книги / Статистический анализ геофизических полей

max

f j ( r / a j )

- // ( г / Т !

) > h .

aj

Лp

Оценка aj

является

оптимальной для выбранного критерия.

1 . 4 .

БЕЗУСЛОВНО ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ФОРШ

Система уравнений (У Л Л З ),

решение которой дает

оптималь­

ные оценки параметров формы волн,

получены в предположении,

что

кинематические параметры матрицы

А

заданы. Уравнение

(У Л Л З )

можно рандомизировать, полагая матрицу

А случайной с

распределе­

нием Р (Л ). Тогда

задание

матрицы А

в

выражениях (УЛ .И )

-

(У Л Л З )

имеет характер условия,

и получаемые в результате

оцен­

ров формы принимает в случае

независимых потоков вид

if

if

+ в 4 В .

(У .4 .1)

\Ф П d P (A ,) *■ в~Ч *

\ Т п

dP(At )

Если ввести

обозначении

if

И

if

-1

\4>nttnin*$

\Tn<tnAt )=T,

(У .4 .2 )

* /•/

•

к*7

*

где элементы Матрицы Ф и вектора

J

определяются по формулам

*Afa

/

\ [ \ ъ ( t „ *kifT

{лР) ) г ,($,

*

X ? { * $ W

( як ) ]

t2 )d t? d t; ;

(У .4 .3 )

"л£, i Л фЛ Ъ > с * > ( 4 ) ] ;

,

X l A A )

будет иметь вид,

подобный

[?

* (Г*7Г - Т+ еГ*В ■

(У.4.5)

В выражениях ( 1 .4 .3 )

и ( 1 ,4 .4 ) интегрирование ведется по

всему'множеству значений

элементов матриц

А,,,.., A# .

добавить требование некорредищемости шума как

на различных, так

и на отдельных трасоах, т .е .

предположить, что функция

имеет вид,

подобны!

" щ Щ . ';>•

9f

Р

Ф % .

С1.4.И)

Выражение дли

?< *> в

атом случае будет

% * \ f y * > $ l * > * * >

(У .4 Л 2 )

где

(1 .4 Л З )

t

f ( t )

! ( * » * $ ) •

( 1 .4 Л 4 )

Последнее выражение » ото среднее по множеству траоа о коэф­

фициентом

4 • Йля потока

о индексом к раамериооти квадратной

матрицы неопределенность

которая является диагональной

ВЛбткой матрицы f ,

будет

равна числу членов аппроксимации в вы­

ражении для формы элементарной ВОЛНЫ (У Л .4 ),

воли оценивается

X

9 t f ~ b n ;

(У .4 Л 5 )

(У .4 Л 6 )

( f .4 .1 7 )

эквивалентно отысканию разложения

у i t ) по множеству

функций

(*)> у

= i7~n, определяемых формулой (1 .4 Л 7 ), с

минимальным

уклонением в

метрике пространства

1г .

мирования волнового

потока

поля можно выделить область

(t7) <4, ) t

такую, что аддитивный шум

7 ? { t ,x )

в ней пренебрежимо Мал. Тогда

модель можно представить в виде

L ч

( 3 .2 )

Здесь,

как и в

модели

(Ц Л Л ) ,

Stj. (* , > гк1сх ))~

Это волна

/-го потока,

фронт которой

описывается в

пространстве функцией

( х ) . Индекс i означает,

чтс

в фиксированной течке

до этой

волны уже вступила

1

волна

в моменты

% (*»)•

Ь ы Щ *

вое менъше

T/tt Г ^

•Всего таких

вступлений в

(t7, ^ ) ,

может битв не больше ^ .

Оыберем следуадую систему функций в формуле

(1 7 .1 .4 ) ,

опи­

сывающую

/-но волну

/ -го класса:

'

( П *3)

где Х г

р * ;

t * )

» характеристическая функция интервала

существо­

вания сигнала с фронтом

}* t e t r ^ U h

% ( * ) * ■ $ ) ;

( 2 - 4 )

■ * ' * * ( % ( * > •

Ч ,(Ж )* Г^

‘

Тогда

к а р я я

ролна В модели ( П .2 )

описывается

таким выражением:

* е ( * г Ъ ) .

Ш .8 )

Ори принятых предположениях модель

( 0 . 2 ) можно записать

как

' " ' ' • " ■ i

i h ‘4 - С Y t w ' T w > •

< я . »

После Возведения в степень (

('И ) выражение

( 0 . 6 )

принима­

ет рта:

( а л )

Пели ввести обозначение

< / , о - £ < - > Г ( , ' ) г | д , г

/

:

'

(

,

( Я . ю

то

(Н .9 )

Зависимость

от

t

ср аж ается

В

скачкообразных из­

менениях в моменты

^ . ( х ) , что видно из выражения

( 0 . 8 ) .

