книги / Статистический анализ геофизических полей

процессами вида ^ ^ *

$ t ,

где

- детерминированная вектор­

ная последовательность,

a

-

стационарный случайный процесс

Предположение 1 .

Матричная автокорреляционная функция Сг =

£ таС- г

Убывает доотаточно быстро, так что сходит­

ся

р т

Т

, 1 е г \ < ~ > .

где

I f

|

* - Z

с *

.

(1 .1 .5 )

r v

Г

*

r<ty)

Из выражения ( f .1 .5 ) следует, что существует энергетическая

матричная спектральная плотность

A W ) - Z

*е * А Г .

л е [ ц и 1 ,

- оо

*

/ f

~}Лг

(Гл.6)

€v a & r \ ^ U ) e

г е -

Предположение 2 . Процеос

^

-

регулярный процесс максималь­

ного ранга,

т .е . его

спектральная

плотность удовлетворяет

усло­

вию

гх

9 "

{ ~h !)

Ш

Я г 'Ш

* » } >0.

(Т Л .7 )

Из

этого условия следует,

что матричная

спектральная

плот­

ность

fM )

допускает факторизацию /74/г

Ш Ь

А(еи ) C S*( е !Л),

(1 .1 .8 )

Где

S(z)

-

аналитическая в

единичном круге матричная функция,

такая,

что

S(Z) - Z

A Z 4,

lzl<z,

0 = 1 .

d . 1 . 9 )

t*0

*

*

<p(z) »

dgt

3 (z )

не обращается в нуль внутри единичного кру­

г а ;

G -

некоторая положительная определенная

симметричная дей­

ствительная

матрица,

причем

Р / ( г х ) > 0

%~ Ш

st-k>

se ~ z >

( 1 л Л 0)

где

i/,

-

векторный

белый шум:

С

г

-

<£, -

символ Кро-

Ч

некера;

^

представляют

£ g i

f

/

m

**■I.

Величинн

собой ошибки оптимального:,линейно-

то прогноза

процесса

на

один шаг:

*

* + - /{•

r ] . Если функция Ус*; -

ctct В (х)

не

обращается в

нуль

не только внутри единичного круга,

но и на

его

границе

и

ряд

( Г Л .9 )

имеет радиус

сходимости |*|

> 4 ,

то

можно показать, что

« - « • « >

где

^

-

коэффициенты разложения функций I - B (z)

в

степенной

ряд. Таким образом,

при описанном дополнительном условии процесс

f

допускает

бесконечное авторегрессионное

(АР)

представление

е л . ! »

Далее,

поскольку

из выражений

( Г Д .И ) ,

(1 Д Л 2 )

следует,

что

£ ';( ф / ~ £

4 х к,

из

уравнения

( I . i . 8)

получаем

к=1

Ы ) -

( 1 - 1

4

* *)~ГВ ( 7 - 1

в / * - 4

( I л Л З )

причем в

силу аналитичности функции В (Z)

в

замкнутом единичном

круге функция <P ',(z )= c fe t (l - ^

4А 2 к)

может иметь

нули вне

замкнутого

единичного круга.

Наряду с бесконечным СС представлением

(Г Л ДО)

и бесконеч­

ным АР представлением

(Г .1 Л 2 )

для

регулярных процеосов макси­

мального ранга существует еще бесконечное АРСС представление.

Оно получается

оледугацим образом. Рассмотрим наилучший линейный

прогноз

величины

по предыдущим

р

значениям процесса

:

.

р

р

^

__

f

-

1

У

^(|

(по4 ,

к е /,/> у .

(I Д Л 4 )

Можно показать,

что

процеос

77

>

/

ъ~

(| Л Л 5 )

Е -

Т I f , + Т в .т

(1 Л Л 6 )

*

к-1 к 'tik

к f-t

i t

где

-

векторный белый шум,

(Г Л Л 6) спектральная плотность

В

соответствии

о условием

w

V

К

’ *,

(Г Л Л ? )

где

J&J!

1 -

Т

ж . / м

J

(.*0

*

АРСС-аппрокоимации гауссовских регулярных временных рядов.

