книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfвиями, когда в результате решения определяется детер минированный вектор. Метод решения стохастической задачи с вероятностными ограничениями или со стати стическими условиями состоит в переходе от стохасти ческой задачи к эквивалентной детерминированной. За тем решается полученная детерминированная задача, которая обычно является нелинейной.
При постановке задачи возможны два случая: задан закон распределения случайных коэффициентов и ста тистические параметры (средние, дисперсии) или за дана выборка значений случайных коэффициентов. Во втором случае можно решать задачу двумя способами. Первый состоит в определении функции распределения, переходе к эквивалентной детерминированной задаче и ее решению. Второй способ состоит в построении огра ничения с использованием непосредственно заданной вы борки [117].
7-1. Модель планирования работы предприятия
В предыдущих главах были рассмотрены многочис ленные примеры формулировки детерминированной за дачи распределения материальных потоков на предприя тии как задачи линейного программирования. Такая формулировка включает ограничения — неравенства на основные ресурсы предприятия: производительность тех нологических установок, ограничения по количеству сырья и плану выпуска продукции. Для задачи текуще го планирования, как и в гл. 1, в качестве критерия принимается прибыль, ограничения и критерий устанав ливаются на весь плановый период.
В течение этого периода правые части ограничений — ресурсы подвержены! изменениям, вызванным различ ными причинами: неравномерной поставкой сырья, ава риями, нестабильностью показателей качества промежу точных продуктов, изменениями в плане выпуска про дукции, отражающими в свою очередь изменения спро са и т. п.
Далее будем предполагать, что ресурсы являются независимыми случайными» величинами, для которых можно определить функцию распределения и ее пара метры. Тогда ограничения могут быть выполнены лишь с некоторой вероятностью. Вероятность совместного вы полнения всех ограничений Ро будет вероятностью реа-
лизации оптимального плана. Существенное упрощение задачи связано с принятым предположением о незави симости случайных ресурсов.
Наряду с вероятностными ограничениями в задаче текущего планирования будут и детерминированные ог раничения: условия материального баланса (равенства), ограничения на знак переменных xj^O и ограничения на объем запасов. Детерминированными часто являются и ограничения на экономические показатели работы пред приятия.
Не учитывая детерминированных ограничений, кото рые не вносят дополнительных трудностей и могут быть учтены как вероятностные с достаточно малой диспер сией, задача планирования с заданной вероятностью реализации оптимального плана принимает следующий вид [115]:
(7-1)
где xj — материальные потоки; aij, |
Cj—коэффициенты |
||||||
модели, |
способы получения которых |
рассматривались |
|||||
в § 3-1; |
|3i—случайные |
величины |
с |
математическим |
|||
ожиданием {3* и дисперсией а2*. |
|
|
[112] |
(7-1) |
|||
В соответствии |
с |
классификацией |
|||||
является |
задачей |
стохастического |
программирования |
||||
с вероятностным ограничением. |
Р0 |
задается |
руко |
||||
Предполагается, |
что |
вероятность |
|||||
водством предприятия. Она может определяться на осно ве прошлого опыта, статистических данных и сравнения полученных вариантов решения, соответствующих раз личным вероятностям Ро. Для такого сравнения необ ходимо получить решение для ряда значений Р0, пере крывающих возможный диапазон значений, и на основе этой информации выбрать один из вариантов.
Вероятность реализации детерминированного оптималь
ного плана x*j равна вероятности выполнения т ограни
т
чений неравенств (7-1) Р = £ | Р/- Вероятность выполне
ния /-го неравенства Pi определяется запасом щ по i-му
виду ресурсов, например, при гауссовской функции рас пределения рг-:
Pi ®l > ? - u l) = f M = T +S r j e |
du, (7-2) |
00 |
|
Определим рациональный запас щ по каждому виду ресурсов при заданной общей вероятности реализации плана Р^Ро. От вероятностей в (7-1) перейдем к функ циям распределения случайных величин рг- и получим:
Щ = Р» — 2 a Hx i • 1 = |
1 .......... т ; |
/=1 |
|
т |
(7-3) |
П Г,(«,)г=Р„. ЛГ/ >0; |
|
(=1 |
|
Г = 2 C/jCy ->шах.
