книги / Статистический анализ геофизических полей

процесса, определяемые формулами (П .2 .5 ) - (Д .2 .7 ),

являются асимп­

тотически эффективными.

В качестве первого применения полученных результатов рас­

смотрим оценку (П .2 .5 ) для гауссовского

АР-процесса. Асимптоти­

чески эффективные оценки параметров

Ал,

Ае /Jp

и £> получаются

приравниванием к нулю компонент матричной записи

(П .3 .6 ) для АД

статистики гауссовского АР-процесса:

(П .3 .18)

л в(гн, ^

о ,

т .е .

С учетом первого

из

соотношений (П .З Л 8)

второе может быть пере­

писано в виде

X а

С<и *

(&ЗЛ9)

6" САО~$Гг

Выражения (Д .З Л 8)

и (П .З Л 9) отличаются от выражения (П .2 Л 5 )

ку очевидно,

что \ИГ

1 ~ С * г ) ~

о по Ра вероятности для всех

к, I е кр ,

снова, уже другим методом, получаем, что

введенные в

разделе П.2

оценки Юла -

Уокера для

параметров Ак, Q

АР-процес-.

рен, и алгоритмы (П .2 .5 )—(Д .2 .7 )

определяют АЭ-оценки, отличаю­

щиеся от

оценок Юла -

Уокера

и обладающие лучшим асимптотическим

качеством, чем последние. В

этой

ситуации v ^ -соотоятельные оцен­

ки Юла -

Уокера A *,

k e f j ,

в *

целесообразно использовать как

начальное

приближение в процедурах (П .2 .6 ) и (П .2 .7 ) асимптотиче­

ты АД отатистики

Аг(гк)

(*],, ( Г ) ,

подставив в (Д .3 .3 ) вместо AktO

их оценки Юла -

Уокера

А*, в *,

и элементы матрицы

), Г в (#%),

подставив в

выражения

(Д .3 .8 ),

(П .ЗЛО) значения элементов матриц

в * и (7

( J *

) . Последние матрицы находятся по s/T -состоятельным

оценкам

Ак,

<?*

как решения оистемн матричных линейных уравнений

(II.ЗЛС>)

относительно

неизвестных Сг , т еО ,р . Система

(П .З Л 6)

яых функций

]

в точке

= 0,

^ = 0 равны

^

{ м } *

~

в

е 'Г/ { < Г ( ? ; ) Г ^ 1 } ,

l e f t -

Щ .3 .26)

Тек как

sf

незевиоиш_от

le. r 'J j,

то для всех ре (jT Ь удов-

летвортцих

условиям (П .3 .24)

и естественному

ограничении

/

?

,

имеем:

.г /

[л о \ * ч ? ,1 е Г/ i .

Предельная функция

в точке

ык

= О,

q

=

0

равна

* * ( < 1 0 j -

Q~”

(JT* £ ? ( % ) % ) ■

(П .3 .27)

Интегрированием по частям нетрудно проверить,

что при

Р е(

)~Ре(р)

всегда верно: £ ¥

(е^)

Однако при

# 0

это,

во­

обще говоря,

не так,

и

J = о

только для р£ (jT)*

удовлет­

воряющих условию

£ Р ( ^ ) е ^ - ~ 1 ,

(П .3.28)

Далее,

на основании центральной предельной теоремы для слу­

чайных процессов с оильным перемешиванием можно показать, что

при выполнении условий

(П .3 .2 4 ),

(П .3 .2 8 )

и дополнительного уо-

ловия

/ tr[?(^)¥(Щ ) ?f «?Г7<~0

(П .3.29)

Лг {<?<?} и

А в \о,о\ асимптотически

нормальны с нулевыми средними

и_автоковариационныш матрицами,

аналогичными матрицам

(П .3 .8 )—

(П .З Л 2 ):

t,n & (p ], r ‘ 4~,rf f ( e j ) < f i r(s J)ff

/ \ f)= /

{ e

’rf ( % ) P r '(J) £Г!® ё ^ е ^ \ -cvecsT) (*есО~*)г;

r

AG( f ) -

Г Ш{ 9 ) ~ в ;

(П .3 .30)

Cr ,

re o, p - f

- автоковариационная матричная функция АР-процееса.