Представления (1 Д Л 0 ), (1 Л Л 2 ) и

(1 Л Л 6 ) произвольных регуляр­

ных многомерных процессов

приводят

к мысли о том, что естествен­

4 .

Класс процессов скользящего среднего

(СС-процессов). Эт

Процессы описываются соотношением

( I Л .18)

где

В0

- верхняя треугольная

матрица;

В0 4<Г - положительно опре­

деленная матрица;

у

векторный белый шум:

£s^ T j+ r =

- $т1 ‘,

полином

B et [А

4 г 1 ]

имеет все нули вне

единичного

круга.

2 . Клаоо процессов авторегрессии (АР-процессов), удовлетво­

ряющих разностному уравнению

р

/>

Гф = Т

§ 3 ^ ,

(Г Л Л 9 )

где

полином

B e t f 1 - Т A , t kJ

имеет вое

нули вне единичного круга,

_

В0

- такая

же матрица,

как и в соотношении ( 1Л Л 8) .

3 . Клаоо процеосов авторегрессии -

скользящего среднего

(АРСС-процесоов),

удовлетворяющих разностному уравнению

где

и матричные коэффициенты

4>

4

обладают теми же свой­

ствами, что и в предыдущих случаях.

Важный вопрос,

который возникает в

свяэи

о введенными про­

цессами - при каких условиях можно утверждать,

что для п р о ­

и з в о л ь н о г о

белого шума

разностное уравнение

(Гл.20) (включающее в себя соотношения

(Г Л Л 8 ) и

(1 .1 Л 9 ) как

чаотные

случаи) имеет решение f ~

,

представляющее собой регуляр­

ный процесс максимального ранга/ответ на него дает следующее

утверждение /83Д

Т е о р е м а

I Л Л . Если все

корни полинома

Г (я)- 0 e t [ f -

-

корни 9(х) ;

- кратность этих корней (число одинаковых

корней минус единица);

векторы

! Г (7, I)

- линейно независимые ре­

шения оистемн уравнений/J r

J д

О,к) = 0 ; матрицы <С О,/• * )

однозначно определяются р

начальными условиями $ y t i , . . . , ^ 4a =~Z.

Первое (детерминированное) слагаемое в правой части уравне­

ния

( Г Л . 2TJ

представляет

собой общее решение однородного уравне­

ния

f

t

- Ж

AJ T

стремящееся к нулю при *-»-= «». Второе

k~f

к %"К

а л . г з )

где

-

незаш стлю случайные векторы с плотностью распределе­

ния РЕ (у~ ) ■Задание датриц

А е

полностью определяет

спектралыгае

свойства линейного

процесса, а совместно с плотно­

стью

Ре (у") -

все остальные

его

вероятностные характеристики.

Ясно,

что

временные ряды (Г Л .2 3 ) являются СС-процессами

с бес­

конечным числом параметров. С другой

стороны,

любой АРСС-процесс,

согласно

теореме 1 Л Л , допускает бесконечное

СС-равложение

(Г Л .2 3 )

по порождающей его

случайной

(не обязательно гауосов-

ской)

последовательности

.

Можно обобщить модель линейного

процесса

( 1 Д .2 3 ) ,

если от­

рождающей последовательности

гГ и заменить ее

на требование,

чтобы

представлял собой мартингал разности /1057,

т . е . удов­

летворял условию

И

£ \ f t Z

/ * * - t V

* ,

< 1 л -24)

где

- «--алгебра,

порождаемая величинам

е^ , А е~т , t - r .

Из условия (Гл .2 4 )

следует, что

=

>

т .е .

в гаусоовском случае мартингал разности -

просто

последова­

тельность независимых случайных величин, а в негауссовском - это

белый шум,

в котором зависимость между последовательными значе­

ниями s~t

существует, но выражается только специальным образом

в моментах

выше второго" порядка. Процессы вида (Г Л .2 3 ) с порож­

раметрических временных рядов

наиболее

просто

реализуем

в случае

независимых наблюдений пс той причине,

что совместная Плотность

распределения выборки Т*~ (

)

здесь

имеет виц

вопрос,

принадлежит ли &0

некоторой

области вд

. В таком

слу­

чае говорят, что по наблюдениям iy

проверяется гипотеза

% f i e ®а .