/=1
Здесь переменными задачи являются не только Xj (/=1, ..., /г), но и параметры функций распределения щ, являющиеся запасами по каждому виду ресурсов.
Предполагается, что все]^-^О^если]^,-<Г 0, то знак перед щ в (7-3) изменится.
В общем случае задача (7-3) является нелинейной и невыпуклой. Однако нелинейное неравенство можно заменить эквивалентным
2 1п Г Л ^)^1пРо. |
(7-4) |
/= J
которое является выпуклым для ряда функций распре деления: нормальной, равномерной, Вейбулла, гаммараспределения [112].
Заменив в (7-3) неравенство эквивалентным, полу чим выпуклую задачу с одним нелинейным ограниче нием, содержащим только сепарабельные зависимости:
П |
aijxj'\ruts=s ft; |
|
|
2 |
|
||
т |
ln f,(n ,)^ ln P 0f Xj>0; |
(7-5) |
|
2 |
|||
|
П |
|
|
|
2 |
►max. |
/ |
|
|
|
|
Для экспоненциальной функции распределения
и (7-5) будет задачей линейного программирования
а) Решение эквивалентной нелинейной задачи
Нелинейную задачу (7-5) можно решать различными общими методами нелинейного программирования, на пример методом штрафных функций [50] или специаль ным методом, предложенным в [155].
Наиболее простым способом решения задачи (7-5), не требующим разработки специальных программ, является кусочно-линейная аппроксимация нелинейных зависимостей с последующим решением полученной за дачи линейного программирования [52]. Для этого диа пазон изменения переменных щ разбивается на qi ин
тервалов в точках Uih (k—\ , |
qi) и вводятся новые |
|
переменные |
такие, что |
|
Ч
« 1 = 2 üikX»• |
(7-6) |
|
После замены переменных щ на Xik задача (7-5) сводится к следующей задаче линейного программиро вания:
«qi
2 |
2 |
===Р*» |
/=! |
к = \ |
|
J.i
2 |
я « = 1 ; |
||
А=1 |
Qi |
(7-7) |
|
т |
|||
2 |
2 |
|
|
i=l k—l |
|
||
X j > |
0, |
X i k > 0 ; |
|
|
|
П |
|
|
= |
2 |
£/•*/—* max, |
/“ i где lih—In Pi (uih).
Таким образом, решение задачи линейного програм мирования (7-7) является приближенным решением за дачи стохастического программирования (7-3). Точ ность приближения определяется числом точек аппро ксимации qi.
б) Экстраполяция для различных вероятностей Ро
Так как решение задачи (7-3) или (7-7) необходимо получить для ряда значений параметра Ро, то пред ставляет интерес зависимость решения задачи от Ро. Согласно [ИЗ] STi в (7-7) является выпуклой монотон но убывающей функцией параметра 1пР0, а следова тельно, ^i(Po) также является выпуклой и монотонной функцией параметра Ро.
Теми же свойствами обладает функция # ”(Ро), опре деляемая из (7-3), так как :с помощью (7-7) можно аппроксимировать задачу (7-3) достаточно точно. Та ким образом, можно утверждать, что зависимость целе вой функции 5е"(Ро) задачи (7-3) от вероятности Ро является выпуклой и монотонно убывающей функцией.
Отметим, что в (7-3) решение достигается при ра
венстве
Ш
2 l n f i (ul)= lnP0.
1=1
Функция ЗГ(Ро) определена на отрезке О^Ро^^макс, где РМакс<1 — максимальное значение Ро, при котором существует допустимое решение. (7-3). Обратную зави симость Ро(tF) в расширенном интервале (0, 1) можно трактовать как функцию распределения, a dPo/d(F как плотность вероятности.
По смыслу задачи (7-3) при малых щ, т. е. когда стохастическая задача близка к детерминированной, зависимость щ и Xj от Р0 также должна быть монотон ной. Уточним эти интуитивные соображения при сле дующих упрощающих предположениях: функция^ рас
пределения !Fi(ui) равномерна в интервале |
({Ji—ии |
£ i {UÙ“ 2 (Ui 4" dt)* |
(7‘^) |
в m вероятностных ограничений в (7-3) входят и огра ничения Xj^O (с достаточно малой дисперсией).