Совершенно аналогично доказывается, что в

ситуации,

когда

существует матрица чаотных производных вектор-функции

^ "(у )п о

параметрам

% ;

<Рк ( f ) ,

i, к &

С ю J

,

удовлетворяющая ус­

ловию Липшица на компактах в

Л0

, и

следующему ограничению

C f r l v C ( e J ) ^ 8 ^ J < - ° ,

Ш .3 .31)

производные элементов АД отатистик

(П .3 .23) по

элементам матриц

с£

и ^

(иодированные на Ъ /\/Т) сходятся по

распределению в

пространстве

€ (® )

к детерминированнш фунщшш /> W

' *

и

Jo а* •Совокупность последних функций можно компактно записать,

используя кронекеровское

произведение матрщ,

в следующей фор®:

] m l <РФС^

'

г-я е ^

J >

где

<Р = -в~,г f

v ?

( s l ) S

'; ',

b

o )

-

О

с ,

J ^

, г ч ¥ ( $ ) в ~ ,Ф % еф

-o -rr & 4~

Z

П

u

] - * * * - о.

(ff.3 .3 2 )

i СП) (as) J

Обозначим П

класс

всех

распределений

p £ C f),

для

которых

выполнены условия

(П .3 .2 4 ),

(П .3 .2 8 ),

(П .3 .29) и (ТГ.3.31) .

Из

сказанного

выше

следует,

что

при заданной вектор-функции

<P(f)

справедлива следущ ая

теорема.

_

Т е о р е м а

П .З Л . Пусть вектор-функция ¥ (у " ) имеет част­

ные производные

по рг ,

/ е /7т

, которые отвечают условию Липши­

ца на компактах в

Ат ,

Тодда для класса f t

плотностей р£ ( ¥ ) по­

рождающих независимых последовательностей

et

оценки коэффициен­

тов АР-процесса

-

корни системы уравнений

U H fi,

Л * ( Т ^ в ) - О

-

асимптотически нормальны о параметрами

( (Г, - д Я (0 )),т т

' $ ( ¥ ) * P 'f ( 0 } / r( 0 ) ^ ( ¥ ) f

-1(3.3.83)

r*(0)

/ 0? >

* * ( ? ) ,

0

г((Г )-

* S(&)

/ f

■6h

Г "*

f i t

блочно-теплицевы эрмитовы матрицы, определяе­

^ v ~-

мые

соотношениями

(П .3 .30) и

(П .3 .3 2 ).

З а м е ч а н и е

к

т е о р е м е

П .З Л . В важном

частном случае,

когда параметры в АР-процесса известны

и оцени­

ванию подлежат лишь параметры

/£,

г е

,

утверждение

теоремы

П .ЗЛ остается

справедливым для значительно более широкого клас­

са Ш у

распределений ШП

:

- {ps ■/ А ? ,

£ e e r*I, m < t) ¥ rCn\<^ y v ¥ (¥ ) Ц<~> } . (2.3.34)

Клас

Ш у

отличается не только более слабыми требованиями

к моментам распределения

/ е

,

но и самое главное, тем,

что '

р£ е

Ши,

не долган отвечать добавочному стеснительному ограни­

чению (П .3 .2 8 ).

Таким образом,

АЭ-оценки параметров

^

суще­

ственно

более устойчивы к априорным сведениям о распределении

ШЩ

по сравнению о АЭ-оценкой параметра

0 . Последняя теряет

свою состоятельность, если распределение р£

не имеет достаточ­

ного

количеотва моментов или не удовлетворяет ограничению (П .3.28).

