книги / Статистический анализ геофизических полей

где

Lr ~Jx \мЧ(л)

ч ( л ) е ~ 1ЛГИл

;

> t e Ip -, l e Ц _ ] ,

2ж

(П .2.37)

где

| Л~7( л )® 1

~7(л ) е ~гЯгс(л .

Для одномерного гауссовского

АРСС-процесса матрицы i f . ,

Lr и

в выражениях (П .2.35)

и (П .2 .3 8 )

превращаются в

числа,

матричные

функции Д~7(л ), А"1( л ) и Г (л )

А

]

- в

обычные комплекс­

нозначные функции, а

кронекеровское

произведение штриц - в

обычное произведение

комплексных чисел.

Чаотные случаи;

"чистые" АР- и СС-процесон. Рассмотрим, ка­

мерного гауооовского

АР-процесса ( g = 0 ) компактно

записывается

в

виде

совокупности

элементов составной матрицы

Л (7 Я ) ~ [ Л гл

,

l e t ,

р , Л$] ,

выражения для компонент A j и / ,

которой получают-

оя

из

условий

Щ .2 .3 1 ) и (П .2 .2 8 ),

еоли подставить

в них М л)

-=

-

V

*

s

(П .2.39)

где

Игл

А = ~ 1 .

А (л ) = - Z 2 .е

(П .2 .39) придать "временную форду",

т .е .

с

точностью до D (?/V # )

по вероятности записать матрицы А *

и

в

виде:

гд е

О,

-

£

г г

+ шГ+?

tr

t=p+1

к-7 X " t-k

i e r означает

циклический сдвиг

индексов

на

г

матрица

Л''

мыслится как верхняя треугольная.

Из

выражений (Д .2 .3 5 )-(Я .2 .3 7 ) далее следует,

что

ПНФ-матри-

г =

Г 0

где

р 0 ш Q-J в, Q~l .

(П .2 .41)

О

>

]

■

-

2л

‘х - г >

t . l

£ 7, р ] i

так

как

j y

$ 7 (л )е ~ 1ЛГ</л ■ 4 -;

и в

2л . „

у

\ г Ч

л ) е и

г 7/л

= 0 ,

2 £ / , р ] ™=0 .

о

Для чистого СС-прсцеоса

( р - 0 ),

параметрами опектра

которо­

го являются

элементы матриц

Лг ,

1 е $ 4

(причем матрицы

Ла -

ментов матриц

A f, I £

Я,J

,

которые

согласно

уравнению

(П .2.28)

тлеют вид:

=

£

\[Г7], ( Tj Т

/ [ D-Jl - I

J e~ UJ г,

геО ,г ,

(П .2.42)

причем матрица

А 0 мыслится

как верхняя треугольная. ГШФ-матрица

для параметров

Лг гауссовского многомерного СС-процеооа соглас­

но выражению

(П .2.36) представляет

собой блочно-теплицеву матри­

цу размером

тг (% + 1 ) *

г 7 ) :

r* = [L*_n , l,n

eg^ J ,

(П.2.43)

ГД0

2х

1 т ~ 7 ^

\

Г ~Г(Я) 9

Г~1С * )е ~гЛГ* * »

Р (л)= л и )

«

it .

г

= Т , лке

* , Л.А = $ 1 .

(Х/ц, d

Г

*

\ X j f - d U j )

.

)

f a

W I A J )

eoslnJ ' Ze/>* ’•

d W

COS lA cos Я»

1,

neo.q . I

f 2(A)

(tA,

где d(4) - / (A )

« £ d , e ltA ,

d,

- - d , .

*

Алгоритмы аоимптотичеоки

аффективного оценивания параметров

ки

А и ШФ~матрщн Г многомерных гауссовских АРСС-процессов

позволяют построить конкретные алгоритмы для

АЭ-оценок матриц

Лг ,

I е 1,р ,

$г ,

структура

которых

определяется форму­

лами

(| .2 .5 ) - Ш .2

.7 ) .