Тогда, подставив щ из равенств (7-5) в (7-8) и обо значив
gi (xt)= f t ( i {x))= щ - (—Saf/ Xj -fp , —dt),
получим:
f = minj--2 CjXj\;
0< g î(x)<\; |
(7-9) |
m
2 :ln£* (х)>1пР{0" /=1
Задача (7-9) сводится к эквивалентной с помощью
логарифмической штрафной функции с коэффициентом штрафа г:
г |
п |
т |
|
min< |
2 сл |
—г 2 ln gi (х> |
(7-10) |
|
м |
i=i |
|
При этом предполагается, что ограничения £г(я)^1 выполняются как строгие неравенства, в противном слу чае при gi(x)^ 1 эти ограничения исключаются. Заме-
Тим, что ограничение в |
(7-9) с точностью |
до коэффи |
циента совпадает со штрафным членом rl(x), |
||
|
т |
|
/(л ) = |
- 2 1п *-,(*). |
|
|
1=I |
|
Это ограничение будет выполняться при некотором |
||
значении г, так как 1{х) |
является монотонной функцией |
|
г [116]. Таким образом, |
стохастическая |
задача (7-3) |
с учетом сделанных предположений эквивалентна зада че (7-10) при некотором значении г.
В [116] доказано, что траектория безусловных ми нимумов х(г) в (7-10), начиная с некоторого достаточно малого г, асимптотически приближается к прямой.
Отсюда следует, что для множества существенных ограничений Jt gi(x(r))—*0 при г —►О и
|
ë i (Х |
(/'))~ - ^ ё Л М Г г ) ) ' |
|
|
|
где я (г,) —некоторая точка. Тогда, учитывая, |
что (в оп |
||||
тимальном решении |
2 |
1° ët (х)— 1п ^0> и |
пренебрегая |
||
т— п |
несущественными ограничениями, |
для |
которых |
||
г In g i |
(я) — малая величина, получаем: |
|
|
||
|
1пР„= |
У] |
ln-£- g l(x(r,)) |
|
(7-11) |
или |
|
|
|
|
|
|
Г |
[П |
I/ п *'P]!"О ■ |
|
(7-12) |
|
|
»!<*(<•.))] |
|
|
|
|
|
/^/l |
|
|
|
Так как переменные Xj и запасы по ресурсам щ ли нейно зависят от г, то зависимость Xj, щ от Р0 будет степенной
xH P Ù ^X L+ afi'", |
(7-13) |
где Xjo, cij — постоянные. |
малых г. |
Полученные результаты справедливы при |
Малым значениям г соответствуют в стохастической за даче малые запасы по ресурсам щ.
Таким образом, доказано, что для стохастической задачи (7-1) при равномерной функции распределения случайных ресурсов рг- и достаточно малых запасах по ресурсам щ зависимость переменных Xj и щ от вероят ности реализации оптимального плана Ро будет прибли жаться к степенной функции (7-13).
Пример 7-1. Сформулируем задачу оптимального планирования работы цементного завода в условиях неполной информации о ре сурсах {96]. План выпуска п марок цемента определится в коли честве не менее х3 зад по каждой марке
X j z z Z X j а а д - |
(7-14) |
План выпуска цемента по каждой марке Xj составляется исхо дя из имеющихся ресурсов: количества клинкера pi и возможного числа часов работы мельниц цеха помола рг. Каждый из этих ре сурсов представляет случайную величину. Вероятностные харак теристики ресурсов могут быть оценены по заводским статистиче ским данным. Можно приближенно считать ресурсы распределенны
ми независимо и нормально с математическими ожиданиями Pi и дисперсиями а2и t= l, 2.
