько потоков сигналов из

формирующих волновое

поле,

то

необходимо построить

интенсивности

всех этих потоков. В формуле

(У .З Л 9 )

/ ^ / , ,

/2 ,

где

У/ > ] г , ■■■, У,

-

индексы оцениваемых потоков.

Апостериорная интенсивность потока при случайных матрицах

параметров

по-прежнеМУ имеет Вид

(| .З Л 9 ),

но То

или иное

значение матрицы

V*

имеет характер условия для реали­

зации

у

( t , х ) .

Поэтому такую условную апоотариорную интенсив­

/'-го потока Яри условий матриц

Лц

I -Ь/l,

f j ( г /

х7 , , , , ,

Лм ) .

Полную вероятность для

параметра

г

/ -го

потока

можно вычислить

по формуле полной вероятности суммированием по всем возможным

условиям:

/ / ( г )

,

(1 .3 .2 0 )

где

априорные плотности условий

Х7 , . » , Л#

определяются по фор­

муле

(1 У .2 .8 ) .

В качестве критерия для измерения параметров сигнала

/ -го

потока, имеющего общегрупповой параметр

г

,

выберем максималь­

ное

значение

J j ( v / T

J )

при всех возможных условиях

а'- .

Вектор

Параметров

#у - строка

на любом месте в

этой матрице Ху

. Если

maxу^(г/ау ) превосходит установленный порог вероятности

Л, то

принимается решение,

что сигнал

/ -г о класса

с общегрупповым па­

раметром г

имел место

и что фронт

этого

сигнала

определяется

вектором параметров

a j * при котором достигается

максимум услов­

ной апостериорной интенсивности: