книги / Статистический анализ геофизических полей

смысл, что

и в теории случайных процессов /5§7.

И л ,

МОДЕЛЬ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

Сейсмическое волновое поле y ( t ) . г д е

t -

временная, х

-

пространственная координата, представляет

собой

суперпозицию

н

классов волновых: потоков Jk ( t ,x ) ,

t

=йЯ

и случайной функции

помех ff(t)

/,г

ЦУЛЛ)

х )

+ n (t ,x )

*

Разбиение волн на клаооы может

осуществляться на основании

го класса сред

и условий постановки эксперимента либо формально

по

набору признаков,

например по

"сходству"

в определенном омыо-

ле форма волн или их фронтов.

Волновой поток

Ак с t, х ) / -го класса

представляет собой су­

перпозицию элементарных волн этого класса

Ski ( t, tki < х ) )

в точ­

ке

х , количество которых к моменту /

является случайной

величи­

ной

Sk { t , x ) ;

tt { (.x) - годограф

/ -ft

волны / -г о класса.

Поня­

параметру множество элементарных волн,

объединенных по какому-ли­

бо признаку в

один ю и оо. Естественно

предположить, что функция

rf ' (X ))

удовлетворяет условиям физичеокой осуществимости:

Условия

(Г У Л .2) и ( Ц л .3 ) физической осуществимости сигна­

лов означают,

что в модели волнового поля вое формирующие его

дый из

них равен нулю. ^Количество

элементарных волн каждого из

клаооов

6k (t, х )

,

вступивших в точке

х к моменту

t

предполагается

случайным, как и моменты вотупления

г^. сх) .

Рассмотрим такие

модели волнового поля,

окгналы

SH (t, г^.(х))

в которых удовлетворяют еще одному условию -

определяются

конеч­

ным числом параметров. Г^сть

- % ? ( * • % < * > ) * .

Ш Л А )

где Ск(

= { Ск { .

} , /

-вектор -стр ока параметров, определяю­

щих форму

г'-й волны

/ -го класса;

^r(ti tkl ( х))= {^ - ( а,

rki. ( х ) )

} ,

j -1 ,п

-

выбранный набор функций. Б чаотнооти,

it, г ,( < х ))

может быть подмножеством ортогонального на интервале

(гк{,( х )

,

г^лху + Т )

базиса, где

Т -

длина интервала, на котором сосредо­

точена анергия сигнала. Символом

Т вверху обозначим операцию

транспонирования вектора или матрицы.

Условие (Г У Л .4 ) означает, что для реальных

сигналов возмож­

на аппроксимация такого

вида.

Случайный вектор

будем рассматривать как сумму двух

векторов

- детерминированного,

являющегося математическим

ожиданием

(Гк . , и случайного

£t i

о нулевым математическим ожида­

нием,

который назовем параметрической помеховой. Тогда

Щ , х ) = z

( щ ц

?

( ъ / ж) )

•

(|УЛ .5)

/*/

Специфический вид параметричеокого шума,

когда

(Гу л .6)

где

9t i -

случайная величина

о математическим ожиданием, равным

I , будем называть флюктуациями детерминированного

сигнала.

К одному классу волн будем относить все

элементарные волны,

деляющих форму зтой волны, т .е .

векторов

Т .

Структура аддитивной помехи

я( t, х)

макет определяться в

модели под помехой воегда

будем понимать '

суперпозицию случай- <-

ной функции, не связанную

с сигналом возбуждения, и некоторых

классов

волн. В частном случае, когда идентифицируются или оцени­

ваются

все классы оигналов, помеха { я , *

)

предотавляет сабой

лишь случайную функцию, не

связанную о сигналом возбуждения. Это

может быть некоторый постоянный фон в точках регистрации поля,

щумы аппаратуры, сигналы,

порожденные внешними источниками.

В

тех случаях, когда дом анализа необходимы идентификация и

измерение параметров воля одного класса

на фоне других классов и

Выделим некоторые частные модели,

овязаннне о

традиционно

принятыми при интерпретации.

1 . Если в

модели ТУЛ Л

# - Т. ж

х принимает

значение' л7,

•••> -fy, то она

соответствует

сейсмограммам отраженных волн для

ние лишь из

некоторого конечного множества

/7,

xti, и тем са­

мым всякий годограф■задается в L точках. Даже если значения кри­

вой f y ( x )

в этих

точках определены точно,

интерполяция и экс­

траполяция

rt -( х)

полиномом степени, большей L -/

, лишена омыо-

кривой необходима сгладить,

то степень полинома аппроксимации

должна быть меньше L -1

. Из

сказанного следует, что каждый годо­

граф rt ; ( х ) в

области наблюдения может аппроксимироваться векто­

ром параметров

аА - **{

}

, j

, таким, что

фронт волны.

Кроме того, в

каждой точке

х

количество вступивших

волн Q Lx, t }

на временном

интервале (

t0 ,

к ) - это неубывающий

том, что кривая т (х)

задается

вектором параметров i t а {о0,..., amj,

И в нашем случае поток

волн выражается потоком векторов

o ’ , каж­

дый из которых определяет фронт

соответствующей волны;

время

Вотупления ее в точке

X имеет

вид

Ш ) « £ a. у. ( х ) .

( ! 7 . 2 . i )

j .f f

J J

Поскольку ограничений на форму волны не накладываем

(исклю­

чая лишь то, что фронт может

быть описан конечным числом парамет­

р ов), то для .двух кривых

г . ( х )

и t j i x ) могут найтиоь области

X,

* * (х г,

хг ) и

хг

-

(хг ,

xs ) ,

танце,

что гг ( х ) < гд-(х),

х с

X

и

ггг 1 х ) £.

t j ( x ) ,

хеХ2 .

Ъ

этом случав

порядок вступлений

* -й

и

/~й волн в

областях

Xf

и

Х2

меняетоя.

Чтобы избежать трудностей

дочение волн осуществляется по коэффициентам

ад , т .е .

г <j

, ес­

ли ав - < од. . Это

означает, что найдется точка

хд , такая,

что

г.(х9 )

< Г)(Х д).

Здесь

Хв - некоторая фиксированная пространотвенная коорди­

ната,

для

которой

f\ (* в ) * 0 при к - 1 , 2 , . . .

и % Сх)

•»/,

по

ное их изложение дано,

например,

в /ГО,

* 6 , 8 1 /, В

определениях

будем оледовать /ГО/.

Случайным потоком

M ti)

назовем случайный процесс, зависящий

от параметра t и характеризующийся числом точек,

выпавших по слу­

чайным законам на интервале

(

t ) при

tg < t .

Можно привеоти различные формы описания случайных потоков.

Вами использован метод,

опирающийся на

специальные

сиотемы плот­

ностей.

В исследуемой области

(ta , f )

значений параметров

r4( ^ ) j

где задан поток, возможно появление

одной, двух

и т .д . волн или

их непоявление вовсе. Перечисленные события совместно образуют

полную теоретико-вероятностную

группу событий .Достоверным считает­

ся факт того или иного количества

волн,

в том чиоле и нулевого,

в наследуемой области. Введем систему плотностей

%n ( ri > •••< тн ,

tg ,

t ), описывающую каждую из

возможных альтернатив и дающую по­

теку

исчерпывающее описание,

Это плотности вероятности

жя ( ц ,.„

,

Тп >

t9 , t )

появления

сигналов в

^-окрестностях

точек

т„

,

где

П п 0

,

Вне

перачиолекных

^-окрестностей сигналы отсут­

ствуют, Введенные плотности

зависят от области ( tt , ? ) ,

посколь­

ку предполагается отсутствие

сигналов вне перечисленных

J -окрест­

ностей.

Вероятность

того,

что а

упорядоченные интервалы (т7, гг +

+ Аг )> ■" >(г„,т „

4 „ )

попало

ровно

п

точек и что в остальной

части области ( ts , t

)

вступлений

сигналов не было, о

точностью

до величин второго порядка малости относительно

j

- mux At-

опре­

деляется плотностью

л 0 ( г?,

Tg ,

ta , ф) и окрестностями

Afti

®, о,

А/%

* * „

( r f ,.„

, Т„,

t8 , t ) 4 r

.,A v [ 7 - + { l ( 4 ) } .

Q T .2 .2 )

Вероятность вступления

я

точек

в

области

( t#, t

)

независи­

мо ОТ расположения точек в

этой области

определяется суммировани­

ем по воем условиям вероятностей появления сигналов с условием

попадания в

(? 7,

г ,

*■

(г л

+

интервалы}

) *

\ *гГ

-

А ) .

(fy .2 .S )

Поскольку достоверное

событие

-

это появление какого-то

ко­

личества точек (В

том чиоле

и нулевого)

в области

( ta,

t ) ,

то

*

У

я

f

*

(fy .2 .4 )

Если физическая

природа

сигналов

такова, что

изменение’по­

рядка вступивших сигналов

не меняет их суперпозицию, то-этот

по­

определить плотность

ягп (г7 , .,.,

Гр,

> t )

на /7-мерную область

изменения аргументов

(формально

считать,

что

при

i

) так, чтобы

л „ ( г 7 , . . . ,

y t9, t )

была симметричной при

произвольной перестановке параметров

т>. Всего

возможно п 1 та­

ких

перестановок. Для потока неразличимых точек

вероятность

'

*

?

(г/'-,г гл> *t>О -

( £ 7 . 2 . 5 )

*в

$

/’-мернощ

В дальнейшем

/'-кратное интегрирование по

брусу

оо

сторонами (

t ,

t

) обозначигл символом

$ . Тогда

*

t

_

Здесь вектор

г £

= (r? , t, , , тд ) ,

Нам понадобится вычислить среднее От некоторых функций,

за­

висящих от

вектора

параметров

? .

Чаще всего

это

будет среднее

от

суперпозиции оигналов

V ( t ,

г

), вступающих в

моменты г? ,

,

т„ в облаоти ( tff

) . При неразличимых

сигналах формула для вы­

числения среднего такой суперпозиции будет

£ [ т

$

/

)

]

*

,

*

>

( S - 2 . 7 )

я=0

п ‘ 1Ю

где

U (t ,

г „ )

= Z V ( t, Tj ).

Существует еще одна система плотностей, полностью определяю­

щих поток

/„ (Г у ,

г „ ) ,

п * 7 ,г ,,..,которую

назовем системой

й -окрестностях

точек

г„

независимо от

того, вступают или

нет сигналы в остальной части области (

t„ , t ) ,

Эти плотности ло­

кально характеризуют поток лишь в

окреотности аргументов и не за­

висят от всей облаоти. Плотности

(r ; i ... ,т „) выражены через

srk ( r ]

f ,

% ,

t

t ) ,

Ast». Вероятность появления оигналов в

г7 .... ,

определяется через условные вероятности того,

Что сиг­

налы вступили в

эти моменты и еще в некоторые моменты

г „ ^ ,...,

г п Н » будет

А -

0 ,- 1 ,...

Полная вероятность вотупления

сигналов

в r 7 ,

—1 г„

будет

получена после

суммирования всех условных ве­

роятностей:-

~7т\к^>>+Л

гг* " '* Г'”

Г»+А

>

^тп+л. <

( 1 7 2 8 )

Особое меото

среди плотностей

/ „ (

) занимает плотность

/у ( г )

— локальная

интенсивность потока