Из выражений

(Д .2 ,4 0 )

и (П .2 .5 ),

в частнооти, вытекает, что

зультате

решения оиотемы уравнений

.4

р

I е }'/>

(П .2.44)

Л г а ~ 1

(Z

■ т.

djt^i

) - 0

,

к* Г

Из второго уравнения имеем

У

f

N

*

-А*-

•+*

J* v **■

(П .2 .45)

*

“

Ж Д ,

* *

' где

4

= ** - f a

v

_

где Аг -

решения первой системы уравнений в (П .2 .4 4 ). Неоложные

выкладки

в

(П .2 .45)

о учетом

(ft, 2 .4 4 )

приводят

к АЭ-оценке пара­

метра

4

вчда

&

- L ~

£

к с [

•

(Ц,2.46)

М~1

Выражения

(П .2 .44)

и (П .2 .46)

отличаются

от выражения (П .2Л 5)

для оценок

Юла -

Уокера лишь формулой для выборочной автоковариа-

циоиной функций

Ct

• Поскольку

очевидно,

что \Jd(Cr

но Рв -вероятности,

получаем,

что

оценки по методу

моментов для

параметров

^ ,

к е

, $

АР-процеоса

в

гауссовском

случае оказы­

= 0 для

АЭ-оценки (П .2.5)

существенно

отличаются от систем урав­

нений

(П .2 .9 ), (П .2 ,1 2 ),

определяющих

оценки параметров Ak ,

J)j, I

е

0 ^ этих процессов по методу моментов. Другими оловами,

вания,

и предлагаемый подход приводит к

существенно новшл оцен­

кам - асимптотически

эффективным и достаточно

просто

реализуемым

в вычислительном отношении.

Нелинейная

система

уравнений

Л

(7 ^ ,8 ) “ О

для АЭ-оценки

(П -2.5) в случае

СС- и АРСС-процессов не

решается в явном виде

и приходится прибегать к итерационным процедурам ее решения, в

частности

к

оценкам

(П .2 .6)

и

(П .2 .7 ). При использовании

оценки

(П .2 .6)

значения

компонент

АД статистики

и ПНФ-матрицы вычисляющ­

ая по формулам

(П .2.28),

(П .2 .31)

и (П .2 .3 4 ),

исходя

из

^ " - с о ­

стоятельных

оценок

k e

,

J)t ,

le S T t,

которые

находятся в

результате

решений уравнений (П.2.9)

и (П .2 .12)

метода моментов.

Улучшающая поправка

z T = ^ -

/7*

к оценкам

А *, Л * находится

да­

лее как решение

системы линейных уравнений

Г (8%)# - у** й

( х№,

$£),

2Г*

НС (8/

)

•

(П .2.47)

влг

Mrv)

В результате уже этой первой итерации получаются АЭ-оценки

8t ,

з

-8г е

07i

.

Тем не менее процедуру улучшения можно итера­

тивно продолжить: по уценкам 8 ^ = 8^

8

вычислить новые

значе­

ния T(7ff ,

dff

)

и Г (8 <7)

) ,

и в

результате

решения оиотеш уравне­

ний (П .2.47)

найти

новую поправку

£ (г)

и новую оценку

+ #<-1) .

Повторение описанной процедуры приводит к оценкам

(Д .2 .7 ), которые

теоретически

в

асимптотике при

не лучше,

'чем оценка (П .2. 6),

однако при малых и средних значениях

N обыч­

но имеют меньший разброс.

Систему линейных уравнений относительно

pmz

не­

известных

flt ,

J>t

можно записать

как

систему матричных линейных

уравнений относительно матричных улучшающих поправок

d^~ ^

- / * ,

к е

и

-i, -

j f ,

1 е.