План выпуска п марок цемента в количестве х, будет реали зуем, если для его выполнения хватит ресурсов
2
/=1 |
|
(7-15) |
Sп |
г. |
|
М |
клинкера в у-й марке |
цемента; |
где a\j — удельное содержание |
||
ац — затраты времени работы |
мельниц при выпуске 1 |
т цемента |
у-й марки. |
|
плана Ро |
Для получения заданной вероятности выполнения |
||
необходимо выполнить условие |
|
|
|
|
(7-16) |
Это неравенство будет удовлетворяться, если планы выпуска ц е мента Xj будут такие, чтобы плановая потребность в ресурсах
пП
2 aijxj> 2 ® * / * / была ниже |
средних значений (1,, р2 на ut$ а2: |
||
/«» |
/-1 |
п |
\ |
|
|
||
|
ц1—pi |
2 |
av xj* |
|
|
/=1 |
(7-17) |
|
|
п |
|
«2=?2—2 *»/*/' /=1
Критерием задачи является прибыль завода без учета услов но-постоянных затрат предприятия
(7-18)
где сj — разница между отпускной ценой 1 т /-й марки цемента и ее себестоимостью без учета стоимости содержащегося в нем
клинкера; G (у) — средние затраты на производство клинкера |
в ко |
|||||
личестве у. |
можно считать линейной. |
|
|
|||
Зависимость G (у) |
распределения |
|||||
От вероятностей в |
(7-16) перейдем к |
функциям |
||||
^"2(^2) случайных величин Jîi, Р2: |
|
|
|
|
||
|
У1 |
2(U2)z^Po, |
|
|
|
|
где «[, ц2— параметры функций распределения. |
|
|
||||
Логарифмируя это неравенство, получаем: |
|
|
|
|||
I n ^ , ( « O - f l n ^ K ^ ^ l n |
P Q. |
|
(7-19) |
|||
Таким образом, стохастическая задача |
с |
вероятностным |
(7-16) |
|||
и детерминированными |
(7-14) |
ограничениями |
сведена |
к эквивалент |
||
ной задаче нелинейного программирования с критерием (7-18) и ограничениями (7-14), (7-17), (7-19). Полученная задача путем
кусочно-линейной аппроксимации |
сводится к |
задаче линейного |
|
программирования вида |
(7-7). |
|
|
Разумеется, можно |
рассматривать и упрощенную задачу, за |
||
давая равные вероятности Р к , Рго |
по каждому |
ограничению так, |
|
чтобы Рюр2o=zPо, Pi>Pio, Рг5*Рго- |
|
|
|
в) Выбор целесообразного риска
При формулировке задачи (7-1) предполагалось, что вероятность Р0 выполнения плана задана. Принципи ально возможен другой подход.
Определим эту вероятность в задаче оптимального планирования работы предприятия, когда стимулируе мым показателем работы является прибыль.
Пусть поощрение V зависит от плановой F* и фак тической прибыли F, которая в свою очередь зависит
от плановой |
прибыли и |
вероятности |
ее |
реализации, |
т. е. V—V(F(F*, PQ), F*(PO)). И з решения |
стохастиче |
|||
ской задачи |
(7-1) можно |
определить |
F*(Po) и обрат |
|
ную зависимость Po(F*), которую будем трактовать как функцию распределения и плотность вероятности f(F*)=dPoldF*.
Тогда среднее поощрение V будет;
СО
(7-20)
о
и_ максимум среднего поощрения достигается при dVldF=0.
Уравнение
JL^V(F , F*) f (F*)dF*=0 |
(7-21) |
о |
|
устанавливает связь между параметрами двух функций
V(F, F*) |
и f(F*). |
(7-21) для различных |
|
Можно разрешить уравнение |
|||
функций |
поощрения V(F, F*), |
например |
приведенных |
в [114], |
и определить Ро- Зависимость |
Ро(Р*) или |
|
f(F*) можно получить путем экстраполяции. В резуль тате определяется связь Р0 с параметрами различных функций поощрения.
7-2. Модель управления производством
а) Случайные правые части ограничений
Рассмотрим задачу управления отдельным производ ством с учетом погрешностей моделей. Модель произ водства включает зависимости выходных потоков yh и показателей качества этих потоков иВыхг от входных потоков и режимных параметров хи t= l, ..., л, являю щихся управляющими воздействиями. Зависимости вы ходных потоков г/* от управляющих воздействий х и зависимости показателей качества выходных потоков овых от управляющих воздействий и измеряемых пока зателей качества входных потоков ^вх{ определяются с погрешностью
yh=ÿh(x)+Ы Vi=vi(x, üuxj+i'i. (7-22)
Здесь lu, W — случайные погрешности с нулевым средним, средние значения ÿh(x), vi(x, vnx) определяют ся регрессионными зависимостями. Обычно вид этих за висимостей задается, исходя из теоретических пред ставлений о процессе, а коэффициенты определяются по статистическим данным.
Модель производства предполагается статической. Показатели качества готовых продуктов должны удо влетворять требованиям технических условий или стан