книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

если имеет место обратная ситуация, т. е. окончание s-ro рабочего цикла /-го агрегата предшествует оконча­ нию >k-ro рабочего цикла /-го агрегата.

Рис. 6-10. Временная диаграмма работы i-ro и l-то параллельных агрегатов.

/ — рабочий цикл; 2 — цикл регенерации; 3 — простои; Р — время обслужива­ ния агрегата при переводе на регенерацию.

Для одновременного учета ограничений (6-25) и (6-26) введем дискретную переменную У” , принимающую зна­

чение 0, если соблюдается (6-26), и 1, если соблюдается (6-25). Тогда вместо (6-26) и (6-25) можно записать следующие неравенства:

где М—достаточно большое число (константа), кото­ рое можно выбрать, например, на основе следующего условия:

max (T[l) -j-/(/)).

I $ 5Р

Допустим, что для каждого i-то агрегата (/= 4 ,..., т)

известны Т\п. t[l), t\l) .

Расписанием работы комплекса назовем последова­ тельность времен начала рабочих циклов Т\1), /г— 1,...

Л/, / = 1,..., m, удовлетворяющую^ ограничениям (6-24), (6-27), (6-28).

Сформулируем теперь задачу календарного планиро­ вания работы рассматриваемого комплекса: найти рас­ писание, минимизирующее общий простой агрегатов, т. е.

Полученная задача является задачей смешанного це­ лочисленного программирования и представляет сущест­ венные трудности для решения.

Рассмотрим некоторый эвристический алгоритм, ко­ торый в ряде случаев приводит к точному решению за­ дачи.

Первоначально пренебрежем ограничениями (6-27), (6-28). Тогда оптимальным расписанием будет такое, при котором неравенства (6-24) превращаются в равен­ ства и общий простой агрегатов (6-29) равен нулю. Рас­ смотрим полученное расписание, т. е. последователь­

ность?^0 .Для этой последовательности переменные 7^

фиксированы и неравенства (6-27), (6-28) можно заме­ нить более простыми (6-25) и (6-26). Если эти нера­ венства выполняются для всех циклов работы агрега­ тов, то полученное расписание является оптимальным решением поставленной задачи. Если же какие-либо не­ равенства (6-27), (6-28) не выполняются, то при фикси­

рованных значениях могут быть найдены новые зна­

чения переменных 0<% путем решения задачи линейно­ го программирования с критерием (6-29) и ограниче­ ниями (6-24), (6-25), (6-26). Возможны также более простые способы решения.

Предположим, что ограничения (6-27), (6-28) нару­ шаются только для t-ro цикла t-го агрегата, тогда для тех агрегатов, которые связаны с этим нарушением, вве­ дем минимально возможные простои, приводящие к лик­ видации нарушения ограничений. Будем называть эту операцию упорядочением расписания на t-u цикле. Если при этом не произойдет нарушения ограничений (6-27), (6-28) ни в одном из циклов ни для одного агрегата, то найденное решение будет оптимальным.

Когда исходное расписание приводит к нарушению ограничений для ряда циклов или когда упорядочение на t-м цикле приводит к новым нарушениям ограниче-

ний, можно перейти к процедуре последовательного упо­ рядочения циклов. Эта процедура начинается с упоря­ дочения первого на временной оси цикла, нарушающего ограничения, затем переходят к упорядочению следую­ щего, ближайшего к этому циклу с нарушениями и т. д. При такой процедуре любое упорядочение на t-u цикле не влияет на расписание до момента t. Так как число рассматриваемых циклов для каждого агрегата конечно, то процедура имеет конечное число шагов. В результате получается решение, которое в общем слу­ чае может быть и неоптимальным.

Ранее предполагалось, что в каждый момент может быть обслужен только один агрегат, любой другой мо­ жет быть обслужен либо, до, либо после этого момента с интервалом в р единиц времени. Можно изменить это условие и разрешить в каждый данный момент обслу­ живать несколько агрегатов, но не больше чем г. Эври­ стический алгоритм нахождения решения остается тот же. Можно предложить ряд других вариантов условий обслуживания.

Рассмотрим другой критерий для задачи календар­ ного планирования работы рассматриваемого комплек­ са— общую производительность комплекса. Выше про­ должительность рабочего цикла и цикла регенерации считалась неизменной и заданной для каждого из агре­ гатов. В этом случае задача максимизации производи­ тельности комплекса сводится к задаче с критерием минимума суммарных простоев агрегатов, взятых с не­ которыми весовыми коэффициентами.

В реальной ситуации эффективность работы агрега­ тов, в частности производительность, меняется в тече­ ние рабочего цикла. Этим и определяется необходимость введения периодического восстановления эффективности путем перехода на цикл регенерации.

Существуют агрегаты с монотонно падающей эффек­ тивностью (рис. 6-11). Такую характеристику, в част­ ности, имеют шаровые цементные мельницы вследствие износа мелющих тел. В цехе помола цемента для груп­ пы мельниц возникает задача составления расписания загрузки мелющих тел (и производства ремонта) для повышения производительности цеха в целом.

Падающие и одноэкстремальные характеристики ви­ да рис. 6-12 имеют многие химические реакторы. Актив­ ность катализатора в подобных реакторах быстро па­

дает. С падением активности меняется выход R(t) це­ левого продукта, отнесенный к общему количеству

сырья.

Основным показателем работы реактора является среднее за полный цикл значение выхода

(6-30)

о

где —продолжительность рабочего цикла; tB— время восстановления (регенерации), принимаемое постоянным для каждого реактора.