0,1

:

Т

/ *

Л *

+

Т

7

1 е J, p ;

(П.2.48)

~

Т Г

Л г

>

Т

Л * * Т

/J>

i

7

Л-В

ЕЛ-***

+ £ д

ттгл1’

t e c f y

,

где L f, i f

ж

- ( 6г ) определяется выражениями (П .2 .3 5 )-

(П .2 .3 7 ),

для

решения которых, по-видимочу, можно разработать

При

параметрическом спектральном анализе неизбежно возникает

во­

прос :

ъ

какой отепени оцененный энергетический опектр

В (л,

) ,

где

8М

- полученная по наблюдениям оценка параметра,

соответ­

ствует

истинному спектру F ( л ) в том случае,

если последняя функ­

ция не

принадлежит параметрическому классу

[ в ( л ,/ 7 ) ,

8 <s & j

?

ли существует В -Ur»^

>

где

/ -

вероятностная мера,

соот­

ветствующая истинному

спектру

/~(лр.

какова

степень близости

В (л,80 )

В (л,

)

к истинному спектру

В (л ) ? Ответ

на

эти вопрооы для АРСС опектральных оценок может быть получен на

основании следующей теоремы, аналогичной теореме Г. 3 .3 .

Т е о р е м а

П.2 Л . Цуоть наблюдаемый временной ряд

^

имеет

спектральную плотность

? ( л ), такую, что

d et Г ( л ) % J >0 ,

ограниченный момент

В

<*® и обладает свойством равномер­

ной оидьной перемешиваемооти /2 7 7 • Тогда

АЭ-оценки параметров г а -

уооовокого АРСС-процеоса, вычисленные по реализации процесса

,

аоимптотичеокй нормальны о параметрами (Т0 ,

L а

) ,

где

8% = vec

•

* (

Sz(us) )

находятся из

следующего соотношения:

агд

т » х

Г ( * , 8 ) ] ,

0 е

;

,

U

.

^

J [ ? ( * ) ,

(л )Г (л ,0 ) + trF 7(A,SJfw JdA

; (П .2.49)

В ( л , 8 ) - опектр АРСС-процеоса^ в форме

(П .2 Л 9 );

0 -

невырож­

денная матрица,

зависящая от

F ( л ) и четвертых моментов про­

цесса

®

- множество

значений параметров

/е гТ р,^ , 1 е лс/

АРСС-процеооа,

таких,

что det Г ( л , 8 ) 2 £ > д ,

р (л ) "А/ 7

А~л

>

* * ]

имеет все

корни вне

единичного круга.

Нетрудно показать, что

80 удовлетворяет

следующей системе

уравнений:

гд е

А„(л)— Z Л.е'*я ,

2>»(л) =Z

Ле**4 ,

p] .

Поскольку минимум в соотношении (П .2 .49)

всегда

существует,

сис­

тема

(П .2.50)

имеет решение. Заметим также, что гауссовский

слу­

чайный процесо

Yf

t t e l

обладает

свойством равномерной сильной

переметилаемосги,

если его спектральная ллотнооть удовлетворяет

условию £ 21] \

2JC

(П.2.Ш )

J 1од[№ 2я Г (л )]с(Л

.

О

Известно,

что функционал

А(л, /Г)]

представляет

оо-

ое

Yt 00 спектром

f ( л ,В ) относительно гауссовокого процесса

со

спектром £ (л ) .

Таким образом, при АРСС-моделировании гауссов­

НЕГАУССОВСКИХ МНОГОМЕРНЫХ

АР-ПРОЦЕССОВ .

Устойчивость спектральных

оценок к закону распределения на­

блвдений. При отклонении

распределения /> ]])>

порождающего AFCC-

процесо белого шума

от гауооовокого рассмотренные в разделе

П.2 АЗ-оценки параметров

Aj., 4 АРСС-процеоса,

конечно же, пере­

вых

оценок являются инвариантные оценки, асимптотическая точность

которых остается постоянной в некотором подкласое

(хотя

для

каждого конкретного распределения из <Х

эта

точность ниже

"абсолютного" предела). Наконец, если класс

5 возможных распре­

делений известен из априорных предположений,

то можно стремиться

ной для какого-то распределения из

) имеет минимум точности

для других распределений из этого же класса,

превышающий анало­

гичный минимум для всех устойчивых в

классе

^ оценок.