Цуоть

вое значения

г ^ (

х )

при каждом фиксированном

х

(а

их будет

)

упорядочены так, что

г ^ (х ) < r f t 1 C x ),

Г -Л

£

ь

.

Тогда

на

интервалах

(

( х), r?t }

( х ) ) значения

коэффициентов

Ь ( х,

t )

останутся

неизменными.

На каждом из

таких

интервалов

( rg ( * ) ,

y(t> x )

может иметь

не

более

п>

нолей, по­

скольку

на

этих интервалах

y ( t , х ) представляет

собой полином

степени

т с постоянными коэффициентами. Так как всего

интерва­

лов

23 у , ,

то

y (t,

х )

при фиксированном

а

имеет

не

более

/г

Ik

нолей. Отсюда

получаем оценку

снизу

g l х)

суммарного

количества

всех

сигналов, формирующих

у (

1 , я) на интервале

t2 )

в

каждой точке

/

в

виде

f

i

n

® Л 0 )

Здесь

}„ - число

нулей

д ( t , x

) в

интервале ( t , ,

t , ) .

Пусть д - я производная по

t

от у ( t,

х )

будет

обозначена

как

у ^ Ч

t, X ) .

Поскольку дифференцирование понижает

степень

по­

линома

(и

тем самым возможное число нолей), естественно

оценивать

снизу число сигналов

в

(

t? ,

£

) по максимальному

значению

(^ Л О )

для всех производных. То, что зто возможно, видно из следующих

выражений:

д-1

7»

{ t , x ) =

£

£

/)/> (/> - п

} т{> />=У

(У 1Л 1)

где

i i 9 ) ( t , x )

S-Pt s \

>r

ч*

s-p

__

E i - 1 )

{ , )

E

E

**,;*■ *»

*

&

A2 )

i =1

Таким образом,

g (^ 4 t ,

x )

на

интервалах

( ^

(x),

r? + t ( x ) )

выражается полиномом степени

г » - у

и не может на каждом из

этих

интервалов иметь более

м - д нолей; всего

на

интервале

(tJt t2 )

будет (т -(])Т ,^ дк

нолей. Оценка онизу для числа

сигналов

д

,

формирующих y ( t , х ) на

(

)

оогласно

выражению ( Л Л 2 ) ,

имеет вид:

}.1 х )

д(х)>

’

(Ялз)

где

Ид -

число

переходов через

ноль

у (9)( t, х ) .

Учитывая оценки

(Н Л О )

и

(Н Л З ), получим,

что

количество

сигналов

д ,

формирующих

д i t , х )

на интервале

(

^ ),

может

быть оценено выражением

Дуоть

-

вероятность

вступления

в

облаоти

((;'-/ )л , /4 )

сигнала

и

1

~

^

-

вероятность

отсутствия сигнала. Можно

считать,

что

воя

область

Hi

разбита на

К подобластей о равно­

мерными парциальными плотностями

( t )

для моментов вступления

сигналов вида

4 - l t )*

и

) }

(Щ Л Л )

f a t e ( U - T ) j t 4 ) ,

i - t f r

Роли

e Р ,

i * / 7 7 ,

то

P it)

- Р

и не

зависит от

t . Подотавим

дардаальнце

плотности

(У И Л Л )

в

выражение

(ГУ ,2 ,2 0 ) . Получим,

что рлотность

распределения

п

вотуплений сигналов

* „ ( г , , . . . , г , ,

4 4 )

( Ц Л .2 )

зависит

не

от

моментов

,

f y , a лишь от исследуемой облаоти.

ПИХоя подобластей

4

, Положение

Л» моментов вотуплений сигналов

при уоловйй, что в

области

/4

их было ровно

г / ,

равновероятно.

К модели о равномерно разбросанными в облаоти

44

момента­

ми вступления приводят модели с

пуаосоновокими потоками оигнаяов

и биномиальным потоком с

парциальными плотностями (ЗЩ Л Л ). При

малых значениях

р

и больших значениях

4 модели пуассоновского

потока с

интенсивностью

л

* р

и биномиального потока

практически

на различаются.

Если

рассмотреть

модель ( £ У Л Л 2 ) в

качестве примера при /К=1,

нормально флюктуирующем векторе

^

и матрице

•Pit,

f (л>) раз­

мерности

7 *

, то