В

одномерном случае

( да = 1 )

имеем

р

А г

& ] ,

рш

;

р

А-//'

г’п е

А■

} '

^ v(¥)>

(П .3.35)

?S - J L

■

7 = £<?*(£) ег-р

// = £ 9 ( e)e *-f,

f ‘

’

где

cr

- ковариационная функция АР-процесса. В результате асимп­

плотности р£ (р)

ШП

е£

от действующей

р£ су) в

имеет вид

^

Г *

' 0

J ( 0 h

р

А*

4 / 0 7 ,

(П .3 .36)

£

Как важное

следствие

из

теоремы П .ЗЛ рассмотрим ковариаци­

онную матрицу для АЭ-оценок,

построенных в предположении, что АР-

процеоо - гауссовский, в ситуации, когда

реальная ПНП

jj" - нега­

уссовская . Выше указывалось,

что АЭ-оценки для гауссовского АР-

процеоса оовпадатат с

оценкаш

Юла - Уокера. Для

нормальной плот­

ности />е с £ )

имеем

и класс

совпада­

ет с классом 01

нормированных распределений ПШ1 % , имеющих

Четвертый момент:

& ~ {А г '/<?"= Q

£ ^ € ^ 1 ,

/ 1 ^ 1 ^ * " } .

(П .3 .37)

Из формул (П .3 .30) и (П .3 .32) при этом следует:

0 м* /0 -' Ф С ^ ,

■ *-№G tp 7=

Г * - Г А,

0= Q# г>

' /.4~ S

М )(us) ~

Q 7 ®(р<) Fo'a) А

*

>)'

) a t^ S'

т .е .

9 1

<- Q~” ® Q~fJ i

(fl.3 .3 8 )

^lrk)(m)a Д? °iri)

% u)F { £(»i- £(JH

V

Scrk) Gcsu)>

T .e . / * - £ \ o

,r If e J

Q~r ® st &l

\ - tvec $

’) (w e

t r 1 7.

/(<*)=/"*=

1 Ct_„,

г ,я е

ip

7 ;

(П .3 .39)

Л -?

~ £ e f.

Г

'

г

>

9

' с '

0

(П .3 .40)

m

- f

а

ScL

г

Таким об о зо м ,

оценки Юла -

Уокера

обладают чрезвычайно вы­

сокой устойчивостью,

т .е .

состоятельны и асимптотически нормаль­

ны для произвольных распределений ПНП

Щ ,

имеющих четвертый мо­

мент; р£ & 0 1 . Из формул

(Ц .3 .3 8 ),

кроме того, вытекает, что АКМ

оценок Юла -

Уокера для параметров

4к,

А е К/>

инвариантна в

классе й ? , в

то время так для параметров масштаба

0

зта

матри­

ца зависит лишь от четвертого момента распределения

( / )

е 0 2 .

Воли предположить,

что />е

(ЦТ) обладает четвертыми моментами,

аналогичными моментам

стандартного

нормального распределения

3 ,

если

h j= s = & ;

£■ \е

£

е

s

. 1

1 ,

если

/

0 = 0)

}=5Ф/ = 0г

__

/= и

*

S “J>

(П .3.41)

1 0)

(/) К)

(0) I

О,

если / ф^ ф я ф г/,

то

из формулы

(П .3 .38)

следует,

что

Г.

}фг U<r>)

ia)

*s

W(rs)

сЩ

-tr

n-f

£ е *

Crt)№)

* ®(rs)

®(*и)

О)

it

**s

#ФЭ

ж,

таким образом, Лв~ / & = Г,

т .е . при дополнительном ограниче­

нии (П .3 .41)

оценка

Юла -

Уокера для

0

также имеет

инвариантную

асимптотическую ковариацию в классе

&Z .

Отметим, наконец, что если матрица

0

известна

и оценивают­

ся лишь матрицы

(подобная

задача возникает,

например,

т п

идентификации линейных дивамичеоких

систем,

описываемых разност­

ным уравнением

(П .З Л )),

то оценки Юла -

Уокера для

^

состоя­

ПНП

;

<%ЛРе ‘ £ е = 0 > ^ ^ s 'r= l ] ,

(ff.3 .4 2 )

т .е .

ограниченность четвертого момента <?, не требуется.