время только для гауссовского случая.

Тем не менее удается

показать, что рассмотренные в разделе

П.2 АЭ-оценки параметров

Ак,

гауссовской

APGG-модели сохраня­

ют устойчивость (и частичную инвариантность)

в

столь

широких

нлаосах распределений порождающего белого шума

^ ,

что вопрос

где

^ —/ ;

£~t

-

порождающая последовательность независимых

Векторов о

£в^=&,

ft ?

I

и плотностью распределения

Q -

верхняя

треугольная матрица. Параметрами спектра АР-процео-

оа,

генерируемого уравнением

(П .З Л ), являются элементы матриц

ket"f>

и

в . Распределение выборки наблюдений

(Г *.

Т * )

АР-процеоса ( т .е .

/ -связн о го

марковского процеооа) имеет

вид

(см. раздел 1 .3 ) :

• в у p ( T f ) П

Н-р

(П .3 .2 )

д ( - o f 4 |- ) Ш а ' 1Т

i«ptt

* * '

т

Оно обладает свойством ЛАН,

если распределение Ре (#~)

удовлетво­

ряет

ограничению ( 2 .2 .4 ) .

соответствующих элементам ^

и

матриц 4 и 6> /АЪ/\

4

r’* e m

(П .З.З)

4

rk) u * ; 9 1W ^ f,

) %-a) ]>

r,A

где

? < % ) m Q~{ r ? ( %

) = ( % '

r e i ” )>

<%> J r

le**y>

Г ( % ,Г у к с ( А ', ге/^;Л9),

(П.3.4)

ности матриц в вектор.

Из выражения

Щ .3 .3 ) оледуют простые выра­

жения для матриц А / и

А в :

Л ,Л( Г „ в - )

f irz

Щ)хt-гt' i e f,p ;

(ff.3.5)

Г Л , ? ) -

В частности,^из

выражения (П .3 ,5 ) для гауосовокого АР-процесса

при cP (f)= -у~

получаем

) . “ О .

(З.з.6)

f

я

у

^

^

где G* QQ,

См

= у 2_^ ^

- выборочная автокорреляци­

Г (0 ) =

г \ в )

г*\в)

. r ^

r / . M j r

(д >3<7)

г ° Н в )

Г 9 ( в )

Блок Г А((Г)

имеет размернооть т г/>% т 2р и ооглаоно уравнениям

(1 .4 Л 5 )

и

(Я .3 .2 )

состоит

из

элементов

Г *

'f? \ % (st

a

)

%

)

*f-», &•)

} ~ f a / 4 -я- a t ) /

l(rk)n(us)

(ff.3 .8 )

гле г(т )

~

злементы матР1ЩЫ

Г г .

< eT( 5

.)0 'T; £i-n > (sA ) -

элементы матрицы С,

-

f

Г ,

Блок Г

АО

£ п ,

0*

*~1

t -П

поскольку

его эле­

еоть m y tm z

-нулевая матрица,

менты

_Л?

/я

—

,

-fT

(П .3 .9 )

hrk)('ic r k.io»S)~ts f

(Si O k а))

+

(ei^ £(h(s) )}

равны нулю,

так

как

xi ,i> Ск)

независимы

с

я ■%[%-/

(Г) } - Я

Блок f s

имеет

размерностьт гпт ! и состоит

из

элементов

f(tk )(u sf£ {

^

% )

^ £Ш ) et(s) 1 ' в(*к)

®ats)-

Ш .ЗЛО)

Матрицу f fl ((F )

можно компактно

записать в виде

блочно-тешгацевой

матрицы размера

т гр %т гр ,

попользуй кронекеровокое произведе­

ние матриц:

Г * ( в

)ш £ г <3» Cl n ,

Z,r>G i ,p J .

(П .З .И )