Параллельное соединение нескольких реакторов должно обеспечить условия, близкие к непрерывным по входу и выходу комплекса. Это особенно важно для последующих непрерывных технологических процессов, если, как это часто бывает, емкость на выходе реакто­ ров ограничена. Поэтому одновременно целесообразно останавливать минимальное количество реакторов (на­ пример, один или два) и соответствующие ограничения на расписание (6-27), (6-28) в данном случае связаны не с ограниченностью ресурсов обслуживания, а с не­ обходимостью обеспечить непрерывность выходного по­ тока комплекса.

Расписанием работы комплекса из т параллельных реакторов будем называть последовательность времен

начала рабочих циклов /^.удовлетворяющую ограни­ чениям (6-24), (6-27) и (6-28), причем, tj£ считается

переменной и неравенства (6-24) превращаются в ра­ венства.

Сформулируем теперь задачу календарного планиро­ вания для данного комплекса: найти расписание, обес­ печивающее максимум выхода целевого продукта, т. е.

т«j

Сформулированная задача является очень сложной задачей смешанного целочисленного программирования. Рассмотрим некоторые возможные упрощения, позво­ ляющие получить достаточно хорошее с практической точки зрения решение.

Рассмотрим случай характеристики рис. 6-12. Для отдельного реактора средний выход y{tv) достигает максимального значения при длительности рабочего

цикла определяемого из условия

Из этого условия и (6-30) получим:

Для т параллельно работающих реакторов опти­ мальные для каждого иго реактора длительности рабо­ чего цикла п (£=1, т) не совпадают между собой. Ограничения (6-27), (6-28) не позволяют для каждого k-ro рабочего цикла каждого t-го реактора выбрать

длительность t[l),равную оптимальной для данного ре-

«р

актора.

Предположим, что на основе найденных оптимальных значений п можно определить последовательность оста­ новов.

Запишем критерий (6-31) в виде штрафной функции, равной сумме потерь от неоптимальной длительности от­ дельных циклов

тп1

где

Обычно допустимое отклонение фактической продол­ жительности цикла от оптимальной ограничено

в (6-25) или (6-26) можно выразить через длительности предшествующих рабочих циклов данных реакторов. В результате получается система линейных ограниче-

коэффициентов, принимающих значения —1, 0 и +1. Таким образом, задача календарного планирования

для параллельных реакторов с критерием (6-36) при заданной последовательности остановов сводится к за­ даче квадратического программирования, допускающей

в(6-27), (6-28).

Вобщем случае при различных значениях Ci после­ довательность остановов, найденная на основе опти­ мальных значений тг-, может быть неоптимальной. Для проверки на оптимальность при найденной последова­ тельности остановов решается сформулированная выше задача квадратичного программирования и определяется функционал z в точке оптимума. Если найденное зна­ чение 2>0 мало, то решение получено с достаточно вы­ сокой точностью. В противном случае возникает зада­ ча выбора новой последовательности остановов.

Схемы параллельного соединения реакторов перио­ дического действия с характеристиками, показанными на рис. 6-12, широко распространены в химической тех­

нологии, например в производстве синтетического кау­ чука.

В качестве примера на рис. 6-13 приведено опти­ мальное расписание работы для шести параллельно соединенных реакторов дегидрирования бутиленов. Об­ щее число переменных задачи равно 17, в результате решения получено значение 2=0,46, что является до­ статочно малой величиной. Для допустимого расписа­ ния, составленного вручную без ЭВМ по значениям тг и ограничениям (6-34), 2=4. Следует отметить, что ре­ шение ряда конкретных задач составления расписания работы реакторов показало, что выбор последователь­ ности остановов, соответствующий Ci=c (i= 1, ..., m),

определение последовательности выполнения технологи­ ческих операций и соответствующие модели содержат дискретные переменные. Одним из методов для реше­ ния таких задач может быть имитационное моделирова­ ние, рассмотренное в предыдущем параграфе.

Глава с е д ь ма я

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ПОТОКОВ

Во многих случаях оптимальное планирование и управление предприятием возможно только .с учетом факторов неопределенности. Задачи оптимального пла­ нирования в таких условиях решаются методами стохастического программирования или путем статисти­ ческого (имитационного) моделирования системы. Прин­ ципы моделирования применительно к задачам кален­ дарного планирования были рассмотрены в § 6-7.

В этой главе рассмотрим основные модели стохасти­ ческого программирования, применяемые для задач распределения материальных потоков на предприятии. Методы решения и классификации задач стохастическо­ го программирования основаны на [112]. Вместе с тем в этой главе более детально рассматриваются способы решения, применяемые для простых моделей.

Наиболее простыми являются линейные модели с од­ ним или несколькими вероятностными ограничениями. Одно ограничение задается на вероятность выполнения всех неравенств, которые носят стохастический харак­ тер. В случае нескольких вероятностных ограничений задаются вероятности выполнения отдельных ограни­ чений. В обоих случаях наряду со стохастическими воз­ можен учет также и детерминированных ограничений.

Близкими по постановке являются задачи с ограни­ чениями на математические ожидания и дисперсии, на­ пример дисперсии материальных потоков или показате­ лей качества продуктов. Эти задачи называют задачами со статистическими условиями.

Случайными величинами могут быть коэффициенты целевой функции, матрицы ограничений и правые части.

В этой главе будут рассмотрены только задачи с ве­ роятностными ограничениями или статистическими усло-