Альтернативой для гипотезы

Р0

является гипотеза Р7 •fi~e &\&0 ~ &/г

где &

- множество,

которому из

априорных соображений всегда при­

надлежит параметр

. Если

@0 -

&~t ,

U 6 ^ ,

т .е . гипотеза и

альтернатива состоят

каждая из

одной точки, то

и Рг

-

про­

дения *>*(•*£, t е

f, Р

) могут

состоять или из

случайной помехи,

т .е .

, или из омеои (необязательно аддитивной)

сигнала и помехи,

т .е .

=

Обнаружение

сигнала заключа­

перь допустимо

описание этих плотностей в рамках некоторого

пара­

метрического семейотва Р(хЦ,

в ) ,

Тогда

задача обнаружения

сигна­

ла

по наблюдениям может

быть решена только в том случае, кор­

да

множеотва

и

0f

значений параметра

, соответствующие чи­

стому шуму и омеои сигнала с

шумом,

не переоекаготся. При этом об­

наружение оигнала, по существу, есть

решение описанной выше зада­

чи проверки гипотез.

Правило вынеоенго решения о

параметре ( Г

при проверке гипо­

тез

называется

теотом

и записывается в

виде

1 ,

принимается гипотеза

Р,,

О,

принимается гипотеза

Рг

( I . 2 . I )

Такого типа функции от наблюдений

всегда

могут

быть выражены

в виде индикатора

некоторого

критического множеотва

. Послед­

нее задается сравнением с константой (поротом) i

тестовой

ота-

тистики у гл у ),

т .е .

<е(Т )

6СЛИ

* * ’

т *е *

9 (Г* > * * ’

,7 о о

'[ О ,

еоли TH eS<f,,

т .е .

# ( * ’„ ) < *

V

'

{ пршятъ

^ / верна

^

пт,,), Г* &й,

( 1 .2 .3 )

fy *

р

[принять

н0 /

верна

Н,

}=

в е

Величина

называется уровнем значимости теста

V (X g )

(вероят­

ностью ложной тревоги), а

величина

f

— вероятностью пропуска.

Удобно ввести функциюyfy (6 ) ш

) > называемую мощностью те­

ста

Ч>(ГЯ ) ,

для которой

f е & 0,

f e ®т

(1 - 2 .4 )

В общем случае не существует тестов,

которые минимизировали

бы обе ошибки, и чаще всего

используют стратегию Неймана — Пирсо­

на /26/ е

т .е .

ограничиваются

классом

тестов

/£. ,

таких,

что

а“/>

/* ? ( $ * )

Ц .2 .5 )

и в атом классе ищут равномерно

наиболее мощный (ГЯМ) тест <Р°<.*н),

для

которого

функция мощности при всех в в

@1

выше, чем функция

мощнооти любого другого теста

ФС*#):

sup

sup

'„ ( в ~ ) ) * о .

(Г .2 .6 )

ve XaL

e e ®t

V

Для простых гипотез

#0 : ff

=

ц

: в ‘=г&г

наиболее мощный в смыс­

ле

Неймана -

Пирсона

тест

определяется леммой Неймана -

Пирсона

Z§§7:

'1, если

г

б р > &

;

(Г . 2 .7 )

,VA

I', если

HTg /

^Г;

где

I tfff Iв ^ ,

6>Q)=

ln fp (fy '

) / p ( f y

)

]

-

логарифм отношения

правдоподобия}

выбирается по заданному уровню значимости та

уравнения

=

d . 2 . 6 )

Для сложных гипотез условия существования FHM тестов извест­

ив

1{х# /в ;6> )

когда гипотезы *0 , 4

и отношение правдоподобия

имеют определенную структу­

ру

(монотонное отношение правдоподобия, экспоненциальная форма

отношения правдоподобия),

что веоъма

редко выполняется даже для

гауосовских параметрических моделей временных рядов. Например,

для гипотез

В * | ;

Н1 > в> &а

ИМ тест существует, если лога­

рифм «ношения правдоподобия

1(Тк / &,&) для любых

г»> в

монотон­

но зависит от некоторой статистики

?(*# )•

Этот

тест

имеет вид

Ш

г