Робастные (минимаксные при Ж -*-°° ) оценки АР-параметров не­

гауссовских временных рядов. В ряде случаев,

при отсутствии точ­

ней априорной информации о распределении ШП

st , можно охарак­

теризовать из каких-либо соображений класс

{Р£ } , которому

данное распределение принадлежит. Цусть этот класс таков, что

для каждого его элемента

р£

существуют описанные выше АЭ-оценки

Ак ]

flip)

^

др_ШраМетров

(индивидуализируемые своей вектор-

функцией

Р i f )

= У in pe ( f ) )

и каждая оценка Pff? P (fl}

состоятель­

на и асимптотически нормальна при всех распределениях

Д е е с

ковариационной матрицей Д

(р ) , зависящей от

<Р~ и, следовательно,

от ре

и

р£ . Если характеризовать качество оценок асимптотиче­

ским риском

rp(?)*mt Вп(РР(^СрУ^)>' А р е С ;

Ру<Р)~\лГ>#\, (1-3. 43)

где ИГ

- истинное

значение АР-параметров,

w (x) » о - некоторая

функция

потерь, то

для широкого класса »(кр (включающего, по-ви­

димому,

большинство практически разумных функций) в силу асимпто­

тической нормальности

Ру (р)

риск

^ (р )

будет зависеть только

от матрицы Рр (р ) '

гр (р ) = / / д ( р ) ] ,

f £ J » 0 .

(Д .3 .4 4 )

В качестве функции

? Г д ] от матрицы может выступать,

например,

функция fTU ) ] * t r J )

- сумма асимптотических диоперсий оценок,

которая возникает при функции потерь

w(X)= |* | , или $ /Д/=>

= tr £ c(et р ч ,

где

Л

- Ш

у/ ъ Л

, ]

-

корреляционная матрица

оценок.

.у

Поскольку

Д

(р)

- АЭ-оценка для

/>€ е £ , ясно,

что $ ■ ( / ) -

~ т'пр е р гр< Р )

т .е .

функция гр (р )

есть

нижняя огибающая пара­

распределение д

е Ф

,

для которого

€

(/%)=* sappeC ГР(Р) • Прин­

цип минимаксного оценивания в классе

состоит в отыскании тако­

го распределения

ps

е €

,

для которого выполнялось бы уоловие

sup

rs

ip )~ to*

sap

г „ {р ).

(П .3,45)

pe<t

“

•р е р

р е е

г

Оценка Ру (р )

называется минимаксной

(или робастной) в

классе

оценок, асимптотически эффективных для

распределений ps <= С

Рассмотрим сначала робастную сценку для параметров Лк,

А е/Тр

при известном

Q . Здесь в

качестве

С/

выступает множество, опре­

деляемое условием: для всех 4 , р£ е

^

риантные АКМ, а точность

оценки параметра в зависит только от

четвертого момента ПНП

. Используя

спектральные выражения

(П .2 .3 ) для ДЦ статистики гауссовского

АРСС-процесса, можно обоб­

щить этот результат в двух направлениях. Во-первых, расширить

класс порождающих процессов

, для которых оценки Юла - Уокера

Рассмотрим класс <7" ПНП Т

- мартингалов разности /10§7 с

конечными четвертыми моментами,

т.е. обладающих свойствами

(5 .3 .4 8 )

где et _7

- ^-алгебра событий,

порождаемая величинами Щ ) >'<? -•*>,

Из

выражения (ff.3 .4 8 )

оледует, что

“ А и

где

- оимвол Кронекера,

т .е .

кегауооовский мартингал разности

ными значекяят ^

выражается {опещшлытм образом) только в мо­

ментах выше второго порядка.

Базируясь на результатах, изложенных в /40, 42 , 4057, можно

доказать следующую теорему.

Т е о р е м а

П .3 ,2 . Оценки параметров

J?t АРСС-процес­

са, асимптотически

эффективные в предположении, что порождающая

последовательность

- гауссовский белый шум,

остаются состоя­

довательности ^

из класса

При этом АКМ оценок АР-параметров

At инвариантна в

классе Р

(и выражается формулами (П .3 .3 5 ),

(П .3 .4

4 )),

а АКМ СС-параметров

J>k зависит лишь от

четвертых мо-

.ментов

/ {

£й н е( .^

еа н .

]

компонент вектора

е ^ .